1j"%$&4$ Ú >ê C uë (3.136)
Si les hypothèses des équations 3.134, 3.135 et 3.136 sont vérifiées, on parle alors
d’universalité de la brisure douce (soft breaking universality). Ces équations sont à
consi-dérer comme des conditions aux limites à une échelle d’énergie très grande (input scale). Pour évaluer la valeur de ces paramètres à une échelle d’énergie accessible (e.g. l’échelle électrofaible), il faut faire appel aux équations du groupe de renormalisation (c.f. partie 3.9).
Il reste à examiner les mécanismes théoriques pouvant conduire à 3.134, 3.135 et 3.136.
3.8 Brisure spontanée de la SUSY et Supergravité
On l’a vu, le MSSM possède un grand nombre de paramètres ce qui rend toute ap-proche phénoménologique délicate. Malgré des contraintes expérimentales (violation CP, courant neutre changeant la saveur, etc.) sur ces paramètres, on préférera ici utiliser des modèles plus restrictifs comme celui dit de la Supergravité (mSugra).
Une des idées les plus populaires pour briser la SUSY est de supposer qu’il existe deux secteurs de particules. L’un est dit secteur visible et correspond à l’ensemble des multiplets du MSSM. L’autre est dit secteur caché et contient des particules interagissant très peu avec le secteur visible. Il apparaît alors que les interactions entre les deux secteurs sont responsables de la brisure de la SUSY et font apparaître les termes du type G¶¸·¹4º
(cf.éq. 3.133).
Il existe différentes possibilités :
Les deux secteurs sont reliés par les couplages de jauges classiques (QCD et électro-faibles). On parle de Gauge Mediated supersymmetry Breaking (G.M.S.B.)[123]. Nous ne détaillerons pas ce type de modèle.
Les deux secteurs sont reliés par la gravitation. On parle alors de supergravité.
D’autres modèles que nous ne détaillerons pas ici (Anomaly mediated [124], Gaugino
mediated).
3.8.1 Lagrangien Sugra et transformation locale
Jusqu’à maintenant, nous avons considéré des transformations SUSY globales. Nous pouvons très bien envisager que ces transformations soient locales. C’est la particularité des théories de Supergravité. Revenons à un modèle simple, c’est-à-dire à un lagrangien composé d’un multiplet chiral sans interactions (cf. eq. 3.48). Supposons que le paramètre
ì
des transformations 3.50, 3.51 dépende maintenant deí et devienneì
í [115] : î b Á ï ì íð î b Á ï ì Í íð Í (3.137) î bBðñ ï ò Ü ì Í íwñBó Ü Á î bBð Íô ñ ï ò ì í Ü ô ñBó Ü Á (3.138)
La transformation du lagrangien devient :
î bBõ [ öø÷ Ú ê óBù ì í ù Ü ó Ü Á Lðúlû ü8ýJL ò ? Ä \ J (3.139)
Pour compenser ce terme, on introduit un nouveau champ de jauge, le gravitino, de spin 3/2 et qui se transforme comme :
þ Ü ñ* í ï . Ä ÿ ümJ Yÿ ò z © P î b þ Ü ñ í¬ê A ó Ü ì ñ í (3.140)
où est un indice spinoriel, et
un nombre de dimension <ê Ä %J A . Ce champ prend place dans le lagrangien sous forme de terme d’interaction :
÷ ¿ [ º [ · ê þ T T ó Á %ð (3.141) On trouve : î b úõ [ öø÷ Ú û@ ÷ ¿ [ º [ ·>ê þ ùFT Ü Ü ù ì í (3.142) où Ü ù
est le tenseur énergie-impulsion de la Relativité Générale, que nous ne détaillerons pas ici. Ajoutons finalement un autre champ, de spin 2, se transformant en un champ de spin 3/2, vérifiant : ^ Ü ù í ï . Ä ÿ ümJ Yÿ ò P î bB^ Ü ù í ê þ Ü T Ü ì í (3.143)
Ceci nous conduit à introduire dans le lagrangien le terme suivant :
÷ ¿ [ ºµ· ê ^ Ü ù í Ü ù (3.144) Finalement, on peut vérifier que :
î b ü Z í õ [ öø÷ Ú û@ ÷ ¿ [ º [ ·û ÷ ¿ [ ºµ· >ê C (3.145) Nous avons donc vu que l’introduction d’un nouveau multiplet, le multiplet de Super-gravité, comportant un champ þ
Ü í de spin 3/2 et un champ ^ Ü ù í de spin 2 permet de rendre la SUSY locale. ^
Ü
ù
í n’est rien d’autre que le tenseur m´trique [116]. Le partenaire de spin 3/2 est le gravitino. Pour construire une théorie Sugra réaliste, il faut
tout d’abord modifier légèrement les transformations en remplaçant les dérivées par des dérivées covariantes. Ensuite il reste à introduire les termes cinétiques puis à coupler le supermultiplet de supergravité à la matière. Ce sont ces couplages reliant le secteur vi-sible (tous les superchamps chiraux et vectoriels) au secteur caché (le supermultiplet de supergravité) qui engendreront la présence de termes de brisure douce dans le lagrangien. Nous ne détaillerons pas ici la manière dont on dérive ces termes d’interactions entre le supermultiplet de gravité et la matière.
