C.1 Schéma du préamplificateur utilisé dans l’A.T.C
3.1 Théorème de Noether
cor-respondantes.
Le tableau 3.1 nous montre quelques symétries et les grandeurs conservées qui en découlent.
Théories de jauge et symétries locales
Prenons un système physique décrit par un champ et par un lagrangien invariant sous une transformation . Si est une symétrie globale, le lagrangien sera dit libre et ne possédera pas de termes d’interactions. En revanche, si la symétrie est locale, des termes d’interactions apparaîtront. En effet, pour maintenir cette invariance, il est nécessaire d’in-troduire de nouveaux champs, appelés champs de jauge, qui interagissent avec le champ
.
Le type d’interaction et le nombre de champs de jauge nécessaires dépendent entière-ment de la symétrie , ou plus précisément de la structure du groupe correspondant à la symétrie.
Application : la Q.E.D.
Voyons maintenant, à travers l’exemple de l’électrodynamique quantique (Q.E.D.), comment ces différents ingrédients fonctionnent pour construire une théorie de jauge lo-cale.
Soit un champ de Dirac de spin ð , de masse ô et de charge . Le lagrangien est : ü !#"$%&('
/
) ô *+"$ (3.2) avec'/
, '- ç-On en déduit l’équation du mouvement :
+&.'
/
)ô !#"$ ü ñ (3.3)
Appliquons une transformation globale basée sur le groupe9ð , de paramètre continu /
et où est le générateur de la transformation.
0 %132546
0
ë
On vérifie facilement que le lagrangien est invariant sous cette transformation. Le théo-rème de Noether implique l’existence d’un courant conservé ; - et d’une quantité conser-vée la charge électrique .
;<- ü .ç=-9 > ' -?; -ü ñ (3.5) ü @BAC "D;EF+"$
Prenons maintenant une transformation locale, où/ dépend de" . Les transformations deviennent : 0 %172846GIHKJ+ 0 ë 172846GLHKJ (3.6) ' -9 0 %172846GIHKJ' -9NMO&( P'-</Q#"$6 %172846GLHKJ+
Le lagrangien tel qu’il est n’est pas invariant sous cette transformation locale. Pour rétablir l’invariance, il nous faut introduire un champ de jauge, le champ du photon RS-8#"$ qui interagit avec le champ , et qui se transforme sous la transformation de jauge%ð :
RS-Q#"$ 0 RT-U+"$VM
ð
' - /U+"$ (3.7)
Il est aussi nécessaire de remplacer les dérivées classiques par des dérivées covariantes.
W -< , ' -) &. >RT- (3.8) W -< 0 %172846GLHKJ W -< (3.9)
On doit inclure la propagation du champ de photon. On définit le tenseur du champ
élec-tromagnétique : X
-%Y ü ' -<R*Y
)
'Y%RS- (3.10)
Le lagrangien de la Q.E.D. devient finalement :
28Z$[ ü *+"$\&|ç - ' -) ô *+"$VMO ] .ç -RS-9 ) ð ^ X -\Y_+"$ X -\Y #"$ (3.11) On vérifie que 28Z`[
est bien invariant sous%ð . On y retrouve un terme d’énergie ciné-tique de l’électron, un terme de masse de l’électron, un terme d’interaction entre l’électron et le champ de jauge et un terme d’énergie cinétique du photon. On peut noter qu’aucun terme du type ò a ô a RS-<R
-ne se trouve dans le lagrangien car celui-ci -ne conserverait pas l’invariance de jauge. Le photon reste donc sans masse.
Cet exemple classique nous a permis de rappeler tous les ingrédients utiles à la construc-tion d’un lagrangien d’une théorie supersymétrique.
3.1.2 Les paramètres libres
Le lagrangien du M.S. est basé sur les symétries de jauge des groupes 9ð v
÷(<Ñv÷ .
Le M.S. est une théorie quantique des champs, ce qui signifie qu’un état physique est décrit par un champ*+"$ , où" représente les coordonnées de l’espace-temps. À cela doit s’ajouter bien sûr l’invariance par transformation de Lorentz.
L’interaction électrofaible
La théorie de jauge électrofaible de Glashow-Salam-Weinberg [70] se base sur la sy-métrie %ð v ÷] . Les fermions sont regroupés en doublets de chiralité gaucheb
et en singlets de chiralité droite c pour prendre en compte la violation de la parité de la théorie : ed ygf7h(i 1 ükjml 1 n 1po q d ygf7h(i 17r ü n 17r es(tKuv.w 1 ükjOx 1 A 1*o q st\u vyw 17r ü x 17r ù A z 17r (3.12)
L’indice& se rapporte à la famille.
Les états propres de masses et les états propres de l’interaction faible sont différents. Ils sont reliés par la matrice C.K.M. à 4 paramètres (3 angles et une phase reliée à la violation CP). Il faut ajouter à cela les deux constantes de couplageî (interaction faible) etî
z
(interaction électromagnétique) reliées entre elles par l’angle de Weinberg :
{g|<}
/~ ü î
z
î (3.13)
L’interaction forte
L’interaction forte [71], basée sur le groupe ÷], est responsable du confinement des quarks dans les hadrons. Chaque quark porte une des trois couleurs (rouge, bleu ou vert par convention). Tout hadron doit être singlet de couleur. Les gluons sont quant à eux colorés ce qui leur permet de se coupler à eux-mêmes.
L’intensité de l’interaction forte est déterminée par un paramètre libre, la constante de couplage .
