L’h´et´erog´en´eit´e de la roche se situe `a une ´echelle bien inf´erieure `a celle du VER : les grains et pores sont inf´erieurs au millim`etre tandis que le VER est de l’ordre de la dizaine de m`etres. C’est pourtant l’´evolution de la microstructure qui conditionne principalement la d´eformation observ´ee macroscopiquement. On a alors recours `a une technique de changement d’´echelle, l’ho- mog´en´eisation.
On consid`ere un milieu poreux, c’est-`a-dire constitu´e d’une phase solide et d’une phase fluide. Dans toute la suite, on supposera que le fluide est monophasique saturant le r´eseau de pores et que le solide est un mat´eriau homog`ene uniforme.
Il existe diff´erentes techniques d’homog´en´eisation, qui s’appuient sur la mˆeme m´ethodologie g´en´erale et des hypoth`eses structurelles fortes. Certains de ces sch´emas permettent d’avoir une estimation simple des caract´eristiques homog´en´eis´ees tandis que d’autres donnent une borne inf´erieure ou sup´erieure.
2.3.1 Description porom´ecanique
A une ´echelle suffisamment fine, notre milieu poreux satur´e apparaˆıt comme un mat´eriau h´et´erog`ene constitu´e de deux phases : l’une solide, l’autre fluide. Cette description est dite microscopique.
Comme nous mod´elisons une roche consolid´ee (par opposition `a une suspension), on suppose que la phase solide est connexe. Le fluide, lui, occupe un espace poreux qui peut ˆetre soit connect´e, soit occlus. Dans ce dernier cas, le fluide est pi´eg´e, c’est-`a-dire cin´ematiquement attach´e au constituant solide qui l’emprisonne et on le consid`ere comme partie prenante du squelette. L’espace poreux connect´e peut comporter des canaux et des plans d’´ecoulement `a une ´echelle bien inf´erieure `a l’´echelle microscopique. On suppose alors qu’ils n’agissent pas sur le comportement m´ecanique du milieu poreux mais seulement sur la perm´eabilit´e du milieu.
2.3. Techniques d’homog´en´eisation microm´ecanique existantes 33
A l’´echelle du V.E.H., ce mˆeme mat´eriau est per¸cu de fa¸con homog`ene (voir fig. ??). Chaque particule ´el´ementaire de milieu poreux (pemp) est ainsi compos´ee d’une superposition de deux particules (solide et fluide). Cette description est dite macroscopique.
On appelle squelette la perception macroscopique de la phase solide. Le mouvement du squelette est d´ecrit comme celui d’un milieu continu classique et le fluide peut a priori se d´eplacer librement par rapport au squelette. Pour d´ecrire le mouvement du pemp, on adopte le point de vue propre `a la th´eorie des milieux poreux introduite par Biot [Biot 1941], dit lagrangien par rapport au squelette, c’est-`a-dire que le mouvement du fluide est rapport´e `a la position initiale de la particule solide qui co¨ıncide avec la particule de fluide consid´er´e `a l’instant ´etudi´e.
Ainsi une pemp est toujours constitu´ee de la mˆeme particule de squelette et donc de la mˆeme masse solide. En revanche, en raison du mouvement relatif de fluide par rapport au squelette, la masse de fluide contenue dans la pemp varie.
Ω
domaine d’´etude V.E.H.
⇐⇒
V.E.R. grains
Figure 2.11 – Les diff´erents points de vue du mat´eriau
2.3.2 S´eparation d’´echelles
Pour que les repr´esentations adopt´ees soient pertinentes, il faut qu’on puisse distinguer net- tement les diff´erentes ´echelles. En effet, pour pouvoir traiter le VER comme un milieu continu, il faut que la dimension caract´eristique du VER (l) soit tr`es petite devant la dimension ca- ract´eristique du bassin (L). Et pour pouvoir caract´eriser le comportement du VER par une loi homog`ene ´equivalente, il faut que la dimension caract´eristique des h´et´erog´en´eit´es (d) soit tr`es petite devant la dimension caract´eristique du VER (l). On doit donc respecter la s´eparation d’´echelle suivante :
d << l << L (2.10)
Comme vu dans la section 1.3.1, on essaie de respecter cette s´eparation d’´echelles dans les cas ´etudi´es.
