12.4 Détermination des paramètres électriques pour l’électrode simplifiée
12.4.1 Tension distribuée, résistance linéique et conductivité électrique pour le modèle théorique 142
12.4 Détermination des paramètres électriques pour l’électrode
simplifiée
12.4.1 Tension distribuée, résistance linéique et conductivité électrique pour le modèle
théorique
La longueur d’onde du champ électrique −→E est proche de 3 m à 128 MHz. On peut donc supposer que les composantes du champ électrique sont constantes sur le chemin d’une spire de l’électrode. En posant ∆L l’écartement entre deux spires et −→dl une portion suivant l’axe de l’électrode , on détermine la tension U
´ electrode
comme étant la somme des tensions Uspires sur le nombre total de spire :
Uelectrode´ = Ø spires ˆ spire − →E ·−→dl (12.4.1) = Ø spires − →Eˆ spire − →dl (12.4.2) = Eë·−→∆L (12.4.3)
Au vue de l’équation précédente, les tensions induites dans l’électrode ou dans le conducteur droit de même longueur sont donc équivalentes. Cela permet de calculer la résistance linéique de la ligne de transmission à partir de la mesure de la résistance de l’électrode. Grâce à un Ohmmètre, la résistance Rcond= 6.9 Ω en régime statique de l’électrode est mesurée, ce qui permet de calculer la valeur de la résistance pour les quatre conducteurs en parallèle Rf il = 4Rcond = 27.6 Ω, et également la résistance linéique basse fréquence des conducteurs r = 25.9 Ωm-1. À fréquence élevée, la densité de courant n’est pas uniforme dans un conducteur cylindrique : la densité est plus élevée à la périphérie, dans la portion δ appelée « épaisseur de peau », donnée par :
δ =
ó 2
ω· µ · σf
(12.4.4)
Sachant que δ dépend de la fréquence d’étude et de la conductivité σf, la résistance du conducteur en dépend donc également. Pour un conducteur de rayon r que nous avons choisi égal à 0,5 mm, la résistance aux fréquences RF RRF devient alors :
RRF = Rcond· πr
2
Sef f
(12.4.5)
avec Sef f la surface efficace, donnée par :
Sef f = π(2r− δ) · δ (12.4.6) Pour les quatre fréquences d’études, n détermine la conductivité σf du conducteur à l’aide des Équa-tions 12.4.5 et 12.4.6. Le Tableau 12.5 donne les valeurs caractéristiques calculées.
Fréquences (en MHz) 64 100 128 200
RRF [Ω] 30,2 34,6 37,75 44,66
r [Ωm-1] 113,54 130,075 141,92 167,89
σf [Ω−1m-1] 28068 33412 35928 40109
Chapitre 12 Construction du modèle simplifié de l’électrode SCP
12.4.2 Calcul de l’inductance linéique et de la capacitance linéique pour le modèle
théorique
Les équations et réflexions présentées dans les deux paragraphes qui suivent sont inspirées du cours d’Introduc-tion aux Lignes de Transmission proposé par l’IUT de Génie Électrique de Bordeaux II [Couturier, 2009].
Détermination analytique de l’impédance et du coefficient de réflexion
En posant ZL l’impédance de la charge terminale, Z0l’impédance caractéristique de la ligne de transmission, γ la constante de propagation de l’onde de courant, on détermine l’impédance Z sur la ligne de transmission à la distance l dans le cas d’une ligne avec faibles pertes :
Z = Z0
ZL+ Z0tanh(γl)
Z0+ ZLtanh(γl) (12.4.7) avec γ = α + jβ, où α est le coefficient d’atténuation et β la constante de propagation, soit :
α = r 2 ò C L + g 2 ò L C (12.4.8) β = w vϕ (12.4.9)
avec L l’inductance linéique, C la capacité linéique, r la résistance linéique des conducteurs, g la conductance linéique du diélectrique, vϕ la vitesse phase d’onde dans le milieu et εrla permittivité relative du diélectrique. En supposant qu’il n’existe aucun transfert d’énergie lié à la polarisation dans les diélectriques, on négligera dans la suite la conductance linéique g.
