La m´ethode des ´el´ements finis est une m´ethode permettant de transformer un probl`eme continu (la r´esolution d’une ´equation aux d´eriv´ees partielles en tout point d’un domaine Ω)
4.2. M´ethode des ´el´ements finis 67
en un probl`eme discret (un ensemble discret d’´equations `a r´esoudre en un ensemble discret de points).
Cette m´ethode se fait en 6 ´etapes [Oudin 2011] : 1. discr´etisation du milieu continu en sous domaines
2. construction de l’approximation nodale par sous domaine
3. calcul des matrices ´el´ementaires correspondant `a la forme int´egrale du probl`eme 4. assemblage des matrices ´el´ementaires
5. prise en compte des conditions aux limites 6. r´esolution du syst`eme d’´equations
4.2.1 Discr´etisation g´eom´etrique
On proc`ede `a une d´ecoupe du domaine Ω en une partition de sous domaines. On associe alors un maillage au domaine Ω dont chaque ´el´ement d´efinit un sous domaine. La m´ethode des ´el´ements finis consiste `a chercher `a d´efinir une approximation de la fonction solution X sur chacun de ces ´el´ements.
Lorsque la fronti`ere du domaine est complexe, il est difficile voire impossible de d´efinir un maillage qui d´ecrit parfaitement la g´eom´etrie r´eelle du domaine d’´etude. On introduit alors une erreur de discr´etisation g´eom´etrique, qui peut ˆetre r´eduite par diff´erentes techniques (en raffinant la taille des ´el´ements au niveau des courbures ou en utilisant des ´el´ements courbes `a la fronti`ere du domaine par exemple).
Dans notre cas, nous traitons un domaine dont la g´eom´etrie est extrˆemement simple : il s’agit d’un parall´el´epip`ede rectangle et les ´el´ements du maillage sont soit des t´etra`edres, soit des quadrilat`eres.
4.2.2 Approximation nodale
On cherche `a construire une approximation X′ du champ des variables X par sous domaine. Cette approximation est construite sur les valeurs approch´ees du champ aux noeuds de l’´el´ement consid´er´e et on parle donc d’approximation nodale.
Pour un ´el´ement e, on calcule une valeur de la fonction approch´ee X′ en tout point x du sous domaine Ωe de cette fa¸con :
∀x ∈ Ωe, X′(x) = N (x)Xn (4.14)
o`u N d´esigne la matrice ligne des fonctions d’interpolation de l’´el´ement et Xn sont les variables
nodales relatives aux noeuds d’interpolation de l’´el´ement.
Il existe de multiples fonctions d’interpolation. Dans notre cas, nous utilisons une base po- lynomiale sur des ´el´ements de type Lagrange. Nous choisissons une approximation quadratique pour le champ de d´eplacement u et une approximation lin´eaire pour le champ de pression de pore p.
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CHAPITRE 4. FORMULATION FAIBLE DU PROBL`EME COUPL´E
HYDROM´ECANIQUE
4.2.3 Ecriture du syst`eme d’´equations discret
Le syst`eme d’´equations `a r´esoudre est formul´e de fa¸con faible : le syst`eme d’´equations valables localement en tout point du mat´eriau est en effet transform´e en ´equations int´egr´ees sur l’ensemble du domaine Ωt grˆace au principe des travaux virtuels (voir section 4.4).
L’approximation nodale est ensuite utilis´ee dans cette forme variationnelle pour exprimer le champ des variables X et son champ virtuel associ´e ˆX. On peut alors extraire les valeurs de X aux noeuds des int´egrales. On obtient ainsi un ensemble discret d’´equations `a r´esoudre dont l’inconnue est un vecteur X qui contient les valeurs de X aux noeuds.
L’´evaluation des int´egrales sur l’ensemble du domaine se fait num´eriquement selon une m´ethode de quadrature de Gauss.
Dans la suite, nous ne faisons pas apparaˆıtre l’approximation nodale. Nous introduirons les matrices G et J alors que les ´equations correspondantes seront ´ecrites de fa¸con symbolique en fonction des champs solutions u et p. Cela permet d’all´eger notablement l’´ecriture.
4.2.4 R´esolution
On obtient au final un syst`eme de la forme :
K · X = F (4.15)
o`u X est une vecteur qui contient les valeurs aux noeuds du champ solution X, K est la matrice obtenue par l’assemblage des matrices ´el´ementaires et F est un vecteur assembl´e relatif aux conditions impos´ees.
Diff´erents solvers num´eriques permettent de r´esoudre efficacement de type d’´equations, comme par exemple SuperLU. La r´esolution de ce syst`eme matriciel permet alors de connaˆıtre X et l’ap- proximation nodale permet finalement d’estimer le champ solution en tout point du domaine.
4.2.5 Utilisation de GetFEM++
Dans notre impl´ementation, nous faisons appel `a la bilioth`eque GetFEM++, une bi- blioth`eque d’´el´ements finis g´en´erique en C++ dont l’objectif est d’offrir la gamme d’´el´ements la plus large possible et un calcul de matrices ´el´ementaires ´egalement le plus large possible pour l’approximation de probl`emes lin´eaires ou non-lin´eaires, ´eventuellement en formulation mixte et ´eventuellement coupl´es. La dimension du probl`eme est arbitraire et peut ˆetre un param`etre du probl`eme. Getfem++ propose une description de mod`eles sous la forme de briques dont l’ob- jectif est de permettre une r´eutilisabilit´e maximale des approximations r´ealis´ees. Le syst`eme de briques permet d’assembler des composantes telles que mod`eles standards (´elasticit´e en petite et grandes d´eformations, probl`eme de Helmholtz, probl`eme elliptique scalaire ...) `a des compo- santes repr´esentant des conditions aux limites (Neumann, Dirichlet, Fourier-Robin, contact avec frottement ...), des composantes repr´esentant des contraintes (incompressibilit´e, annulation de mouvements rigides ...) et des composantes de couplage de mod`eles. Les deux points forts de Getfem++ sont la m´ecanique des structures (en particulier la m´ecanique du contact) et la prise en compte des discontinuit´es par des m´ethodes de domaines fictifs de type Xfem (fissuration par exemple) [https ://www.projet plume.org/fiche/getfem 2012].