3.2.1
Principe g´en´eral
La transport pseudo-d´eterministe est appliqu´e lorsqu’une r´egion est insuffisamment ´echantillonn´ee car les particules ont une tr`es faible probabilit´e d’ˆetre diffus´ees vers cette r´egion et de l’atteindre. Une sph`ere (rayon de l’ordre du centim`etre pour notre application) entourant la r´egion d’int´erˆet est d´efinie par l’utilisateur. Au cours du transport, le processus pseudo-d´eterministe a lieu pour tous les photons situ´es hors de la sph`ere et subissant une interaction Compton. Comme nous l’avons d´ej`a ´evoqu´e, la probabilit´e de cette interaction aux ´energies de la radioth´erapie est largement majoritaire. Par exemple, un photon de 1 MeV transport´e dans l’eau aura une probabilit´e 1000 fois sup´erieure d’interagir par effet Compton plutˆot que de subir une diffusion Rayleigh. Par cons´equent, il est pertinent de r´ealiser un traitement pseudo-d´eterministe uniquement sur les photons soumis `a l’effet Compton. L’interaction photo´electrique et la cr´eation de paire conduisent `a une absorption totale du photon incident rendant inutile l’application du transport pseudo-d´eterministe.
Lors du processus pseudo-d´eterministe, le photon est divis´e en deux particules : – un photon dit r´eel ou non-d´eterministe ;
– un photon dit virtuel ou d´eterministe.
Le photon non-d´eterministe (assimil´e au photon produit si le processus pseudo- d´eterministe n’avait pas lieu) est ´echantillonn´e de fa¸con normale et est suivi sur un pas sans modification de poids. Cependant, il est tu´e s’il atteint ou traverse la sph`ere
d’int´erˆet au cours de ce pas. Pour les deux particules (d´eterministe et non-d´eterministe), un ´electron secondaire Compton est ´egalement ´echantillonn´e puis stock´e. Le transport de ces ´electrons est ind´ependant du processus pseudo-d´eterministe.
Pour le photon d´eterministe, une direction pointant vers la sph`ere est sp´ecialement ´echantillonn´ee puis l’´energie associ´ee et la probabilit´e d’ˆetre diffus´e selon cette direction sont calcul´ees. Ensuite, la particule est transport´ee sans collision jusqu’`a l’entr´ee de la
3.2. TECHNIQUE DU TRANSPORT PSEUDO-D ´ETERMINISTE 51 sph`ere d’int´erˆet en consid´erant l’att´enuation dans les mat´eriaux travers´es. Cette prise en compte de l’att´enuation entraˆıne une r´eduction du poids associ´e `a la particule.
La figure 3.2 illustre cette subdivision du photon. En d´efinitive, le poids suppl´ementaire cr´e´e pour la particule virtuelle est r´e´equilibr´e par le poids ´elimin´e en tuant les parti-
cules r´eelles qui atteignent la sph`ere d’int´erˆet. `A l’int´erieur de la sph`ere d’int´erˆet, la simulation reprend un transport sans r´eduction de variance.
F i g u r e 3.2 – Sch´ema repr´esentatif du principe de la technique pseudo-d´eterministe appliqu´ee aux photons subissant une interaction Compton.
3.2.2
D´etails du suivi de la particule non-d´eterministe
Soit w0 le poids de la particule avant le processus pseudo-d´eterministe. Si p1 et p2 sont, respectivement, la probabilit´e que la particule n’entre pas dans la sph`ere et la probabilit´e qu’elle y entre au cours du pas suivant, alors p1+ p2 = 1. Par cons´equent, w1 = p1 × w0 correspond au poids de la particule n’entrant pas dans la sph`ere lors du pas suivant l’interaction. Il s’agit du poids port´e par le photon non-d´eterministe. Cependant, la particule non-d´eterministe est suivie sans modification de poids, c’est- `
a-dire avec son poids original w0. Cette apparente incoh´erence est compens´ee par le fait que la particule non-d´eterministe subit implicitement une roulette russe1. En effet, une proportion p2 des particules est ´elimin´ee puisqu’elle atteint la sph`ere. Il ne reste ainsi qu’une proportion p1 des particules avec un poids w0. Cette fa¸con implicite de r´ealiser une roulette russe est indispensable car la d´etermination directe du poids p1 est impossible. Finalement, w2 = p2× w0 correspond au poids compl´ementaire envoy´e vers la sph`ere qui sera ´echantillonn´e pour la particule d´eterministe.
