Les approximations faites lors de la dérivation de l’équation de Boltzmann, notam-ment l’absence de corrélations entre les particules et la définition des grandeurs macroscopiques comme moments de la fonction de distribution, nous amènent à définir les limites de validité de ces approximations.
Commençons par définir le critère de non-corrélations entre les particules du gaz. L’équation de Boltzmann dérivée dans ce chapitre représente l’évolution d’un gaz
dilué de N molécules identiques de masse m confinées à l’intérieur d’une boîte de
volume V . Le gaz est supposé parfait, i.e. que l’énergie d’interaction entre les mo-lécules est négligeable devant leur énergie cinétique, ou de façon similaire, que le temps d’interaction entre les particules est très petit devant leur temps de vol libre. L’approximation “gaz parfait” sera d’autant meilleure que le gaz sera dilué. Pour définir la dilution, appelons d le diamètre effectif10 des molécules et δ la distance intermoléculaire moyenne (voir Fig. 2.3), alors le gaz sera qualifié de dilué si :
δ
d ≫ 1, (2.43)
dans le cas contraire, le gaz sera qualifié de dense.
La distance intermoléculaire s’exprime d’autre part en fonction de la densité locale
n = N/V , comme δ ∼ n−1/3 en dimension 3.
D’autre part, le nombre n de molécules contenues dans un volume élémentaire re-présentatif (VER) doit être suffisamment grand pour que les fluctuations statis-tiques y soient négligeables, sans quoi les définitions des grandeurs macroscopiques perdent leur sens. L’amplitude des fluctuations statistiques des grandeurs macrosco-piques étant, pour des particules non corrélées, de l’ordre de n/√n (cf. [BCDB89]), on a pour n = 103, des fluctuations de l’ordre de 3% et elles seront de 1% pour
n = 104. Nous supposerons qu’un niveau de fluctuations de 3% est acceptable, d’où un nombre minimum de nmin = 103 molécules contenues dans le VER. Ainsi, la longueur minimale représentative lV ER devra répondre au critère lV ER/δ ≥ 10. La longueur macroscopique L caractéristique du système étudié devra donc être supé-rieure à la longueur élémentaire représentative lV ER, pour que les fluctuations soient négligeables.
Comme cela est fait en annexe (cf. annexe B), regardons le cas particulier de l’air dans des conditions normales de température et de pression (i.e. T = 273 K et
P = 105P a). Le diamètre classique de l’air, vu comme une molécule moyenne, est de l’ordre de d ≈ 0,35 nm, d’autre part, dans ces conditions standard, l’air est caractérisé par δ = 3,3 nm, un libre parcours moyen λ = 65 nm et une densité
10. d est le diamètre associé à la section efficace totale de la molécule, i.e. le diamètre de la molécule vue comme une sphère dure.
31 2.4. Gaz dilués – Limite de validité de l’équation de Boltzmann δ/d = 7 Kn = λ/L = 0,1 statistiques fluctuations non négligeables négligeables fluctuations statistiques 101 1 102 103 104 105 106 107 108 109 1 L d δ d 10000 1000 100 7 d δ L/δ= 100 d/δ ∼ 9 Air à TPS T r
gaz dilué gaz dense
ML valide MMC MMC plus valide Gl MMC L
Figure 2.3 – Limites des différentes approximations (cf. Bird [Bir94]). Les droites
δ/d = 7 (limite gaz dense - gaz dilué), L/δ = 100 et Kn = 0,1 sont données à titre indicatif. La longueur L du système est prise telle que L = 10 lV ER pour un niveau de fluctuations admissible de 3%. Pour de l’air à TPS (i.e. T = 273 K et
P = 105P a), les différents régimes d’écoulement (fonction du nombre de Knudsen) on été représentés. MMC représente le régime hydrodynamique, Gl le régime de glissement, Tr le régime transitionnel et ML celui des molécules libres.
numérique n = 2,7 · 1025m−3. Dans ces conditions, la longueur représentative limite est lV ER = 10 δ = 33 nm, soit lV ER≈ λ/2.