2.3.3 M´ethodes d’homog´en´eisation
L’homog´en´eisation a pour objectif de d´eterminer le comportement m´ecanique effectif d’un mat´eriau h´et´erog`ene en fonction des propri´et´es des constituants du mat´eriau et d’informations g´eom´etriques. On distingue deux approches : l’approche al´eatoire et l’approche p´eriodique. Cette derni`ere est adapt´ee aux mat´eriaux `a structure p´eriodique connue. Elle est donc particuli`erement efficace pour traiter les mat´eriaux synth´etiques r´eguliers (mat´eriaux composites ou tiss´es par exemple). Dans notre application g´eologique, on s’int´eresse `a des mat´eriaux pour lesquels la com- position min´eralogique est bien ´etudi´ee mais dont la morphologie est irr´eguli`ere. Par cons´equent,
34
CHAPITRE 2. LES M´ECANISMES DE COMPACTION, DES OBSERVATIONS AUX MOD`ELES on privil´egie le choix de l’approche al´eatoire dans la suite. La description de la g´eom´etrie est alors r´eduite `a ses caract´eristiques structurelles, par exemple un mat´eriau `a matrice (une phase englobe toutes les autres) ou un milieu d´esordonn´e (chaque ´el´ement a une orientation sp´ecifique). La d´emarche classique consiste `a ´evaluer la r´eponse d’un milieu h´et´erog`ene soumis `a une d´eformation ou contrainte uniforme au contour (conditions aux limites de Hashin) connaissant le comportement du milieu `a l’´echelle locale [Zaoui 2000]. Ce probl`eme peut ˆetre formul´e comme la recherche soit de la d´eformation macroscopique (ε) correspondant `a des conditions aux limites uniformes en contraintes (σd), soit de la contrainte macroscopique (σ) correspondant `a des conditions aux limites uniformes en d´eformations (εd). Dans le cas de l’´elasticit´e lin´eaire des phases, la relation obtenue entre ε et σ d´etermine le comportement homog´en´eis´e (C) :
σ = C : ε (2.11)
En appliquant la m´ethodologie propos´ee dans [Zaoui 2000], on proc`ede en trois ´etapes : – la repr´esentation, qui permet de d´ecrire le mat´eriau `a l’´echelle microscopique,
– la localisation, qui permet d’´etablir les relations reliant les grandeurs d´efinies `a l’´echelle microscopique (εm et σm) `a celles d´efinies `a l’´echelle macroscopique (ε et σ) (voir figure 2.12),
– l’homog´en´eisation, qui permet de calculer des caract´eristiques macroscopiques et d’iden- tifier le comportement macroscopique `a partie des r´esultats des ´etapes pr´ec´edentes en recourant `a une op´eration de moyenne.
εd εm(x) σm(x) σ comportement local lo ca li sa ti on h om og ´en ´ei sa ti on
Figure 2.12 – D´emarche d’une ´etude microm´ecanique avec conditions aux limites uniformes en d´eformation.
Pour chaque type d’h´et´erog´en´eit´e, il faut un sch´ema d’homog´en´eisation adapt´e. Dans la suite, nous utilisons un sch´ema auto-coh´erent (sch´ema introduit par Hershey [1954] puis reformul´e par Hills [1965]) : il suppose que chaque particule du milieu est entour´ee les autres phases et donc par le milieu homog`ene ´equivalent.
Il est possible de traiter des combinaisons de diff´erentes familles d’h´et´erog´en´eit´es. C’est ce qui est fait notamment dans getup, une biblioth`eque en C++ de l’IFPEN qui est capable d’estimer les