Une ligne de transmission est constituée de deux conducteurs en tout point équidistants, placés en regard et séparés par un diélectrique. Nous proposons de traiter l’électrode SCP à l’intérieur d’un tissu biologique comme une ligne de transmission, l’électrode en formant le conducteur interne, le tissu le conducteur externe
Chapitre 12 Construction du modèle simplifié de l’électrode SCP
Figure12.1.1 – Schéma et photographie d’une électrode SCP Medtronic, modèle 3389 [Medtronic, 2010a].
et l’isolation de l’électrode le diélectrique. Cependant, l’électrode SCP dispose de quatre conducteurs centraux spiralés à l’intérieur du diélectrique. Cela nous pousse à réaliser certaines approximations dans l’analogie :
— L’électrode comporte quatre conducteurs indépendants. Elle permet ainsi en principe de conduire des courants soit en mode commun (courant de même amplitude et phase sur les quatre conducteurs internes, courant de retour par le conducteur externe) soit en modes différentiels (courants de signes opposés sur les différents fils internes). Les quatre spires de l’électrode étant extrêmement proches, avec un pas de 800 µm, par rapport aux longueurs d’onde du champ électrique externe qui est à l’origine des courants RF dans l’électrode dans notre application, on ne considère que le mode commun. Cela équivaut à considérer que les spires adjacentes de conducteurs différents sont localement au même potentiel électrique, permettant de les représenter comme un seul et même conducteur cylindrique, en ce qui concerne le champ électrique. — Le courant circulant dans les conducteurs hélicoïdaux peut être décomposé en deux composantes : l’une tangentielle, et l’autre colinéaire à l’axe de l’électrode, le rapport entre les amplitudes des deux com-posantes étant fixé par la géométrie (angle d’inclinaison local de l’hélice). La composante colinéaire à l’axe de l’électrode génère des lignes de champ magnétique concentriques dans le diélectrique autour de l’électrode, comme le fait un courant équivalent dans un conducteur cylindrique. La composante tan-gentielle du courant induit un champ magnétique interne à l’hélice, tel que dans un solénoïde, de par l’Équation 6.1.3. Cette composante mène à une inductance linéique élevée de l’électrode réelle. L’absence de cette composante dans un conducteur cylindrique doit et peut être compensée dans une simulation numérique par une perméabilité magnétique artificiellement élevée du diélectrique. La composante lon-gitudinale du champ magnétique généré à l’extérieur de l’électrode par la composante tangentielle du courant est négligée, vu la longueur de l’électrode très largement supérieure à son diamètre.
— Le champ électrique, lié au champ magnétique par l’Équation 6.1.4, est faible à l’intérieur de l’hélice à cause du petit diamètre de cette dernière. Il est négligé dans une représentation par un conducteur cylindrique.
— La rotation de l’électrode sur son axe central est supposé de ne changer ni la distribution de courant, ni la distribution des champs.
Au vue de ces approximations, on est bien en présence d’un système composé de deux conducteurs séparés par un diélectrique. Dans les lignes de transmission où seules les ondes TEM1 se propagent (cas des câbles coaxiaux, lignes bifilaires...), l’inductance linéique Γ et la capacitance linéique Λ relient respectivement, à une côte donnée [Shen et al., 1968, King, 1976] :
— l’énergie magnétique dUmdans une portion ∆z de l’électrode au courant I(z) dans l’électrode :
dUm=1/2· Λ · ∆z · I2(z). (12.2.1) — l’énergie électrique dUe à la tension U(z) entre le conducteur central et le conducteur externe :
dUe=1/2· Γ · ∆z · U2(z). (12.2.2) (Γ,Λ) dépendent des dimensions de la ligne de transmission et des propriétés électriques du diélectrique. Au vue des approximations précitées, les relations entre énergie et (Γ,Λ) sont constantes sur toute la longueur de l’électrode. Ces deux valeurs Γ et Λ définissent également l’impédance caractéristique Zcde la ligne. Dans le cas de conducteurs à forte résistance ou de faible section, s’ajoute un troisième paramètre pour définir les propriétés électriques d’une ligne de transmission avec perte : la résistance linéique r.
Le courant à l’intérieur d’un conducteur plongé dans un milieu à perte est la somme d’ondes se propageant dans les deux sens [Shen et al., 1968]. Ce comportement caractéristique des lignes de transmission de courant permet de modéliser le système formé par un conducteur isolé plongé dans un milieu à perte par une ligne de transmission [King, 1976]. Dans le cas classique d’un câble coaxial, on peut alors regarder le conducteur extérieur comme un milieu à perte de dimension infinie. Dans notre cas, le conducteur externe est le tissu biologique. Cette similitude de comportement a déjà été utilisé pour déterminer le courant et les échauffements provoqués par un champ RF sur une électrode de stimulation SCP [Acikel and Atalar, 2011]. L’étude citée calcule le courant dans un conducteur cylindrique isolé soumis à un champ électrique RF, via la détermination de l’impédance de ce conducteur exposé à un champ électrique radial.
Cette approche est semblable à celle que nous souhaitons suivre. Comme les propriétés électriques définies par la capacitance, l’inductance et la résistance linéiques déterminent parfaitement la propagation de signaux électriques dans une ligne de transmission, deux lignes de transmission de géométrie différente, mais de propriétés électriques identiques se comportent exactement de la même façon, électriquement. Ainsi, notre objectif est de déterminer ces valeurs, et de reproduire une ligne de transmission de géométrie simplifiée ayant ces même
1. Transverse-Électro-Magnétique, c’est-à-dire de telle sorte que les champs électrique et magnétique soient tous deux orthogo-naux à la direction de propagation
Chapitre 12 Construction du modèle simplifié de l’électrode SCP
propriétés qu’une électrode SCP.
L’approche consiste alors à définir une géométrie à la fois proche de l’électrode réelle en termes des dimensions externes et simple à modéliser, et de déterminer par la suite les propriétés des matériaux à définir dans la simulation afin d’obtenir les propriétés électriques souhaitées.
Comme la capacitance, inductance et résistance linéiques à des fréquences RF ne sont pas connues pour une électrode SCP, nous mesurons dans une première approche les propriétés RF d’une ligne de transmission consti-tuée de l’électrode SCP tendue dans une boîte conductrice représentant le conducteur externe. Les propriétés de ce dispositif simple et bien défini peuvent être modélisées analytiquement, permettant un premier ajustement de la capacitance, inductance et résistance linéiques. Ces premières valeurs approximatives seront par la suite utilisées pour initier des simulations numériques du modèle simplifié, et ajustées par comparaison avec une simulation d’un modèle réaliste de l’électrode.