Temps-´echelle

II.1.2.1 Principe

Les transform´ees temps-´echelle, ou transform´ees en ondelettes, utilisent des atomes construits par translation temporelle et compression/dilatation d’un atome de r´ef´e-rence. Les atomes s’´ecrivent alors :

h_ta(τ ) = √¹ a ^h  t − τ a  (II.13) o`u a est le param`etre d’´echelle. La transform´ee se calcule comme le produit scalaire du signal avec les ´el´ements de la famille d’atomes :

W_s(t, a) = hs(τ), hta(τ )i (II.14)

L’´etude math´ematique de la d´ecomposition d’un signal sur la famille de fonctions {hta(τ ), t, a ∈ } montre que l’atome de r´ef´erence h(t) doit v´erifier une condition d’admissibilit´e :

Z ∞ −∞

|H(ω)|2

|ω| ^{dω < ∞ (II.15)}

La condition d’admissibilit´e a notamment pour cons´equence d’imposer une valeur moyenne nulle `a l’atome de r´ef´erence. Celui-ci pr´esente donc un caract`ere oscillant. La figure II.9 pr´esente deux exemples d’atome. L’effet de la compression/dilatation est clairement visible : en plus d’une modification de la fr´equence, celle-ci op`ere une adaptation du support temporel.

La transform´ee en ondelettes se formule dans le domaine fr´equentiel comme : Ws(t, a) =√

a Z ∞

−∞

S(ν)H^∗(aν)e^jνtdν (II.16)

La transform´ee en ondelette peut donc ˆetre vue comme l’analyse du signal par une batterie de filtres obtenus par dilatation/compression d’un gabarit unique, et donc de facteur de qualit´e constant.

Si l’utilisation de la fonction d’´echelle peut pr´esenter un int´erˆet par son ad´equa-tion avec certaines probl´ematiques (effet Doppler pour les signaux `a large bande par

Fig.II.9 – Exemple d’atomes de la transform´ee en ondelettes

exemple), c’est pour le traitement des signaux discrets que la transform´ee en onde-lettes a montr´e les plus fortes potentialit´es. L’application des ondeonde-lettes aux signaux ´echantillonn´es permet de mettre en œuvre des techniques d’analyse multi-r´esolution, bas´ees sur la description d’un signal `a diff´erentes ´echelles.

Lors d’une phase dite d’analyse, le signal est d´ecompos´e `a l’´echelle la plus grossi`ere en une contribution basse fr´equence (tendance), et une contribution de d´etail. Le signal de d´etail peut ˆetre lui mˆeme divis´e en deux composantes tendance et d´etail `a une ´echelle plus fine. En proc´edant de fa¸con it´erative, le signal est d´ecompos´e en une somme d’un signal d’approximation et d’un ensemble de signaux de d´etail correspondant aux ´echelles de plus en plus fines. La reconstruction ou synth`ese s’effectue en sommant les diff´erentes contributions et peut ˆetre restreinte `a un niveau de d´etail donn´e. Sous la forme dyadique, c’est `a dire quand la r´esolution entre deux ´echelles successives varie d’un facteur deux, la structure math´ematique de la d´ecomposition en ondelettes permet de mettre les processus d’analyse et de synth`ese sous une forme tr`es simple faisant intervenir deux filtres en quadrature ainsi que des fonctions de d´ecimation et interpolation de facteur 2 ([Flandrin 98]).

II.1.2.2 Cas des signaux SAR Avantages et inconv´enients

Le m´ecanisme de construction des atomes temps-´echelle est semblable aux modi-fications subies par une onde ´electromagn´etique r´efl´echie par une cible : translation temporelle due au retard introduit par le trajet aller-retour, compression/dilatation temporelle des signaux r´etrodiffus´es du fait de l’effet Doppler. Les ondelettes appa-raissent donc adapt´ees `a l’´etude des signaux radar. N´eanmoins, dans le cas du SAR, les configurations de mesure justifient en g´en´eral l’utilisation de l’approximation de Woodward : les signaux sont de largeur de bande suffisamment faible pour pou-voir assimiler l’effet Doppler `a un simple d´ecalage fr´equentiel. De plus, les facteurs d’´echelles (facteur a dans II.13) `a consid´erer dans le cas du SAR restent tr`es proches de l’unit´e alors que la transform´ee en ondelette travaille g´en´eralement sur plusieurs ordres de grandeur.

Un autre inconv´enient de la transform´ee en ondelettes est la moins bonne compr´e-hension de la physique sous-jacente au signal observ´e, par l’introduction de la notion d’´echelle. Au contraire, dans le domaine de SAR, la fr´equence du signal est directement interpr´etable en terme d’angle d’observation et de fr´equence d’illumination.

La force de la transform´ee en ondelettes r´eside surtout dans son efficacit´e `a traiter les signaux discrets au travers d’approches pyramidales. Cette particularit´e la rend tr`es utile pour l’analyse des images en g´en´eral et des images SAR en particulier.

