Autres tests

5.3.1 Le principe variationnel

`

A partir d’un vecteur propre, on peut construire une ´equation du deuxi`eme degr´e

va-66 CHAPITRE 5 : Validation et pr´ecision de la m´ethode

Fig. 5.2 – Trac´e des fr´equences de Clement (1984) et de nos propres calculs pour les

polytropes. On remarquera l’accord qualitatif entre les deux, mais qu’il existe n´eanmoins

des diff´erences qui sont facilement d´etectables par les observations.

leur propre variationnelle » (not´ee ω

var.) pour la distinguer de celle issue de la m´ethode

num´erique (not´ee ω). Ceci fournit une autre fa¸con d’obtenir la valeur propre. En

compa-rantω etω

var.

on obtient une id´ee de la pr´ecision du calcul. D’apr`es le principe

variation-nel, l’erreur sur ω

var.

est proportionnelle au carr´e de l’erreur sur le vecteur propre (c.f.

Christensen-Dalsgaard & Mullan 1994, et l’annexe C). On utilise la formulation suivante

de l’´equation variationnelle (le calcul est pr´ecis´e dans l’annexe C) :

ω

²_var.

Z

V

ρ

o

|~v|

²

dV + 2iω

var.

Z

V

ρ

o

_Ω~ ·(~v

^∗

×~v)dV

−|ω|

²

Z

V

|p|

2

dV

ρ

o

c

2 o

−

Z

V∞

∇~Ψ

2

dV

−

Z

V

ρ

o

N

_o²

|~v·~e

g

|

²

dV = 0,

(5.6)

o`u V repr´esente le volume de l’´etoile, V

∞

tout l’espace et ~e

g

le vecteur unitaire dans la

mˆeme direction que la gravit´e. Le calcul des diff´erentes int´egrales est fait num´eriquement

en utilisant la quadrature de Gauss dans la direction horizontale (avec 200 points de

r´esolution) et une d´ecomposition spectrale dans la direction radiale (avec 101 points de

r´esolution). Dans l’annexe C, on donne les formules explicites des diff´erentes int´egrales

en g´eom´etrie sph´ero¨ıdale. En comparant ωetω

var., on a obtenu en g´en´eral des diff´erences

∆ω/ω ∼10

−8

. Ceci peut ˆetre compar´e `a Ipser & Lindblom (1990) dans lequel l’application

du principe variationnel donnait des diff´erences de l’ordre de 10

−3

.

5.3.2 Rˆole des param`etres num´eriques

Un dernier test qu’on peut faire est d’´evaluer le rˆole des param`etres num´eriques. En

jouant sur la r´esolution du mod`ele (radiale et angulaire), celle des pulsations, la valeur

de σ (issue de la transformation spectrale « shift and invert », voir la partie 4.2.1) et

la valeur du crit`ere de convergence des mod`eles, , on peut analyser les variations des

valeurs propres. On a donc test´e un ´echantillon de modes, repr´esentatif de l’ensemble des

pulsations calcul´ees. La figure 5.3 montre l’effet de diff´erents param`etres sur la fr´equence

Autres tests 67

associ´ee au mode (n,`,m) = (10,2,1) `a Ω = 0.59 Ω

K

. Les deux figures en haut montre

l’effet de la r´esolution sur le calcul de ω. La figure en bas `a gauche montre la distribution

de fr´equences obtenues lors du test sur le shift, et celle en bas `a droite compare les

diff´erents taux d’erreur. Dans les figures sur la r´esolution, on utilise la valeur deωobtenue

`a r´esolution maximale comme r´ef´erence. Pour le test sur le shift, on prend 50 shifts

al´eatoires au voisinage deωet on calcul la distribution de valeurs propres correspondantes.

On peut alors comparer l’´ecart type de la distribution du shift et celui des valeurs propres

pour estimer l’influence du shift. En comparant les deux ´ecart types (donn´es par les

niveaux σ

Shift

etσ

ω

dans la figure en bas `a droite), on trouve que des variations du shift

induisent des variations de la valeur propre 10

8

fois plus petites. Autrement dit, le shift a

tr`es peu d’influence sur la valeur propre.

La figure en bas `a droite r´esume les niveaux d’erreur induits par les diff´erents

pa-ram`etres d’entr´ee. Les niveaux L

max

et σ

ω

sont tr`es faibles puisqu’ils ne font pas

inter-venir de modifications sur le mod`ele. Ainsi le calcul des fr´equences est tr`es pr´ecis. Les

niveaux N

r

et L

max

font intervenir des modifications sur le mod`ele d’´equilibre et montre

son importance sur le calcul des fr´equences. Le niveau E montre le taux d’erreur quand

on prend = 10

−8

, ce qui est typique dans nos calculs de fr´equences. Si on prend une

valeur plus faible pour , on peut atteindre un niveau d’erreur comparable `a L

mod

.

