Une simulation d’un essai œdométrique à succion imposée (s = 4200 kPa) dont les chemins de contrainte dépassent deux surfaces de charge en même temps (LC et SI) a été également effectuée, afin de s’assurer que les algorithmes correspondant à ce type de chemins sont correctement programmés dans le code. Cet essai débute à une contrainte faible de 100 kPa et une succion de l’ordre de 4200 kPa et comporte une phase de chargement mécanique à succion constante (s = 4200 kPa, p = 100→2200 kPa). Les figures III.34 et III.35 représentent respectivement les chemins de contrainte suivis et le résultat de simulation de cet essai.
* 1 2 1 2 2 3 2
Figure III.34 - Chemins de contrainte suivis et écrouissage des différentes surfaces de charge dans le test de dépassement de deux surfaces de charge en même temps
L’analyse de ces résultats montre de nouveau que le modèle numérique reproduit bien les paramètres introduits. L’application de la première étape de chargement (chemin A-B) se produit dans la zone élastique, ce qui n’affecte donc pas la position des surfaces de charge et le sol se comporte de manière élastique durant cette étape. L’augmentation du chargement jusqu’à 1800 kPa (chemin B-C) provoque un dépassement de la courbe LC et par conséquent un déplacement de cette courbe de la position initiale LC vers la position
LC . La dernière étape du chargement jusqu'à 2200 kPa (chemin C-D) provoque un
dépassement de la courbe SI et par conséquent un déplacement de cette courbe de la position initiale SI vers une position plus haute notée SI . Ce déplacement de la courbe SI est couplé à un mouvement de la courbe LC de la position LC vers la position LC et de la courbe SD de la position SD vers une position plus haute notée SD . Il y a donc un agrandissement du domaine élastique. 1
0 2000 4000 6000 0 500 1000 1500 2000 2500 P*(kPa) s(kP a) p* (kPa) A A : état initial A-B-C-D D LC1 SI1 SD1 B C LC2 LC3 SI2 SD2 141
0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 10 100 1000 10000
Contrainte nette (kPa)
Indi ce de s v ide s A κ = 0,008 LC1 B D LC2 λ = 0,2435 C p0(s) = 915 kPa LC3
Figure III.35 - Courbe de compressibilité de l’essai simulé
III.5- CONCLUSION
Dans la première partie de ce rapport, nous avons exposé la description du code de calcul par éléments finis Code_Bright dans lequel le modèle BExM a été implanté. Les exemples d’applications effectués dans cette partie ont permis de vérifier le fonctionnement de certains modèles numériques existants ; le modèle d’élasticité linéaire et le modèle élastoplastique BBM.
*
La dernière partie était consacrée à la vérification du modèle programmé. Les tests effectués dans cette partie nous ont permis d’avoir une certitude de la bonne programmation effectuée, ce qui nous permettra d’entamer avec confiance, la modélisation des essais expérimentaux réalisés sur un sol gonflant (les essais œdométriques à succion contrôlée réalisés, par Romero (1999) sur l’argile de Boom, par Cuisinier (2002) sur un mélange compacté de 60 % de bentonite et de 40 % de limon, et par Lloret et al. (2003) sur une bentonite contenant plus que 90 % de montmorillonite), et la modélisation des problèmes pratiques tels que les remblais routiers, les fondations, les stockages de déchets, etc., qui est l’objectif principal de ces travaux de recherche.
La deuxième partie était consacrée à la présentation des différentes étapes du travail numérique effectué pour implanter le modèle BExM dans Code_Bright. Ceci s’est fait par l’introduction d’une nouvelle famille de procédures numériques adaptées à ce modèle. L’expression reliant les changements de contrainte en fonction des changements de déformation et des incréments de la succion a été exprimée sous une forme appropriée pour des programmes standards d’éléments finis et la détermination de la fonction de charge du modèle BExM, selon une approche permettant d’approcher ses surfaces de charge par une surface de charge unique (ellipse) et une autre qui reprend les surfaces réelles du modèle, a été exposée. L’utilisation de la première approche a été abandonnée du fait de la difficulté d’implanter les lois d’écrouissage du modèle et de la réduction du domaine élastique réel. En revanche, l’utilisation de la deuxième approche a permis de déterminer l’équation de la surface de charge du modèle dans l’espace (p ,q,s) et pour un état de contrainte donné.
