Organisation du spectre de fr´equence

`

A rotation nulle, on utilise la grande s´eparation (« large frequency separation ») :

∆nω

n, `, m

=ω

n+1, `, m

−ω

n, `, m

, (7.1)

et la petite s´eparation (« small frequency separation ») :

δ

ω

n, `, m

=ω

n+1, `, m

−ω

n, `+2, m

, (7.2)

pour caract´eriser l’organisation asymptotique du spectre de fr´equences. En effet, quand

n tend vers l’infini, ∆

ω

_{n, `, m}

tend vers une limite ∆

qui ne d´epend ni de ` ni de m.

D’apr`es la formule asymptotique de Tassoul (1980), cette limite est tout simplement

∆n = π/^R

₀^R^dr_c_o

, soit 2π fois l’inverse du temps d’un trajet aller-retour entre le centre

et la surface stellaire en voyageant `a la vitesse du son c

(qui d´epend de la position dans

Organisation du spectre de fr´equence 89

Fig.7.2 – Les grande et petite s´eparations (not´ees ∆f etδf dans la figure, respectivement)

à rotation faible et élevée. Comme on peut le voir, la grande séparation varie peu suivant

la vitesse de rotation. Par contre la «petite »s´eparation devient comparable `a la grande

séparation à rotation élevée.

l’´etoile). Quand n tend vers l’infini, la petite s´eparation δ

ω

n, `, m

tend vers 0. On peut

alors se poser la question de savoir si ces quantités continuent à caractériser les propriétés

asymptotiques du spectre et comment elles se comportent quand on introduit la rotation.

La figure 7.2 illustre les deux s´eparations et comment elles ´evoluent avec la rotation.

Comme on peut le voir dans la figure, la grande séparation est conservée à rotation élevée.

Par contre, la « petite » séparation devient beaucoup plus grande à rotation élevée et

atteint une taille comparable `a la grande s´eparation.

Pour mieux comprendre les propriétés asymptotiques des grande et petite séparations,

il faut tracer leurs ´evolutions en fonction de l’ordre radial. C’est ce qui est fait dans les

figures 7.3 et 7.4 pour diff´erentes vitesses de rotations. Dans la figure 7.3, on voit que,

mis à part quelques fluctuations, la grande séparation tend vers une limite qui ne dépend

ni de ` ni de m pour chaque vitesse de rotation. On notera cette limite ∆

. Dans la

figure 7.4, on voit le mˆeme comportement pour la petite s´eparation. Comme on pouvait

l’anticiper d’apr`es la figure 7.2, la limite δ

est non-nulle quand on introduit la rotation,

contrairement au cas sans rotation. On peut alors se demander si cela se confirme pour

des valeurs plus élevées de `. Dans La figure 7.5, on trace les grande et petite séparations

pour des modes sans la force de Coriolis, dans l’approximation de Cowling et de degr´e `

compris entre 0 et 7. On retrouve le même phénomène.

Ainsi, le comportement des grande et petite s´eparations sugg`ere qu’il existe une

organisation asymptotique du spectre de fr´equences malgr´e la rotation stellaire. Pour

mieux caract´eriser cette organisation, on introduit la quantit´e auxiliaire ∆`ω

n, `, m

=

(ω

n, `+2, m

−ω

n, `, m

)/2 li´ee aux grande et petite s´eparations par la formule 2∆`ω

n, `, m

=

∆nω

n, `, m

−δ

ω

n, `, m

(Ligni`eres et al. 2006a, utilise la notation ∆

2, `). Cette quantit´e tend

90 CHAPITRE 7 : Au-del`a des m´ethodes perturbatives

Fig. 7.3 – La grande s´eparation `a

diff´erentes vitesses de rotation. Dans

chaque figure, on relie cons´ecutivement les

ordres radiaux n pour un degr´e ` et un

ordre azimutal m donn´es. ` prend des

va-leurs entre 0 et 3 et m entre −` et `.