On remarque donc que lorsque l’on se rapproche du régime transitionnel (pour Kn=
λ/L ∼ 1), la longueur L devient du même ordre de grandeur que lV ER et alors il n’est pas évident que l’équation de Boltzmann, sous les hypothèses retenues ici, soit suffisante. Bien que l’objectif soit ici d’atteindre le régime transitionnel par résolution de l’équation de Boltzmann, ces considérations sur les fluctuations dépassent le cadre de cette thèse.
3 Limite hydrodynamique de
l’équation de Boltzmann
Le comportement hydrodynamique d’un fluide ne se manifeste que sur des intervalles de temps beaucoup plus longs que le temps de relaxation τ et des distances beaucoup plus grandes que le libre parcours moyen λ des particules. Cette séparation des échelles micro/macro, caractérisée par de petits nombres de Knudsen (Kn ≪ 1), implique que le fluide soit toujours très proche de l’équilibre.
De façon générale, l’équation de Boltzmann-BGK (2.42) est équivalente à une chie d’équations de bilan sur les moments de la fonction de distribution. Cette hiérar-chie permet, tout comme l’équation de Boltzmann-BGK, de représenter l’évolution d’un gaz dont la fonction de distribution est arbitrairement éloignée de l’équilibre ; du moins en principe. Cependant, cette hiérarchie est ouverte et il est nécessaire, pour la rendre opérationnelle, de déterminer des relations de fermeture.
Dans ce chapitre, nous commencerons par écrire et commenter cette hiérarchie. Après avoir montré que les trois premières équations de la hiérarchie des moments sont des équations de bilan sur les invariants collisionnels, nous verrons que la résolu-tion de l’équarésolu-tion de Boltzmann-BGK équivaut, lorsque la limite hydrodynamique est atteinte, à résoudre les équations classiques de la MMC, i.e. les équations de continuité sur les champs de densité, d’impulsion et d’énergie.
3.1 Hiérarchie des moments
L’obtention de l’évolution des moments associés à l’évolution de la fonction de dis-tribution, se fait par intégration de l’équation de Boltzmann (2.42) pondérée par Ψk(v) =Nkv sur l’espace des vitesses. Dans le cas où le terme de force est nul, Ψk
ne dépendant ni de l’espace, ni du temps, nous obtenons :
∂ ∂t Z Ψk(v) fdv + ∇x Z Ψk(v) v | {z } Ψk+1(v) f dv=Z Ψk(v) ∂f ∂t ! coll dv. (3.1) Ou encore, comme le moment d’ordre k de f est Mk =R Ψkf dv :
∂tMk+ ∇Mk+1 = ∂Mk
∂t
!
coll
. (3.2)
Ce système d’équations aux dérivés partielles indicées en k s’appelle la hiérarchie
des moments de f . Cette hiérarchie est ouverte, en ce sens que la résolution de
3. Limite hydrodynamique de l’équation de Boltzmann 34 l’équation d’ordre k nécessite la solution de l’équation d’ordre k + 1. Pour fermer cette hiérarchie, nous introduirons plus tard certaines hypothèses sur la fonction de distribution. Nous pouvons néanmoins lui donner un sens. En effet, à un rang k donné, cette équation signifie que dans un volume V de l’espace des configurations, délimité par la surface ∂V, la variation temporelle du moment Mk, est égale au flux entrant du moment Mk+1 à travers ∂V, plus la variation de Mk due aux collisions. Pour s’en convaincre, il suffit d’intégrer l’équation (3.2) sur le volume V, puis grâce à la formule d’Ostrogradsky, à transformer l’intégrale de ∇Mk+1 en intégrale de surface sur ∂V. Soit : Z
V∇Mk+1 dV =Z
∂VMk+1ds, (3.3) où ds est le vecteur normal à la surface, dirigé vers l’extérieur, et de longueur égale à l’élément qu’il représente.
Soit, après remplacement :
∂t Z VMkdV = −Z ∂VMk+1ds+Z V ∂Mk ∂t ! coll dV. (3.4)
Rappelons enfin que cette hiérarchie représente l’évolution d’un gaz dont la fonction de distribution est arbitraire. Nous pourrions donc envisager de l’utiliser en lieu et place de l’équation de Boltzmann.