Application expérimentale

6.4.1 Choix du champ de contrôle

Nous avons réalisé ce travail en collaboration avec des chercheurs du groupe de T. Halfmann, de l’Institut de Physique Appliquée à Darmstadt (Allemagne). Ils ont implé-menté expérimentalement un pulse que nous avons calculé, afin de montrer l’efficacité expérimentale de la méthode. Le pulse a été optimisé dans une région δ · T ∈ [−14, 14] et

Ωx(T ) = Ωy(T ) = 0, pour satisfaire des contraintes expérimentales. Nous avons sélec-tionné un pulse dépendant de 8 paramètres libres, 5 Cn et 3 θn, en plus d’un paramètre contraint de sorte que les conditions aux bords soient satisfaites. La contrainte est ex-pliquée dans la section 6.6. Les paramètres du pulse sont donnés dans le tableau 6.6. Le

C1 C2 C3 C4 C5

2.3347 -1.9450 0.3944 -0.1139 -0.3723 Aire J |Ω|max

θ1 θ2 (contraint) θ3 θ4 5.06π 0.96 38.06 -0.0990 -0.1176 -0.0394 -0.0119

Table 6.6 – Paramètres du pulse expérimental. Le paramètre θ2 est contraint de manière à ce que le champ de contrôle soit nul aux instants t = 0 et t = T . La fidélité J est calculée sur la fenêtre d’optimisation, c’est-à-dire δ· T ∈ [−14, 14] et

α∈ [−0.5, 0.5].

champ de contrôle et le profil de robustesse sont donnés sur la figure 6.8. On remarque que

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −30 −15 0 15 30

Ω×

T

t/T

δ⋅T

α

J

Figure 6.8 – A gauche: Champ de contrôle utilisé pour l’expérience. La courbe bleue correspond à Ω_xet la verte à Ω_y. Les paramètres du pulse sont donnés dans le tableau 6.6. A droite: Profil de robustesse correspondant. Le rectangle en pointillés entoure la région optimisée.

globalement, le profil de robustesse est moins bon que celui de la solution à 8 paramètres de la section précédente. Cependant, il est meilleur par rapport à α, i.e. le long de la droite d’équation δ = 0. Au moment où nous avons obtenu ce résultat, nous n’avions pas essayé de prendre une fenêtre d’optimisation plus grande, ce qui explique la faible robustesse par rapport à δ. On voit que par rapport au π-pulse de la figure 6.6, d’intensité très similaire, l’optimisation n’améliore que très peu la robustesse par rapport à δ.

6.4.2 Réalisation expérimentale

L’efficacité d’une porte NOT peut être mesurée par la méthode dite de "spin echo". Cette méthode se comprend facilement dans les coordonnées de Bloch. On considère un ensemble de spins avec différentes inhomogénéités δ. Tous ces spins sont initialement au pôle nord de sphère de Bloch. On applique un pulse d’excitation sur le système de sorte que tous les spins soient transférés sur un point de l’équateur de la sphère de Bloch, par exemple sur l’axe ~e1. On laisse alors le système évoluer librement pendant un temps τℓ. Pendant cette période, chaque spin est influencé uniquement par son offset δ, qui implique une rotation autour de l’axe ~e3 de la sphère de Bloch. Par conséquent, tous les spins se dispersent sur l’équateur. Ensuite, on applique un pulse NOT (dans notre cas celui du tableau 6.6), ce qui implique que tous les spins vont effectuer une rotation de π autour de l’axe ~e2, à condition que le pulse soit robuste par rapport à δ. On laisse à nouveau le système évoluer librement, sous l’influence de δ, pendant un temps τℓ. Si le pulse est efficace, tous les spins se seront regroupés le long de l’axe −~e1 au temps t = 2τℓ+ T , où

T est la durée du pulse. Ce processus est illustré sur la figure 6.9.

~e₃ ~e1 ~e₂ t = 0 π 2 ~e₃ ~e1 ~e₂ t = τℓ δ ~e₃ ~e1 ~e₂ t = τℓ+ T NOT ~e₃ ~e1 ~e₂ t = 2τ_ℓ+ T δ

Figure 6.9 – Schéma idéal du processus d’écho de spin. A l’instant t = 2τ_ℓ+ T , tous les spins sont en phase et le signal est maximum. C’est à cet instant que l’on fait une mesure du système.

Si le pulse n’est pas robuste par rapport aux inhomogénéités α, alors les spins effec-tueront une rotation supérieure ou inférieure à π (suivant le signe de α) autour de l’axe

~e2 et ne se regrouperont pas comme prévu. L’effet des inhomogénéités est illustré sur la figure 6.10.