Dans le cas des câbles coaxiaux constitués de bons conducteurs de section importante, les pertes sont négli-geables, et le coefficient d’atténuation est donc nul. Dans ce cas, l’Équation 12.4.7 devient :
Z = Z0
ZL+ i· Z0tan(βl)
Z0+ i· ZLtan(βl). (12.4.10) Une première approximation des propriétés électriques de notre dispositif expérimental peut être obtenue en le considérant composé d’une série de lignes de transmission. Les Figures 12.4.1 et 12.4.2 proposent une telle décomposition du montage et indiquent pour chacun des bouts de ligne de transmission individuels les caracté-ristiques essentielles : longueur, impédance et constante de propagation. Ces valeurs ne sont pas toutes connues, les inconnues devront être ajustées selon les valeurs obtenues expérimentalement. Cette décomposition est à l’évidence approximative, comme les effets de bord entre les tronçons individuels (notamment aux bords de la boîte) sont négligés et des champs TEM sont supposés exister partout.
Le dispositif expérimental est décomposé en cinq lignes de transmission successives : les deux connecteurs à l’extérieur de la boîte (Fig. 12.4.1), puis, à l’intérieure de la boîte, l’électrode et la boîte d’une part, et les deux
Figure12.4.1 – Caractéristiques des éléments du montage de mesure (d’après C. Konig-Barde).
Chapitre 12 Construction du modèle simplifié de l’électrode SCP
fil de cuivre de connexion et la boîte d’autre part (Fig. 12.4.2). L’impédance caractéristique Zcc de ces deux dernières lignes de transmission est :
Zcc= µ0c 2π√εr
ln(rboite
rf il
) (12.4.11)
avec rboitele rayon du conducteur externe dont la section interne est égale à celle de la boîte, soit rboite≈ 65 mm√
π =
36.66 mm, et rf il le rayon du fil de connexion mesuré : rf il= 0.5 mm. On obtient finalement Zcc= 260 Ω. A partir des nomenclatures définies dans les Figures 12.4.1 et 12.4.2, six équations à quatre inconnues sont écrites : ZL= impédance de charge (12.4.12) Zsortie= Zc ZL+ jZctan(βl1) Zc+ jZLtan(βl1) (12.4.13) Z2= Zcc Zsortie+ jZcctan(βlc) Zcc+ jZsortietan(βlc) (12.4.14)
Z1= Z´electrodeZ2+ Zelectrode´ tanh(γl2)
Zelectrode´ + Z2tanh(γl2) (12.4.15) Zentr´ee= Zcc Z1+ jZcctan(βlc) Zcc+ jZ1tan(βlc) (12.4.16) Zplan de mesure= Zc Zentr´ee+ jZctan(βl3) Zc+ jZentr´eetan(βl3). (12.4.17)
En substituant les équations précédentes de l’Éq. 12.4.17 à l’Éq. 12.4.12 les unes au autres, avec une valeur finale ZL connue, on peut déterminer le coefficient de réflexion sur le plan de mesure :
Rplan de mesure =Zplan de mesure− Z0
Zplan de mesure+ Z0
. (12.4.18)
Ce coefficient théorique est ajusté avec les données expérimentales, par variations des inconnues. Les quatre valeurs inconnues sont :
— Ladj et Cadj, l’inductance et capacité linéiques de la ligne de transmission construite ; — l1, la longueur de la ligne de transmission entre la boîte et l’impédance finale ; — l3, la longueur de la ligne de transmission entre le plan de mesure et la boîte.
L’ajustement de l1et l3, à priori connus, est une tentative d’absorber une partie des effets de bord non modélisés aux extrémités de la boîte. Les 12 coefficients de réflexion complexes mesurés fournissent 24 degrés de liberté, permettant d’ajuster les quatre inconnues.
Détermination des paramètres inconnus par ajustement des valeurs de coefficient de réflexion mesurées
Les équations 12.4.12 à 12.4.18 ont été implémentées dans Matlab (R2013b, Mathworks, Natick, Massachusetts, The USA) afin de calculer les coefficients de réflexion prédits théoriquement. Il est ensuite aisé d’ajuster à l’aide de la fonction Fminsearch les valeurs des inconnues afin de minimiser la différence entre le coefficient de réflexion expérimental Rmesur´ee présenté dans la section 12.3 et Rplan de mesure, pour les trois impédances terminales, et pour les quatre fréquences étudiées. La Figure 12.4.3 montre les parties réelles et imaginaires des douze coefficients Rth(en vert) et Rplan de mesure (en bleu), après ajustement des quatre inconnus.
Figure12.4.3 – Résultat graphique de l’ajustement des valeurs théoriques aux valeurs expérimentales.
L’erreur finale obtenue est de 3% et les valeurs inconnues ajustées sont : — Ladj = 1.560· 10-6 H·m-1
— Cadj = 1.433· 10-11F·m-1
— l1 = 17.6 mm — l3 = 41.7 mm