Théorème de la raquette de tennis

Pour l’effet de la raquette de tennis, nous sommes intéressés par la deuxième équa-tion du système (4.10) car elle est nécessaire pour montrer que ∆ψ|∆φ=2π ≃ π. De plus, l’expérience de la raquette consiste à la jeter de sorte que ψ0 ≃ 0 en essayant de ne pas

~ Z ~ X ~ Y ~ Z ~ X ~ Y

Figure 4.9 – Illustration du mouvement du manche de la raquette sur la sphère pour γ < 0 (à gauche) et γ > 0 (à droite). Les lignes noires correspondent aux valeurs limites de θ.

lui donner de vitesse de rotation autour de son manche, c’est-à-dire de telle sorte que

dψ/dφ|0 ≃ 0. Ceci correspond au voisinage du point d’équilibre instable (0, 0) du dia-gramme de phase de la figure 4.7. Dans ces conditions, le système suit nécessairement une trajectoire proche de la séparatrice. Dans le cas général, le système ne s’intègre pas avec des fonctions simples [94]. Nous choisissons donc de faire un développement asymptotique des solutions dans le voisinage de γ = 0 pour avoir une formule plus exploitable. En imposant la condition ∆φ = 2π, l’équation (4.10) conduit à:

Z ψ_f ψ0 f(a, b, γ, ψ)dψ = 2π, (4.19) avec: f(a, b, γ, ψ) = S 1 − b sin2ψ q a+ b sin2ψ^qγ+ b sin2ψ^. (4.20) Remarquons que si ψ0 et ψf sont fixés (de préférence proches de 0 et π pour un TRE), l’intégration de cette équation donne des conditions sur les paramètres γ, a et b pour que l’égalité soit vraie. Elle donne donc à la fois des contraintes sur les conditions initiales, qui, comme nous allons le voir, sont directement liées à γ, ainsi que sur les propriétés du solide caractérisées par les paramètres a et b. On se concentre dans la suite de cette section sur des trajectoires symétriques telles que:

ψ0 = ǫ, ψf = π − ǫ, (4.21) où ǫ > 0 est un petit paramètre. Le paramètre ǫ est le décalage au flip parfait de π. Ce choix est motivé par le fait que pour une variation ∆φ fixée (ou un temps fixé), la variation ∆ψ est maximum lorsque la solution est symétrique. Cette variation est de la forme ψf = π − ψ0. Cela peut se comprendre sur la figure 4.10. En effet, une autre trajectoire aurait nécessairement une extrémité plus proche d’un point d’équilibre instable, point autour duquel l’angle ψ varie lentement. La variation ∆ψ serait donc plus petite.

La méthode que nous allons présenter peut-être généralisée pour des trajectoires qui ne sont pas nécessairement symétriques, mais cela complique les calculs. On suppose que

0 π/2 π 0

ψ

Figure 4.10 – Type de trajectoires considérées pour le calcul analytique du TRE (en jaune). Pour chacune de ces trajectoires, la variation ∆φ du manche dans l’espace est de sorte que ∆φ = 2π. Le paramètre ǫ₀ représente le décalage au flip parfait (∆ψ|∆φ=2π = π) sur la séparatrice. Le paramètre ǫ représente le décalage au flip parfait sur les trajectoires voisines de la séparatrice.

si les trajectoires voisines de cette trajectoire symétrique correspondent à un TRE, alors cette dernière correspond aussi à un TRE.

Dans ce contexte, le TRE est donné par la formule:

∆ψ|∆φ=2π = π − 2ǫ. (4.22) La valeur ǫ = 0 correspond à un TRE exact. L’idée est d’exprimer le paramètre ǫ comme un développement asymptotique de la forme:

ǫ= ǫ0 + ^dǫ dγ      γ=0 + O(γ2). (4.23) Cette formule permet d’avoir une interprétation des propriétés de robustesse du TRE à la fois en fonction des conditions initiales et des propriétés du solide. En effet, on rappelle que le paramètre γ nous dit à quel point la trajectoire est éloignée de la séparatrice. Or, γ est une constante du mouvement qui dépend uniquement des conditions initiales. Autrement dit, un lancer bien réussi, c’est-à-dire dont la rotation est bien autour de l’axe