3.8.2 Paramètres de mSugra
Unification des paramètres à l’échelle GUT
Le secteur caché communique avec le secteur visible par l’intermédiaire de la gravi-tation. En termes de théories de champs, cela signifie que le lagrangien contiendra des termes non renormalisables. Ces termes se présentent sous la forme suivante [93] :
M ê { ¼ õ ¿ v ¿ {P ¿ ! ¿ ! ¿ û F ÿl f { ¼ é õ ¿ v [ t Á [ Á t { ¼ õ ¿ v = {Ã x [ytv Á [ Á t Á v û {P s x [yt Á [ Á t D û F ÿl F (3.146)
est un champ auxiliaire appartenant à un multiplet chiral, Á
[
et !
¿ sont les champs des scalaires et des jauginos définis précédemment (cf. sections 3.6.1, 3.6.4). La masse de Planck apparaît car le couplage de la gravitation est proportionnel à A
` "!$#&% . Les ¿ , [ t , x [ytwv , s x
[yt , sont des paramètres sans dimension. Ils sont déterminés par la théorie choisie pour briser la SUSY. Si cette théorie est la Supergravité minimale
(mSu-gra), on peut montrer que les
¿
sont les mêmes pour les trois jauginos, que les
[
t sont
les mêmes pour tous les scalaires et que les
x
[ytwv et less
x
[yt sont proportionnels aux termes correspondants du superpotentiel5(eq. 3.84).
Ces termes associés à d’autres termes que l’on peut ignorer ici, sont supersymétriques mais non renormalisables. En première approximation, les termes non renormalisables se
comportent comme : ' 9 : © ¼ õ ¿ v (3.147) Comme les termes de brisure douce sont certainement de l’ordre de quelques centaines de GeV, on peut supposer que
9 : est de l’ordre de { C A V { C
AA GeV. Le lagrangienM
sera alors de la forme de l’équation 3.132 tout en respectant les conditions des équations 3.134, 3.135 et 3.136, ce qui est ce que l’on cherchait à obtenir. On notera également que dans ce cas, le partenaire du graviton, le gravitino, acquiert un masse par un mécanisme analogue au m´canisme de Higgs, ici appelé mécanisme de super-Higgs.
5. Cette partie technique étant trop complexe pour être simplement présentée ici, on se référera à l’annexe
On remarquera que si l’on veut inclure la relativité générale, l’apparition de termes non renormalisables dans le lagrangien est inévitable. Toutefois ces termes sont de l’ordre de {© ¼ õ ¿ v
et peuvent être négligés pour toute considération phénoménologique. De plus, on peut montrer que mSugra conduit à une unification des nombreux para-mètres à l’échelle GUT :
Unification des couplages de jauge :
A ½¼)( <ê*Wé ½¼+( Ûê* X ż+( ï -, (/. (3.148)
Unification de la masse des jauginos :
¼ A ż+( Ûê ¼ é ż+( Ûê ¼ X ż+( ï A10 é (3.149)
Unification de la masse des scalaires :
ã êá K êç å " êá å & êá å Ú êä Õ Ö êá Õ × ï V (3.150)
Unification des couplages trilinéaires :
1j" ½¼)( Ûêá1è& ż+( Ûêá1èõ ż+( ï 1 V (3.151)
Brisure de symétrie électrofaible
Par rapport au Modèle Standard, la brisure de symétrie électrofaible (E.W.S.B.) est compliquée par la présence de 2 doublets de Higgs. Cependant, le principe reste le même, on cherche à briser la symétrie électrofaible §
~ P K Q ~ {
$2 pour obtenir l’électroma-gnétisme~
{
43` .
On peut montrer, que l’E.W.S.B. (à l’ordre le plus bas) fixe 5
s 5 : 2Ç365 é 7 ê s é û@ é Õ 6 û é 7 © P s é û@ é Õ8 û é 7 © P (3.152) s é ê é Õ 6 é Õ8 24365 é 7 2Ç365 é 7 { é7 © P (3.153) s é ' é V { û C 92Ç3;5 é 7 2Ç365 é 7 { û é A10 é C 98û z92Ç3;5 é 7 24365 é 7 é7 © P (3.154)
Les 5 paramètres de mSugra
En définitive, toutes ces conditions assez restrictives conduisent à un modèle, mSugra, qui ne dépend que de 5 paramètres indépendants :
—
V : masse commune des sfermions à l’échelle GUT ; —
A10
é : masse commune des jauginos à l’échelle GUT ;
— ò ^ s
: signe du paramètre de mélange des Higgsinos ; —1
V : couplage trilinéaire commun à l’échelle GUT.
Ces 5 paramètres suffisent pour fixer toutes les masses des particules SUSY calculables à partir des équations dites du groupe de renormalisation (y compris les masses des 5 Higgs
. , +
, 1 , + /
). Dans l’analyse des prochains chapitres, nous travaillerons dans le cadre de mSugra. La raison à cela n’est pas seulement théorique mais aussi pratique. Manier 5 paramètres au lieu de plusieurs dizaines permet de balayer tout l’espace des paramètres SUSY et d’effectuer une étude phénoménologique acceptable.