Comme on peut le voir dans les trois

fi-gures, ces diff´erences tendent vers une

li-mite qui ne d´epend ni de`ni demquandn

devient grand. Les dents de scie sont dues

à des croisements évités.

Fig. 7.4 – La petite s´eparation `a

diff´erentes vitesses de rotation. Dans

chaque figure, on relie cons´ecutivement les

ordres radiaux n pour un degr´e ` et un

ordre azimutal m donn´es. ` prend des

va-leurs entre 0 et 1 et m entre−` et`. Dans

la premi`ere figure, la petite s´eparation

tend vers z´ero. Dans la deuxi`eme et

troisi`eme figure ce n’est plus le cas. Dans

la troisi`eme figure, on semble avoir atteint

un r´egime asymptotique, mais il faudrait

le vérifier à des ordres n plus élevés.

Organisation du spectre de fr´equence 91

10 F. Ligni`eres et al.: Acoustic oscillations of rapidly rotating polytropic stars

Fig. 7.Regularities in the frequency spacings of axisymmetric (m = 0) modes. The large frequency separation between modes of consecutive

order ∆

= ω

_n_`

−ω

_n₋1`

, the frequency separation between` + 2 and ` modes, ∆

2,`

= ω

_n_,`₊2

−ω

_n_,`

, and the small frequency separation

δ = ∆

−∆

2,`

are displayed as a function of the radial ordernfor four different rotation rates, (a)Ω = 0, (b) Ω/Ω

=0.32, (c)Ω/Ω

=0.46

and (d)Ω/Ω

= 0.59. We plotted the opposite of the small frequency separation−δ for clarity. Continuous lines have been drawn between

frequencies of the same degree`.

between the logarithmic derivative of the sound travel times

computed respectively along the polar and equatorial radii:

∂_Ω ln

Z R

0 dr

c

!

≤ −∂_Ω(lnω) ≤∂_Ω ln

Z R

0 dr

c

!

(40)

Another interesting property is that, at small rotation rates, say

Ω/Ω_K ≤ 0.05, the contraction rate ∂_Ω(lnω) tends to be

inde-pendent of ` and n for the large degree modes ` ≥ 3. This

suggests that an asymptotic regime exists for modes with

hori-zontal wavelengths smaller than the dominant length scales of

the centrifugal distortion. In this regime, the contraction rate

has a constant value that is not equal to−(1/2)(∆V/V). We

al-ready found such behaviour in the case of homogeneous

el-lipsoids (Ligni`eres et al., 2001) where a perturbative analysis

shows that the contraction rate of axisymmetric modes is

con-stant for high` and nand that it can be related to the increase

of the ellipse perimeter.

Nevertheless, for the low degree modes ` ≤ 2 below

Ω/Ω_K ≈ 0.05, and for all modes at higher rotation rates,

∂_Ω(lnω) depends on ` and n. This differential effect

modi-fies the structure of the frequency spectrum as the rotation

in-creases.

4.3.2. Regular frequency spacings

In a non-rotating star, the frequency spectrum presents some

regular frequency spacings which can be accounted for by an

asymptotic theory in the high frequency limit ω → ∞. The

asymptotic formula (39), valid for low degree and high

or-der modes, shows that the large frequency separation between

modes of consecutive order n , ∆_n = ω_n₊1,` −ω_n_,`, does not

depend on ` and n and is equal to π/^R₀^R ^dr_c. A more detailed

asymptotic analysis also shows how the so-called small

fre-quency separation δ = ω_n₊1,` − ω_n_,`₊2 vanishes as a function

of the frequency. Although our calculations are restricted to

the low frequency part of the acoustic spectrum, we observe a

clear tendency towards these asymptotic behaviors in the

non-rotating case. We can therefore investigate whether these

prop-erties are modified by rotation.