~e2, va impliquer que le paramètre γ tend vers zéro alors qu’un lancer raté implique que la valeur de γ est relativement grande. Le coefficient ǫ0 est un paramètre qui ne dépend que de la géométrie du solide. En effet, il représente le maximum de variation de l’angle ψ pour une variation ∆φ = 2π sur la séparatrice, dont les propriétés dépendent uniquement des paramètres a et b qui sont eux même caractéristiques de la forme du solide. Comme nous nous intéressons qu’à des objets qui ont la propriété de réaliser un TRE au voisinage et sur la séparatrice, nous supposerons que ǫ0 est petit, ce qui est vrai sous certaines conditions sur a et b que nous allons exprimer.

Théorème 4.5.1 Le décalage au TRE ǫ est donné par:

ǫ(γ) = ǫ0− _4bǫ^γ

0

+ O(γ2). (4.24)

Si le produit ab est grand, ǫ0 est de la forme: ǫ₀ = e−^√abπ^2^q a

a+be⁻ b

√_1+b/a^

+ o^e^−2√abπ. (4.25)

Remarque 4.5.2 Le paramètre ǫ0 tend de manière exponentielle vers zéro, lorsque le produit ab → ∞. Pour des paramètres a et b fixés, l’écart au TRE ǫ tend vers ǫ0 quand γ tend vers zéro à une vitesse γ/(4bǫ0).

La démonstration étant longue, nous la détaillerons à la fin de cette partie dans la sec-tion 4.9. Cette formule nous permet d’évaluer à quel point l’effet de la raquette de tennis est vrai dans la région de la séparatrice, qui, on le rappelle, est la région qui nous inté-resse puisque le lancer de la raquette implique une dynamique proche de la séparatrice. Cette formule nous dit que le TRE nécessite deux conditions, qui sont ǫ0petit, c’est-à-dire un produit ab grand, et γ petit, c’est-à-dire des conditions initiales proches de du point d’équilibre instable. Pour une raquette de tennis standard1, on obtient avec notre formule:

ǫ₀ = 0.1150 rad, (4.26) c’est-à-dire un flip de ∆ψ|∆φ=2π = π(1 − 0.073) radians le long de la séparatrice. Une intégration numérique sans approximation donne le même résultat à 10−3 radian près.

Pour illustrer le théorème 4.5.1, nous allons nous intéresser au comportement de ǫ(γ) donné par la formule (4.24) dans le plan (ǫ0, γ). On fixe b = 0.1, puis on calcule pour chaque couple (ǫ0, γ) la valeur correspondante de ǫ. Le résultat est donné sur la figure 4.11. On rappelle que le paramètre ǫ0 ne dépend que des propriétés du solide et que le TRE a lieu lorsque ǫ(γ) est petit. Cette figure montre que plus le paramètre ǫ0 est petit, plus le TRE apparaît pour des valeurs de γ proche de 0 et donc proche de la séparatrice. Cependant, dans ce cas, il n’apparaît que pour une plage de valeurs de γ très restreinte et il est donc peu robuste. Au contraire, lorsque ǫ0 est grand, l’effet est plus robuste. Si ǫ0 est trop grand, on devine par extrapolation que le TRE apparaît très loin de la séparatrice. Il est alors difficile le considérer comme un TRE. En effet, dans ce dernier cas, il faudrait jeter la raquette avec des conditions initiales éloignées de la rotation instable, autrement dit faire exprès de donner un mouvement de flip à la raquette pour obtenir un flip égal à π.

1. On appelle raquette standard la raquette utilisée dans [112] dont les moments d’inertie principaux sont I1= 0.121× 10−2 kg.m2

, I2= 1.638× 10−2 kg.m2

, I3= 1.748× 10−2 kg.m2

0.1 0.2 0.3 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04

ǫ

γ

ǫ

Figure 4.11 – Valeur de ǫ(γ) dans le plan (ǫ0, γ) pour b = 0.1. La ligne noire

correspond à un flip exact, i.e. ∆ψ_∆φ=2π= π. Une autre valeur du paramètre b ne change pas la structure de cette figure.