CHAPITRE IV
PRISE EN COMPTE DES INCERTITUDES
DES PARAMÈTRES DU MODÈLE BExM
143
Chapitre IV
Prise en compte des
incertitudes des
paramètres du modèle
BExM
IV.1- INTRODUCTION
Lors d’une modélisation à l’aide de la méthode des éléments finis, il est nécessaire de connaître des données initiales, telles que les paramètres géotechniques des matériaux. Cependant dans de nombreux cas, il est difficile de déterminer certains paramètres avec suffisamment de précision, ce qui rend les résultats des modélisations incertains. Le choix des paramètres et données que l’on doit introduire dans le calcul par éléments finis est donc très délicat. En effet, le sol est par nature un milieu hétérogène. La variation spatiale de ses propriétés peut donc être importante. La réalisation de quelques reconnaissances ponctuelles ne permet alors pas de déterminer avec précision ses caractéristiques. Outre la variabilité spatiale des paramètres géotechniques, de nombreux autres facteurs entachent les résultats des modélisations d’incertitudes (Cambou, 1977). Ces facteurs correspondent à la détermination des conditions aux limites du modèle, aux sollicitations imposées au milieu étudié, aux méthodes de calcul elles-mêmes et à des erreurs humaines pouvant être commises lors des calculs ou de la détermination des paramètres géotechniques. On s’accorde en général à reconnaître que les incertitudes les plus grandes sont celles induites par une mauvaise connaissance des propriétés des sols (Bouayed, 1997 ; Mellah, 1999 ; Auvinet et al., 2000 et Auvinet, 2001).
Les paramètres des sols doivent alors être considérés comme des variables aléatoires ou des processus stochastiques spatiaux. L’introduction dans les modélisations de concepts issus de la théorie des probabilités, permettant de prendre en compte le caractère aléatoire des propriétés des matériaux, est donc apparue comme potentiellement utile. C’est ainsi qu’est née en particulier la méthode des éléments finis stochastique. Cette méthode consiste à estimer, au moyen de différentes techniques probabilistes, les incertitudes qui affectent les résultats des modélisations comme les déplacements, les contraintes, les déformations, les indices des vides, etc. obtenus à partir de calculs réalisés au moyen de la méthode des éléments finis et portant sur des massifs et ouvrages à propriétés aléatoires.
Ce chapitre va dans un premier temps recenser les principales sources d’incertitude en géotechnique, notamment l’incertitude sur la connaissance des paramètres géotechniques du sol. Les techniques de modélisation de ces incertitudes au moyen des variables aléatoires ou des champs stochastiques seront également développées.
Dans un deuxième temps, la méthode des éléments finis stochastique avec un traitement probabiliste au premier ordre-seconds moments (FOSM) pour l’estimation des incertitudes
Mohamad Mrad (2005) 144 Chapitre IV :
sur les résultats des modélisations sera détaillée plus précisément. Cette méthode d’analyse des incertitudes sera ensuite mise en pratique grâce à l’adaptation d’un programme Fortran (Feamel), crée en 1999 par Mellah et basé sur le code de calcul par élément finis Feadam 84 (Ducan et al., 1984). Ce programme permet d’estimer les incertitudes (écarts-types et coefficients de variation) sur les déplacements, les contraintes et les déformations. Goineau (2001) a modifié le programme Feamel afin qu’il ne se base plus sur le code de calcul aux éléments finis Feadam 84, mais soit applicable à d’autres logiciels (tel que Plaxis). Le programme modifié, intitulé P_FOSM, peut donc fonctionner de manière indépendante du code de calcul aux éléments finis après que les fichiers de données du programme aient été mis en forme convenablement. Le programme P_FOSM a encore été modifié lors de ce travail en introduisant la possibilité de calculer les incertitudes sur les indices des vides et en modifiant la mise en forme et les formats des valeurs des fichiers de données pour permettre d’effectuer des analyses d’incertitudes en se basant sur le code de calcul Code_Bright. Dans ce qui suit, ce logiciel, intitulé
CB_FOSM, sera présenté.
Une étude de la sensibilité de la réponse du modèle élastoplastique BExM aux différents paramètres de ce modèle sera également présentée en les considérant comme des variables aléatoires afin de mettre en évidence les paramètres qui doivent faire l’objet d’une détermination plus soignée. La méthode FOSM sera ensuite appliquée, par l’utilisation combinée du code de calcul aux éléments finis Code_Bright où le modèle
BExM a été implanté et du programme CB_FOSM, afin d'évaluer l’influence de l’incertitude
régnant dans les paramètres du sol sur les résultats de la modélisation. Les résultats d’incertitudes obtenus pour les indices des vides, lors des simulations des essais œdométriques à succion contrôlée sur un sol gonflant, seront présentés et commentés.
IV.2- LES INCERTITUDES EN GÉOTECHNIQUE
Les causes des incertitudes en géotechnique sont multiples et si certaines sont communes à tous les problèmes d’ingénierie, d’autres sont spécifiquement liées au matériau, que ce soit le sol ou la roche, que la nature a doté de caractéristiques complexes et variables dans l’espace et dans le temps et dont la mesure est délicate. De ce fait, les paramètres hydriques et mécaniques que l’on introduit dans les calculs en géotechnique, et en particulier dans ceux réalisés par la méthode des éléments finis, sont souvent mal connus et les résultats de l’analyse sont alors affectés d’incertitudes. On doit ajouter à cela les incertitudes sur les sollicitations et les conditions aux limites ainsi que l’erreur que peuvent introduire les hypothèses et approximations du modèle utilisé.
Les incertitudes peuvent donc être séparées en trois groupes (Cambou, 1977) : incertitudes sur les paramètres géotechniques des sols, incertitudes sur les sollicitations et les conditions aux limites, et enfin incertitudes sur la méthode de calcul et le choix du modèle.