Fig.7.5 – Les grande et petite s´eparations (not´ees ∆netδ, respectivement) pour`compris

entre 0 et 7 et m = 0 `a Ω = 0.59 Ω

. Comme on peut le voir, les deux s´eparations

tendent vers des valeurs constantes, mis `a part quelques fluctuations. La quantit´e ∆

₂_{, `}

=

2∆`ω

n, `, m

=ω

n, `+2

−ω

n, `

intervient dans l’organisation du spectre.

vers la limite ∆` = (∆n−δ

/2, laquelle est ind´ependante de `etm. On peut alors se

de-mander comment se comporte la quantit´e plus intuitives ∆

ω

n, `, m

=ω

n, `+1, m

−ω

n, `, m

. On

pourrait croire qu’elle tend aussi vers ∆l quand ntend vers l’infini. Or, dans la figure 7.6,

le trac´e de ∆`ω

n, `, m

et ∆

ω

n, `, m

montre que ce n’est pas le cas. Ceci r´esulte du fait que le

spectre de fréquences de modes paires est progressivement décalé du spectre associé aux

modes impaires. Ainsi, on peut mettre les fr´equences sous la forme asymptotique :

ω

n, `

= ∆nn+ ∆``+α

^±

(7.3)

o`uα

dépend de la parité de `+m. Cette formule est celle obtenue dans Lignières et al.

(2006a) pour des modes de pulsations axisym´etriques avec la force centrifuge. On voit ici

que l’introduction de la force de Coriolis et des perturbations du champ gravitationnel

ne modifie pas la forme de cette formule. On peut alors se poser la question de savoir

comment agit l’ordre azimutal.

Pour mieux comprendre le rôle de l’ordre azimutal, on considérera les fréquences dans

le référentiel en rotation avec l’étoile. Ainsi, à faible rotation, la force de Coriolis est l’effet

dominant et conduit à des multiplets dont les fréquences sont uniformément espacées.

Quand on augmente la vitesse de rotation, la force centrifuge domine, comme on l’a

déjà vu dans le chapitre précédent. La force centrifuge induit un effet symétrique en m,

contrairement à la force de Coriolis. Ainsi, on cherchera à ajouter à l’équation (7.3) un

terme qui soit symétrique par rapport à m. De la même fa¸con qu’avant, on introduit la

quantit´e ∆mω

n, `, m

= ω

n, `, m

−ω

n, `, m−2sg(m)

/2, o`u sg(m) = 1 quand m >0 et sg(m) =

−1 quand m <0. Dans la figure 7.7, on trace l’´evolution de ∆mω

n, `, m

en fonction de n.

92 CHAPITRE 7 : Au-del`a des m´ethodes perturbatives

Fig.7.6 – Les quantit´es ∆`ω

n, `, m

= (ω

n, `+2, m

−ω

n, `

, m)/2 et ∆

ω

n, `, m

=ω

n, `+1, m

−ω

n, `, m

en fonction de l’ordre radial, pour` compris entre 0 et 1 pour la figure de gauche et 0 et 2

pour la figure de droite. Comme on peut le constater, dans la figure de gauche on obtient

une seule limite quand n est grand, alors qu’on en obtient 2 dans la figure de droite. Ceci

montre le rôle de la parité des modes (donnée par (`+m) mod 2) dans le comportement

asymptotique des fr´equences.

limite quand n tend vers l’infini. On obtient alors la formule asymptotique :

ω

n, `, m

= ∆nn+ ∆``+ ∆m|m|+α

^±

(7.4)

valable pour les fréquences dans le repère en rotation avec l’étoile. Pour trouver les

fréquences dans le repère inertiel, il faut ajouter le terme géométrique −mΩ (voir

l’´equa-tion (3.23)). `A rotation nulle, on retrouve la formule asymptotique de Tassoul (1980), en

prenant ∆

= 2∆

=π/^R

₀^Rdr

, ∆

= 0 et α

=α

−

.

On peut alors utiliser l’équation (7.4) pour essayer de modéliser le spectre de fréquence.

