3.5 Temps de relaxation
3.5.2 Temps de relaxation et nombre de Knudsen
Partant de la relation entre les nombres de Knudsen, de Mach et de Reynolds (cf. An-nexe B) : Kn∼ Ma Re , (3.38) nous obtenons2 : Kn = Aν L√ θ. (3.39)
Or, nous savons que la viscosité est reliée au temps de relaxation τ, par ν = θτ, où
θ est la température. D’où, d’après l’expression (3.37) du temps de relaxation :
Kn= A L√ θ θ τ0 ρ0 ρ θ0 θ !1−ϕ . (3.40)
Considérons alors un Knudsen de référence Kn0, défini à la densité ρ0 et à la tem-pérature θ0, il s’écrit, étant donné l’expression précédente :
Kn0= A
L√
θ0 θ0τ0, (3.41) d’où le temps de relaxation associé :
τ0 = Kn0
L A√
θ0
. (3.42)
Finalement, en remplaçant τ0 (Eq. (6.29)) dans l’expression de Kn(Eq. (6.28)), nous obtenons l’expression du nombre de Knudsen local :
Kn = Kn0 ρ0 ρ θ0 θ !1/2−ϕ , (3.43)
qui dans le cas d’un gaz de sphères dures (ϕ = 1/2) devient :
Kn = Kn0
ρ0
ρ, (3.44)
que l’on remarquera être indépendant de la température pour les sphères dures. Ce résultat est intéressant, car il montre la possibilité de faire varier localement le nombre de Knudsen, donc le régime de l’écoulement, par la variation de la densité locale ρ. Ce cas de figure sera étudié section 6.5, où un écoulement mis en mouvement par un gradient de densité dans un long canal sera simulé.
2. Le facteur A dépend du modèle utilisé pour obtenir la relation entre les nombres Kn,, Ma et Re. Il est généralement pris égal à A =pγπ/2, cependant les schémas développés dans cette
thèse ont pour coefficient A =√
4 Écoulements glissants et
transitionnels
Ce chapitre porte sur les régimes non hydrodynamiques, caractérisés par des nombres de Knudsen finis, compris dans la fourchette 0,01 . Kn. 10.
Le régime de glissement correspond à des écoulements dont le nombre de Knudsen est typiquement compris entre 0,01 et 0,1. La particularité de ce régime est que le fluide peut encore être représenté par la MMC. Cependant, certaines hypothèses ne sont plus valides, notamment celle de non-glissement appliquée comme condition aux limites à la surface des corps solides délimitant l’écoulement. Cette hypothèse n’est pas la seule à ne plus être applicable, en effet, tous les champs présentent a
priori dans ce régime, une discontinuité (du moins une variation sur une très courte
distance) aux interfaces gaz-solide. L’épaisseur sur laquelle cette variation brutale des champs se produit s’appelle la couche de Knudsen. À l’intérieur de cette couche, dont la taille est de l’ordre du libre parcours moyen, les molécules ne collisionnent quasiment pas entre elles et y volent donc quasi librement. Au-delà de la couche de Knudsen, se trouve la couche de Prandtl, dans laquelle les molécules du fluide collisionnent suffisamment pour que le régime hydrodynamique soit atteint, donc que les équations de Navier-Stokes soient applicables.
Le régime transitionnel correspond, quant à lui, à des écoulements pour lesquels le nombre de Knudsen est compris entre 0,1 et 10. Il apparaît lorsque l’épaisseur de la couche de Knudsen devient non négligeable par rapport à la taille L caractéristique de l’écoulement. Typiquement, lorsque celle-ci est de l’ordre de L/10, étant donné que l’épaisseur de la couche de Knudsen est de l’ordre du libre parcours moyen. À partir de cette limite (Kn ≈ 0,1), la couche de Knudsen commence à envahir l’ensemble de l’écoulement et les collisions n’y sont plus suffisantes pour que le régime hydrodynamique soit atteint.
Finalement, lorsque la taille caractéristique L de l’écoulement devient de l’ordre de l’épaisseur de la couche de Knudsen, alors les molécules de l’écoulement ne colli-sionnent quasiment plus entre elles et l’écoulement est un écoulement de particules libres, que l’on appelle aussi un gaz de Knudsen. Dans ce cas limite, les seules colli-sions que subissent les molécules du gaz sont celles avec les parois.
Ces deux derniers régimes, transitionnel et de Knudsen, ont donc pour point commun la couche de Knudsen, qui est un effet de bord et dont l’influence sur l’écoulement est d’autant plus marquée que le nombre de Knudsen est grand. L’étude de ces deux régimes commencera donc naturellement par l’étude des conditions aux limites sur les surfaces solides. Nous verrons ensuite l’effet que produit le glissement sur un écoulement de Poiseuille plan, cependant, nous nous limiterons au régime de
4. Écoulements glissants et transitionnels 44 glissement, car aucune solution analytique n’existe au-delà de ce régime. Pour le régime transitionnel, nous aurons donc recours à des mesures expérimentales de débits pour vérifier les résultats numériques. Finalement, quelques effets thermiques serons introduits et commentés.
4.1 Conditions aux bords
Cette section concerne les conditions que doit satisfaire la fonction de distribution f sur une surface solide. Dans le cas d’un gaz s’écoulant autour ou à l’intérieur d’une région bornée par un ou plusieurs objets solides, ces conditions aux bords doivent rendre compte de l’interaction des particules du gaz avec les parois. La difficulté théorique de ce problème réside principalement dans le manque d’information sur la structure des surfaces et sur le potentiel d’interaction des molécules avec celles-ci. En effet, une molécule arrivant à la surface du solide peut, par exemple, être adsorbée, réagir chimiquement ou encore heurter une autre molécule de gaz déjà adsorbée. De plus, la surface du solide peut présenter une certaine porosité (à une échelle plus petite que celle que l’on considère), dans laquelle les molécules peuvent être piégées. Pour modéliser l’ensemble de ces phénomènes, nous allons introduire le modèle d’in-teraction simplifié, proposé par Maxwell [MN69, Cer94, Bir94] et considérerons que les parois sont non poreuses et non adsorbantes.