L’expérience a été réalisée sur un cristal de Pr3+:Y2SiO5. L’ion Pr3+ est caractérisé dans ce modèle par un état fondamental 3H4 et un état excité 1D2. La longueur d’onde de transition est de 605.98 nm. La transition est produite par un laser solide de longueur d’onde accordable, dont la largeur à mi-hauteur du faisceau est de 60 kHz. Chaque état électronique possède trois états hyperfins deux fois dégénérés. La structure du système est montrée sur la figure 6.11. Les deux niveaux d’énergie qui nous intéressent sont 3H4|±3

2i (|1i) et 3H₄|±3

2i (|2i), qui correspondent respectivement au pôle nord et au pôle sud de la sphère de Bloch. Les transitions entre ces deux états sont contrôlées par des impulsions

~e₃ ~e1 ~e₂ t = 0 π 2 ~e₃ ~e1 ~e₂ t = τℓ δ ~e₃ ~e1 ~e₂ t = τℓ+ T ~e₃ ~e₁ ~e₂ t = 2τℓ+ T ~e₃ ~e₁ ~e₂ π 2 ~e₃ ~e₁ ~e₂ = δ ~e₃ ~e₁ ~e₂ ~e₃ ~e₁ ~e₂

Figure 6.10 – En haut: Effet des inhomogénéités δ sur la porte NOT. En bas: Effet des inhomogénéités α. Si le contrôle n’est pas robuste par rapport aux in-homogénéités, alors à l’instant t = 2τ_ℓ + T , les spins sont dispersés au lieu de se regrouper en un point unique. On suppose que le pulse d’excitation π/2 est infiniment robuste.

Figure 6.11 – A gauche: Structure hyperfine du Pr3+:Y2SiO5. Les états|1i et |2i correspondent au pôle nord et au pôle sud de la sphère de Bloch, respectivement. A

droite: Séquence effectuée pour le processus d’écho de spin. La mesure est effectuée

à l’instant t = 2τ . La phase φ correspond à l’angle azimutal de chaque spin sur la sphère de Bloch.

radiofréquences, produites par un générateur qui permet de choisir la forme de l’onde (Tektronix AWG 5014) relié à une bobine proche de l’échantillon.

séquence de préparation basée sur un pompage optique [144, 145]. Puis, on applique au système un pulse d’excitation π/2 avec une fréquence de 10.2 MHz et une durée de 4 µs. Ce pulse a pour but de générer une cohérence entre les états |1i et |2i, c’est-à-dire, dans la représentation de Bloch, d’envoyer tous les spins simultanément sur le point de l’équateur (1, 0, 0) de la sphère de Bloch. Chaque spin évolue ensuite librement, suivant la valeur de son offset δ. Le pulse NOT est centré à τ = 150 µs, comme le montre la figure 6.11. On rappelle que ce pulse doit réaliser une rotation de π autour de l’axe ~e2 de la sphère de Bloch, ce qui a pour effet de rassembler les spins sur le point (−1, 0, 0) à l’instant

t = 2τ = 300 µs. En comparaison, le temps de déphasage dans le cristal Pr3+:Y2SiO5

est de l’ordre de 10µs [146, 147]. Le système est mesuré par RHD (Raman Heterodyne Detection) [144] à l’instant t = 2τ. La robustesse par rapport à α peut être évaluée de deux manières différentes: soit en modifiant l’amplitude du contrôle, soit en modifiant sa durée T . En théorie, ces deux méthodes sont parfaitement équivalentes car on peut passer de l’une à l’autre en faisant une renormalisation du temps. En pratique, une trop forte intensité peut impliquer des erreurs expérimentales. Pour cette raison, nous avons évalué la robustesse de la porte NOT dans le plan (|Ω|max, T ). Ce phénomène est visible sur la

Figure 6.12 – Fidélité après le processus d’écho de spin pour un π- pulse constant (en haut) et pour le pulse NOT optimisé (en bas). Les figures (1.e) et (2.e) sont les résultats expérimentaux, et les figures (1.s) et (2.s) les résultats obtenus en simulation numérique. Remarquons le désaccord entre l’expérience et la simulation lorsque|Ω|max est intense (visible en haut à droite des figures).

figure 6.12, pour des fortes valeurs de Ωmax. On voit nettement sur cette figure l’avantage du pulse optimisé, robuste sur une plage de valeurs beaucoup plus grande.

Dans une seconde expérience, nous avons évalué la robustesse du rephasage après l’écho de spin en fonction de δ et de la durée du pulse T . Dans cette expérience, le paramètre Ωmax

est fixé à 2π · 125 kHz. Comme dans l’expérience précédente, les résultats sont comparés avec ceux d’un π-pulse standard, ainsi qu’à une simulation numérique. Les résultats sont montrés sur la figure 6.13. On remarque que les résultats théoriques et expérimentaux

Figure 6.13 – Rendement après le processus d’écho de spin pour un π- pulse standard (en haut) et pour le pulse NOT (en bas) dans le plan (δ, T ). Les figures (3.e) et (4.e) sont les résultats expérimentaux. Les figures (3.s) et (4.s) sont les résultats obtenus en simulation numérique.

sont en très bon accord. Comme nous l’avons dit au début de cette section, on voit que le réel avantage du pulse optimisé concerne sa robustesse par rapport à α, qui est reliée à la robustesse par rapport à T sur cette figure.