Le secteur du Higgs et la masse des particules
Le mécanisme de Higgs [68], par une brisure spontanée de symétrie permet de donner une masse aux bosons í et è . Il est largement détaillé dans la littérature [67]. Pour
mémoire, rappelons quelques relations. On introduit un doublet de champs scalaires com-plexes ü j é E o ü é 1 % a \ é 1 \ a (3.14)
La dynamique de ces champs est décrite par le lagrangien :
1 ü W - W - )O (3.15) avec : Dü )T a Mm a q ñ (3.16) V est minimum si : a ü a < (3.17) Le potentiel possède une infinité de minima. On brise la symétrie spontanément en fixant la valeur de , par exemple : ü j ñ a o (3.18) avec : Vü a (3.19) Pour les masses, on a les expressions suivantes :
ô ~ ü î¯v (3.20) ô¡ ü £¢ î a Mhî z a (3.21) ô ü ¤ (3.22)
La valeur attendue dans le vide est connue expérimentalement :
ü
^¥>¦
(3.23)
Ces équations ne laissent que deux paramètres libres. On peut prendre par exemple la masse du Higgsô et la masse duè
ô ~ . Le boson de Higgs reste la dernière particule du M.S. à ne pas avoir été encore découverte.
Le Higgs se couple également aux 6 quarks et aux 3 leptons chargés par des couplages de Yukawa. Les 9 fermions acquièrent ainsi une masse, d’autant plus grande que le cou-plage de Yukawa correspondant est fort. Cela ajoute 9 paramètres libres supplémentaires.
Les différents secteurs du M.S.
Le tableau 3.2 classe les différentes particules du M.S. dans leur secteur respectif et résume leurs différentes propriétés. représente la charge,
C
la troisième composante de l’isospin faible,§ l’hypercharge et÷ le spin.
De plus, on a la relation de Gell-Mann et Nishijima :
ü C M § (3.24) À chaque fermion du tableau, correspond une antiparticule.
3.1.3 État des lieux du M.S.
Les 4 expériences du LEP (Aleph, Opal, Delphi et L3) ont réalisé un nombre impres-sionnant de mesures de précision afin de tester le Modèle Standard. Ces mesures sont combinées avec celles d’autres expériences (en particulier ceux de NuTeV, CDF, D0 et SLD) et permettent de confronter les prédictions théoriques du M.S. aux résultats expéri-mentaux [69]. La figure 3.1 nous montre une liste des résultats du début de l’année 2002. Le pull représente l’écart entre la mesure et la prédiction du M.S. obtenue avec un jeu de paramètres provenant d’un ajustement global. Pour chaque mesure paramètre¨ , il est défini par : ÿ x n+n ü ¨p H y ) ¨P© 1f ª H y (3.25) Où ¨p H y
est la valeur expérimentale, ¨P©
1f
la valeur contrainte par ajustement global et
ª
H
y
l’erreur de la mesure. On constate un accord remarquable, le pull maximum étant de
ª
.
3.2 Les indices d’une nouvelle physique ?
3.2.1 Les limites du Modèle Standard
Le M.S. a remporté des succès très impressionnants ces vingt dernières années et, jus-qu’à maintenant, aucune mesure expérimentale n’a pu le mettre clairement en défaut [69], [92]. Toutefois, il laisse de trop nombreuses questions sans réponses pour être considéré comme une théorie ultime1.
Parmi celles-ci, on peut retenir :
þ
Le nombre de familles de fermions n’est pas expliqué. En effet, l’existence de 3 fa-milles est simplement un postulat dans le Modèle Standard. Les données du LEP (mesure des désintégrations duí en invisible, [60]) ont permis de confirmer qu’il n’existait que trois types de neutrinos légers (d’une masse inférieure à 45.6 GeV).
1. Bien que les capacités prédictives du Modèle Standard soient en tous points remarquables, ce dernier
Secteur des fermions Particule C § ÷ Masse x 2/3 ð < ð < 1/2 « 1.5-5 MeV x r 2/3 ñ ^ < 1/2 “ ” A -1/3 ) ð ð < 1/2 « 3-9 MeV A r -1/3 ñ ) < 1/2 “ ” ¬ 2/3 ð < ð < 1/2 « 1.1-1.4 GeV ¬ r 2/3 ñ ^ < 1/2 “ ” -1/3 ) ð ð < 1/2 « 60-170 MeV r -1/3 ñ ) < 1/2 “ ” ® 2/3 ð < ð < 1/2 ð ¯ ^Q° ²±´³ ° GeV ® r 2/3 ñ ^ < 1/2 “ ” µ -1/3 ) ð ð < 1/2 « 4.1-4.4 GeV µ r -1/3 ñ ) < 1/2 “ ” ë -1 ) ð ) ð 1/2 511 keV ë r -1 ñ ) 1/2 “ ” l ( 0 ð < ) ð 1/2 ¶· eV ë -1 ) ð ) ð 1/2 105.658 MeV ë r -1 ñ ) 1/2 “ ” l -% 0 ð < ) ð 1/2 ¶fð¸kñ keV ¹ ë -1 ) ð ) ð 1/2 ð ¯<¯ ¯ ° ñ³º±²ñ ° <¸ MeV ¹ ë r -1 ñ ) 1/2 “ ” l » 0 ð < ) ð 1/2 ¶ð¼ MeV
Secteur des bosons de jauge
Particule Interaction ÷ Masse
8 v g 0 forte 1 0 è 1 faible 1 ¼jñ °I^ ³jñ²± ñ ° ñ ¸ GeV í 0 faible 1 ¸}ð ° ð½¼¯º± ñ ° ñkñ¯ GeV ç 0 E.M. 1 0
Secteur du boson de Higgs
Particule § ÷ Masse
H ñ -1 ñ ¾ 114 GeV