3.3 Cas num´erique unidimensionnel
3.3.2 R´esultats de simulation
La figure 3.12 pr´esente un profil porosit´e-profondeur obtenu avec ce code. On y distingue clairement trois phases de compaction :
– de 3000 m `a 2800 m environ, le mat´eriau subit une compaction ´elastique pure et la porosit´e ne varie quasiment pas.
– vers 2800 m environ, la courbe pr´esente une rupture de pente qui correspond `a l’entr´ee en plasticit´e du mat´eriau. Cette phase de compaction ´elasto-plastique (compaction m´ecanique) se poursuit jusqu’`a environ 1500 m.
– `a partir de 1500 m environ, la viscosit´e est activ´ee (compaction chimique) et la courbe porosit´e-profondeur entame un changement de concavit´e.
Comme le mod`ele ne contraint pas `a maintenir la porosit´e positive, la simulation de compaction se poursuit mˆeme apr`es qu’une porosit´e nulle ait ´et´e atteinte et la compaction ult´erieure engendre des porosit´es n´egatives (non physiques).
Figure 3.12 – Calcul de porosit´e d’une pile s´edimentaire de 3000 m de hauteur.
Les figures 3.13 et 3.14 pr´esentent des profils porosit´e-contrainte lithostatique cal´es sur des donn´ees r´eelles respectivement pour un argile et pour deux gr`es. Dans la figure 3.13, la simulation est repr´esent´ee en vert et les mesures en rouge. Dans la figure 3.14, la simulation est repr´esent´ee en jaune et les mesures en vert, pour le cas d’un gr`es n’ayant pas subi de compaction chimique ; et la simulation est repr´esent´ee en bleu et les mesures en rouge, pour le cas d’un gr`es ayant subi une compaction chimique significative.
60 CHAPITRE 3. NOUVEAUX MOD`ELES DE COMPACTION CHIMIQUE
Figure 3.13 – Porosit´e en fonction de la contrainte lithostatique en MPa pour un argile (cal´ee sur des donn´ees r´eelles).
3.3. Cas num´erique unidimensionnel 61
Enfin, deux lois de perm´eabilit´es diff´erentes pour les argiles ont ´et´e test´ees sur une colonne constitu´ee d’une alternance argile/gr`es/argile. Cette configuration permet de simuler la compac- tion du gr`es dans un r´egime de surpression. La figure 3.15 pr´esente les r´esultats de simulation donnant leur profil porosit´e-contrainte verticale. Dans le cas peu perm´eable, la couche de gr`es au centre (entre -55 et -80 MPa) est bien sur-pressuris´ee et pr´esente une porosit´e plus forte (courbe rouge) que pour une compaction hydrostatique.
Figure 3.15 – Porosit´e en fonction de la contrainte lithostatique en MPa pour un assemblage argile-gr`es-argile.
3.3.3 Conclusion
Cette ´etude num´erique 1D permet d’obtenir des profils porosit´e-profondeur pr´esentant des tendances r´ealistes dans les cas de compaction chimique, tout en s’affranchissant des donn´ees empiriques porosit´e-profondeur habituellement requises pour de telles simulations. C’est ce type de courbe qu’on aimerait pouvoir g´en´erer dans les codes de simulation en 3D.
Avant cette ´etape de d´eveloppement, nous souhaitons construire un code de simulation 3D ca- pable de pr´edire de fa¸con r´ealiste la compaction m´ecanique afin de calculer un ´etat de contrainte et de d´eformation pertinent aux profondeurs o`u la compaction chimique devrait ˆetre activ´ee. Les chapitres suivants suivent la conception de ce code.
Chapitre 4
Formulation faible du probl`eme
coupl´e hydrom´ecanique
Sommaire
4.1 Ecriture du probl`eme hydrom´ecanique . . . 64 4.1.1 Syst`eme d’´equations . . . 64 4.1.2 Conditions aux limites . . . 65 4.1.3 D´emarche de r´esolution . . . 66 4.2 M´ethode des ´el´ements finis . . . 66 4.2.1 Discr´etisation g´eom´etrique . . . 67 4.2.2 Approximation nodale . . . 67 4.2.3 Ecriture du syst`eme d’´equations discret . . . 68 4.2.4 R´esolution . . . 68 4.2.5 Utilisation de GetFEM++ . . . 68 4.3 Discr´etisation temporelle du syst`eme `a r´esoudre . . . 69 4.3.1 Diff´erences finies en temps . . . 69 4.3.2 Traitement de la s´edimentation . . . 69 4.3.3 Transformations finies . . . 69 4.4 Formulation faible . . . 70 4.4.1 Formulation faible de la conservation des moments . . . 70 4.4.2 Formulation faible de la conservation de la masse fluide . . . 71 4.5 Evaluation sur la g´eom´etrie connue . . . 72 4.5.1 Evaluation de la conservation des moments sur Ωt . . . 72
4.5.2 Evaluation de la conservation de la masse fluide sur Ωt. . . 73
4.6 Conclusion . . . 74 4.6.1 Syst`eme `a r´esoudre . . . 74 4.6.2 Suite de la r´esolution . . . 74
64
CHAPITRE 4. FORMULATION FAIBLE DU PROBL`EME COUPL´E
HYDROM´ECANIQUE
Ce chapitre a pour but de mettre en forme math´ematiquement le probl`eme hydrom´ecanique que l’on veut simuler afin de pr´eparer sa r´esolution num´erique qui sera pr´esent´ee dans le chapitre suivant.
Dans la section 4.1, nous explicitons le syst`eme d’´equations locales de notre probl`eme hy- drom´ecanique. Il est constitu´e d’´equations fondamentales de la m´ecanique des milieux continus et d’´equations de mod´elisation. Ces derni`eres sont fond´ees sur des mod`eles m´ecaniques macro- scopiques d´ecrits dans la section 2.2 et reli´es aux ph´enom`enes physiques microscopiques grˆace `a des techniques microm´ecaniques d´ecrites dans la section 2.3. Les solutions de ces ´equations doivent satisfaire les conditions aux limites choisies dans l’´enonc´e du probl`eme (section 1.3.2) que nous ´ecrivons ici de fa¸con math´ematique dans la section 4.1.1.
Apr`es avoir ´etabli le syst`eme d’´equations locales, nous introduisons dans la section 4.2 la d´emarche de r´esolution choisie qui fait appel `a la m´ethode des ´el´ements finis. Nous pr´esentons alors comment le respect du sc´enario est affect´e par la discr´etisation temporelle que cette m´ethode implique et comment les grandes d´eformations sont g´er´ees sur le plan math´ematique grˆace aux transformations finies dans la section 4.3.
Dans la suite, nous mettons en application ces choix de r´esolution pour transformer notre syst`eme d’´equations : les ´equations locales sont exprim´ees de fa¸con faible dans la partie 4.4 puis r´e´ecrites sur une g´eom´etrie connue dans la partie 4.5. Finalement, le syst`eme prˆet `a ˆetre r´esolu num´eriquement est pr´esent´e dans la partie 4.6.1.