La table 5.8 donne un r´esum´e des r´esultats obtenus. Pour chaque param`etre, on a

utilis´e la fr´equence obtenue avec la meilleure r´esolution (ou avec la plus faible valeur de

) comme r´ef´erence. Dans la plupart des cas, l’erreur varie peu en fonction de la valeur

des diff´erents param`etres ce qui sugg`ere qu’on a d´ej`a atteint la pr´ecision maximale pour

ces param`etres. Parfois, n´eanmoins, l’erreur subit une forte d´ecroissance. Par exemple,

l’erreur E est `a peu pr`es proportionnelle `a . Pour les modes d’ordre radiaux ´elev´es, le

param`etreN

r

joue fortement sur l’erreur jusqu’`a ce qu’on ait mis une r´esolution suffisante.

Pour le test sur le shift σ, on prend l’´ecart type σ

ω

des variations induites sur la valeur

propre.

L

max

L

mod

N

r

σ

ω

E

Valeurs 40, 44 ... 80 30, 34 ... 70 32, 36 ... 60 2−5×10

−4

10

−8

...10

−10

Basses fr´equences <10

−15

10

−10

10

−10

10

−13

10

−10

Hautes fr´equences 10

−14

10

−9

10

−10

10

−11

10

−9

Tab. 5.8 – Variations des fr´equences induites par les param`etres num´eriques.L

max

est la

r´esolution angulaire des modes de pulsation,L

mod

est celle des mod`eles d’´equilibre,N

r

est

la r´esolution radiale des mod`eles et des pulsations (les deux sont pareils), σ est le shift et

le param`etre qui contrˆole la convergence des mod`eles. La ligne avec « Valeurs » donne

les diff´erentes r´esolutions utilis´ees, l’´ecart type des diff´erentes valeurs de σ, et les valeurs

pour . Les deux lignes qui suivent donnent l’amplitude des variations des fr´equences

(adimensionn´ee par √

68 CHAPITRE 5 : Validation et pr´ecision de la m´ethode

Fig. 5.3 – Les quatre figures montrent les effets des diff´erents param`etres sur la fr´equence

associ´ee au mode (n,`,m) = (10,2,1) `a Ω = 0,59 Ω

K

. Les erreurs sont adimensionn´ees

par √

4πGρ

c.

En haut, `a gauche : ´evolution de l’erreur en fonction de la r´esolution

angulaire du mod`ele. La r´esolution angulaire des pulsations a tr`es peu d’effet sur les

erreurs puisqu’on a d´ej`a atteint une r´esolution suffisante `aL

mod

= 30.En haut, `a droite :

´evolution de l’erreur en fonction de la r´esolution radiale. L’erreur d´ecroˆıt fortement au

d´epart avant de se stabiliser autour de 10

−9,5

pour N

r

≥ 44. Ceci est normal, puisque

l’ordre radial du mode est ´elev´e et n´ecessite une r´esolution radiale plus importante. En

bas, `a gauche : distribution des fr´equences obtenue lors du test sur le shift. Le test

consiste `a prendre 50 shifts al´eatoires (au voisinage de ω) et de calculer les valeurs propres

correspondantes. L’´ecart-type des variations sur le shift σ

Shift

vaut 2,6×10

−4

alors que

celui des variations de la fr´equences σ

_ω

est 1,9×10

−12

. En bas, `a droite : cette figure

compare les diff´erents erreurs et l’amplitude des variations sur le shift sur une ´echelle

logarithmique. La ligne L

max

montre les effets de la r´esolution angulaire du mode de

pulsation. σ

ω

donne l’amplitude des variations de ω lors du test sur le shift. N

r

donne

l’effet de la r´esolution radiale et L

mod

celle de la r´esolution angulaire du mod`ele. Pour les

lignes L

max

, N

r

etL

mod

on a pris la diff´erence entre les valeurs propres obtenues pour les

deux r´esolutions maximales. La ligne E montre l’erreur quand on prend = 10

−8

, ce qui

est typique dans nos calculs de fr´equences. La ligne σ

Shift

est trac´ee avec des tirets pour

la distinguer des autres puisqu’elle ne correspond pas `a des erreurs num´eriques mais `a

l’amplitude des variations sur le shift.

Discussion 69

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