Dans la figure 7.8, on compare le spectre réel de fréquence à Ω = 0.59 Ω

`a un spectre

synthétique basé sur l’équation (7.4). À titre de comparaison, on inclut le spectre prédit

par les m´ethodes perturbatives du troisi`eme ordre. Comme on peut le constater, le spectre

synth´etique s’accorde avec le spectre r´eel nettement mieux que le spectre perturbatif. Plus

précisément, on constate que les prédictions perturbatives conduisent à un spectre dont la

structure est beaucoup moins régulière que le spectre réel alors que la formule

asympto-tique contient par construction cette régularité. La table 7.1 donne les valeurs des différents

paramètres à différentes vitesses de rotation. Elle contient aussi différentes mesures des

erreurs sur les fr´equences des modes 5≤n ≤10 quand on utilise l’´equation (7.4) et quand

on utilise une formule perturbative du troisi`eme ordre. Dans chaque cas on donne

l’écart-type de l’erreur et l’erreur maximale, les deux étant normalisés par la grande différence ∆n.

Conformément à ce qu’on pouvait attendre, les formules perturbatives sont très bonnes

pour de faibles vitesses de rotation et deviennent progressivement moins bonnes. La

for-mule asymptotique marche nettement mieux quand la vitesse de rotation devient ´elev´ee.

La derni`ere ligne du tableau contient les erreurs quand on consid`ere les modes 1≤n ≤10.

L’augmentation des erreurs liées à la formule (7.4) dans cette dernière ligne est conforme

`a sa nature asymptotique. L’erreur quadratique de la m´ethode perturbative, par contre,

Structure g´eom´etrique des modes 93

Fig. 7.7 – Les diff´erences ∆mω

n, `, m

= ω

n, `, m

−ω

n, `, m−2sg(m)

/2 pour 2 ≤ ` ≤ 3 et

2 ≤ |m| ≤ 3. Une fois de plus, les diff´erentes courbes se rapprochent et semblent tendre

vers une limite.

décroˆıt dans cette situation à cause des effets décroissante de la force centrifuge quand n

diminue.

L’étape suivante consiste à caractériser les différentes quantités (∆

,∆

,α

,α−) ou

à les établir de manière analytique. La figure 7.9 est une tentative de mieux comprendre

∆n. Dans cette figure, on a tracé l’évolution en fonction de Ω de ∆n, adimensionnée de

diff´erentes fa¸cons. La courbe en trait plein s’approche de l’horizontal ce qui veut dire

que ∆n est à peu près proportionnelle à ^pGM/V où V est le volume de l’étoile. Ceci

donne l’espoir que l’expression th´eorique de ∆net des autres param`etres aient une formule

simple. On pourrait alors caract´eriser de fa¸con simple le comportement asymptotique des

fréquences, même à rotation élevée.

L’int´erˆet de la formule asymptotique (7.4) est qu’elle permettra d’identifier les modes

de pulsation plus facilement. Pour y parvenir, il faudra ´elaborer une m´ethode qui permet

de mettre un spectre de fréquences observées sous la forme donnée par l’équation (7.4).

Une telle identification est une des ´etapes essentielles avant de pouvoir d´eduire des

in-formations sur la structure de l’´etoile. En plus de cette ´etape, il faut aussi connaˆıtre la

géométrie des modes, ce qui n’est pas trivial quand la vitesse de rotation est élevée.

Dans le document La modélisation des oscillations d'étoiles en rotation rapide (Page 89-94)

`

A rotation nulle, on utilise la grande s´eparation (« large frequency separation ») :

∆nω

=ω

−ω

, (7.1)

et la petite s´eparation (« small frequency separation ») :

δ

ω

=ω

−ω

, (7.2)

pour caract´eriser l’organisation asymptotique du spectre de fr´equences. En effet, quand

n tend vers l’infini, ∆

ω

tend vers une limite ∆

qui ne d´epend ni de ` ni de m.