Applications

De nombreuses applications de la transform´ee en ondelettes aux signaux SAR suivent une approche ”image”, tirant partie de la d´ecomposition des donn´ees en une succession de niveaux de d´etail.

Une des utilisations de cette approche concerne le d´ebruitage et la compression des images SAR. L’id´ee guidant vers l’utilisation de d´ecomposition temps-´echelle est que la contribution du bruit est uniforme dans les diff´erents coefficients de la d´ecomposition en ondelettes, alors que les structures d’int´erˆet pr´esentes dans l’image se concentrent dans certains coefficients. La s´election des coefficients les plus significatifs peut s’ap-puyer sur un crit`ere d’´energie, sur le suivi des coefficients `a travers les diff´erents niveaux de d´etails, ... Les coefficients consid´er´es comme relatifs au bruit sont alors annul´es, entraˆınant une r´eduction du niveau de bruit, mais aussi une diminution du nombre de coefficients retenus et donc de la taille des donn´ees [Zeng 01, Odegard 95].

L’approche multi-r´esolution peut ´egalement ˆetre appliqu´ee aux probl`emes de d´e-tection de contour et de segmentation d’image. Dans [De Grandi 04], une approche est propos´ee dans ce sens, avec la particularit´e d’utiliser l’information polarim´etrique, sous la forme d’images d’intensit´e dans diff´erentes configurations de mesure (variations des polarisations `a l’´emission et `a la r´eception).

Des applications au probl`eme de la d´etection de cible ont ´egalement ´et´e propos´ees, comme dans [Tello 05] dans un contexte d’environnement marin. La forte granulom´e-trie (bruit de speckle) des images SAR rend la d´etection de cible d´elicate, notamment dans le cadre de l’imagerie SAR satellitaire disposant d’une r´esolution limit´ee. La m´e-thode choisie consiste `a calculer le produit des images d’approximation et de d´etail `a diff´erentes ´echelles. Lorsque cette derni`ere est adapt´ee `a la taille de la cible, celle-ci pr´esente des r´eponses similaires dans les diff´erentes images, tandis que le comporte-ment du fouillis radar est largecomporte-ment d´ecorr´el´e. Le niveau du fouillis est donc abaiss´e, entraˆınant ainsi une meilleure d´etectabilit´e de la cible.

La transform´ee en ondelettes, sous sa forme d’analyse multi-r´esolution, a ´egalement donn´e lieu `a des applications dans des domaines connexes au SAR. On peut en particu-lier citer le domaine de l’interf´erom´etrie SAR avec des travaux concernant l’estimation de la coh´erence ([L´opez-Mart´ınez 05]) ou le d´eroulement de phase ([Datcu 96]).

En dehors du cadre de l’analyse multi-r´esolution, il existe des solutions tirant partie de la transform´ee en ondelettes sous sa forme continue. C’est notamment le cas dans [R´odenas 98, R´odenas 97], o`u la transform´ee en ondelettes est utilis´ee pour la d´etection d’ondes internes, un ph´enom`ene marin perceptible sur les images SAR par le fait qu’il entraˆıne une modification de la rugosit´e de la surface de la mer et donc de sa r´eflectivit´e. Dans ce cas, c’est la grande latitude possible dans le choix de l’ondelette m`ere qui est exploit´ee. Une forme d’onde particuli`ere, adapt´ee `a la probl´ematique abord´ee peut alors ˆetre d´efinie. L’utilisation d’une telle forme d’onde permet d’am´eliorer les performances de la transform´ee en ondelettes pour l’application. Une approche bas´ee sur les ondelettes a ´egalement ´et´e propos´ee pour l’´etude de donn´ees holographiques ([Bertrand 94]). La probl´ematique est ici tr`es proche du cas

de l’imagerie SAR, puisque l’holographie consiste `a mesurer une cible sous diff´erents angles et pour diff´erentes fr´equences afin d’en former une image. La g´eom´etrie de mesure est diff´erente, mais la mˆeme dualit´e est observ´ee entre les variables de mesure (angle et fr´equence) et les variables de position. Les donn´ees peuvent donc prendre la forme d’un hologramme (matrice param´etr´ee par l’angle et la fr´equence) ou d’une image. La m´ethode propos´ee vise `a construire, `a partir de ces donn´ees une hyper-image d´ependant simultan´ement des quatre param`etres mentionn´es. Une coupe dans cette hyper-image permet alors de visualiser, soit le comportement angulaire et fr´equentiel d’un point de l’image, soit le comportement de la r´eflectivit´e de la cible pour un angle et une fr´equence d’observation donn´es. Compte-tenu de la dissym´etrie des variables angle et fr´equence, la m´ethode couple une approche temps-fr´equence dans la direction angulaire et temps-´echelle dans la direction fr´equence. Une approche comparable est pr´esent´ee dans [Vignaud 96], avec application ´egalement `a des donn´ees ISAR (Inverse SAR : configuration de mesure o`u le mouvement relatif radar-cible est cr´e´e par le mouvement de la cible et non celui du radar).