D’apr`es la formule asymptotique de Tassoul (1980), cette limite est tout simplement

∆n = π/R

, soit 2π fois l’inverse du temps d’un trajet aller-retour entre le centre

et la surface stellaire en voyageant `a la vitesse du son c

(qui d´epend de la position dans

Organisation du spectre de fr´equence 89

Fig.7.2 – Les grande et petite s´eparations (not´ees ∆f etδf dans la figure, respectivement)

à rotation faible et élevée. Comme on peut le voir, la grande séparation varie peu suivant

la vitesse de rotation. Par contre la «petite »s´eparation devient comparable `a la grande

séparation à rotation élevée.

l’´etoile). Quand n tend vers l’infini, la petite s´eparation δ

ω

tend vers 0. On peut

alors se poser la question de savoir si ces quantités continuent à caractériser les propriétés

asymptotiques du spectre et comment elles se comportent quand on introduit la rotation.

La figure 7.2 illustre les deux s´eparations et comment elles ´evoluent avec la rotation.

Comme on peut le voir dans la figure, la grande séparation est conservée à rotation élevée.

Par contre, la « petite » séparation devient beaucoup plus grande à rotation élevée et

atteint une taille comparable `a la grande s´eparation.

Pour mieux comprendre les propriétés asymptotiques des grande et petite séparations,

il faut tracer leurs ´evolutions en fonction de l’ordre radial. C’est ce qui est fait dans les

figures 7.3 et 7.4 pour diff´erentes vitesses de rotations. Dans la figure 7.3, on voit que,

mis à part quelques fluctuations, la grande séparation tend vers une limite qui ne dépend

ni de ` ni de m pour chaque vitesse de rotation. On notera cette limite ∆

. Dans la

figure 7.4, on voit le mˆeme comportement pour la petite s´eparation. Comme on pouvait

l’anticiper d’apr`es la figure 7.2, la limite δ

est non-nulle quand on introduit la rotation,

contrairement au cas sans rotation. On peut alors se demander si cela se confirme pour

des valeurs plus élevées de `. Dans La figure 7.5, on trace les grande et petite séparations

pour des modes sans la force de Coriolis, dans l’approximation de Cowling et de degr´e `

compris entre 0 et 7. On retrouve le même phénomène.

Ainsi, le comportement des grande et petite s´eparations sugg`ere qu’il existe une

organisation asymptotique du spectre de fr´equences malgr´e la rotation stellaire. Pour

mieux caract´eriser cette organisation, on introduit la quantit´e auxiliaire ∆`ω

=

(ω

−ω

)/2 li´ee aux grande et petite s´eparations par la formule 2∆`ω

=

∆nω

−δ

ω

(Ligni`eres et al. 2006a, utilise la notation ∆

90 CHAPITRE 7 : Au-del`a des m´ethodes perturbatives

Fig. 7.3 – La grande s´eparation `a

diff´erentes vitesses de rotation. Dans

chaque figure, on relie cons´ecutivement les

ordres radiaux n pour un degr´e ` et un

ordre azimutal m donn´es. ` prend des

va-leurs entre 0 et 3 et m entre −` et `.

Comme on peut le voir dans les trois

fi-gures, ces diff´erences tendent vers une

li-mite qui ne d´epend ni de`ni demquandn

devient grand. Les dents de scie sont dues

à des croisements évités.

Fig. 7.4 – La petite s´eparation `a

diff´erentes vitesses de rotation. Dans

chaque figure, on relie cons´ecutivement les

ordres radiaux n pour un degr´e ` et un

ordre azimutal m donn´es. ` prend des

va-leurs entre 0 et 1 et m entre−` et`. Dans

∆n = π/^R

∂_Ω ln

≤ −∂_Ω(lnω) ≤∂_Ω ln

Ω/Ω_K ≤ 0.05, the contraction rate ∂_Ω(lnω) tends to be

Ω/Ω_K ≈ 0.05, and for all modes at higher rotation rates,

∂_Ω(lnω) depends on ` and n. This differential effect

modes of consecutive order n , ∆_n = ω_n₊1,` −ω_n_,`, does not

depend on ` and n and is equal to π/^R₀^R ^dr_c. A more detailed

fre-quency separation δ = ω_n₊1,` − ω_n_,`₊2 vanishes as a function