1. La roulette russe est un processus de r´eduction de variance permettant de tuer des particules
52 CHAPITRE 3. ACC ´EL ´ERATION DU CODE PENELOPE
3.2.3
D´etails du suivi de la particule d´eterministe
Le traitement de la particule d´eterministe commence par l’´echantillonnage d’une direction Ω(θ, φ)2 pointant vers la sph`ere d’int´erˆet d´efinie par l’utilisateur et dans le mˆeme temps par l’´echantillonnage de l’´energie associ´ee. L’orientation Ω est ´echantillonn´ee en utilisant la densit´e de probabilit´e relative `a l’interaction Compton. On ´echantillonne alors avec la densit´e de probabilit´e conditionnelle d’ˆetre d´evi´e vers la sph`ere d’int´erˆet S, P (Ω|Ω ∈ S) qui est d´efinie par :
P (Ω|Ω ∈ S) = RP (Ω ∩ Ω ∈ S) Ω0∈SP (Ω0)dΩ0
. (3.1)
Le poids de la particule doit ˆetre ensuite multipli´e par la probabilit´e totale de tirer une direction vers la sph`ere qui est d´efinie par P (Ω ∈ S) =RΩ0∈SP (Ω0)dΩ0.
Cependant, le calcul de cette int´egrale pour chaque appel du processus pseudo- d´eterministe est tr`es coˆuteux en temps. Par cons´equent, il est pr´ef´erable de r´ealiser l’´echantillonnage de la direction `a partir d’une densit´e de probabilit´e conditionnelle arbitraire connue et not´ee Parb(Ω|Ω ∈ S). La manœuvre consiste `a choisir une densit´e de probabilit´e conditionnelle facilement calculable. Le poids de la particule est ensuite corrig´e par un facteur obtenu par la multiplication, d’une part, du rapport des probabilit´es conditionnelles : P (Ω|Ω ∈ S) Parb(Ω|Ω ∈ S) = P (Ω ∩ Ω ∈ S) Parb(Ω|Ω ∈ S) R Ω0∈SP (Ω0)dΩ0 , (3.2)
avec, d’autre part, RΩ0∈SP (Ω
0)dΩ0, la probabilit´e globale de tirer sur la sph`ere.
Finalement, le facteur corrigeant l’´echantillonnage par Parb(Ω|Ω ∈ S) au lieu de P (Ω|Ω ∈ S) est donn´e par l’expression :
P (Ω ∩ Ω ∈ S) Parb(Ω|Ω ∈ S)
. (3.3)
Pr´ecisons que si µ est le cosinus de l’angle entre la direction de diffusion et la direction initiale du photon, alors P (Ω ∩ Ω ∈ S) = P (µ)2π car la diffusion poss`ede une isotropie azimutale. Si η est le cosinus de l’angle θ de la figure 3.3 et si l’angle azimutal autour de l’axe du cˆone est ´echantillonn´e uniform´ement, alors Parb(Ω|Ω ∈ S) = Parb2π(η). Par cons´equent, le poids du photon d´eterministe est corrig´e par le facteur PP (µ)
arb(η).
Comme on peut le voir sur la figure 3.3, une deuxi`eme sph`ere concentrique et incluse dans la premi`ere sph`ere peut ˆetre d´efinie lors du processus du transport pseudo- d´eterministe. La sph`ere externe d´efinit la zone d’int´erˆet et la sph`ere interne d´efinit un angle solide sous lequel un poids plus important est donn´e au photon d´eterministe. Les particules d´eterministes sont toujours transport´ees jusqu’`a la sph`ere ext´erieure et celle interne ne d´efinit que la limite d’une zone de tir favoris´e . On d´efinit, alors, ηi et ηo,
respectivement, les cosinus des angles associ´es aux orientations extrˆemes tangentes `a la sph`ere interne et `a la sph`ere externe (voir la figure 3.3). Apr`es avoir ´echantillonn´e η,
2. Par souci de confort de lecture, on simplifiera l’´ecriture de Ω(θ, φ) par Ω dans la suite de l’explication.
3.2. TECHNIQUE DU TRANSPORT PSEUDO-D ´ETERMINISTE 53
F i g u r e 3.3 – Sch´ema d´etaill´e de la technique pseudo-d´eterministe appliqu´ee aux photons avec la d´efinition des grandeurs utiles `a chaque processus.
l’angle azimutal φ est ´echantillonn´e uniform´ement sur [0, 2π[. Ensuite, l’att´enuation est prise en compte en multipliant le poids de la particule par l’exponentielle n´egative de l’att´enuation le long du chemin optique s´eparant le point d’interaction de la surface de la sph`ere externe.
En observant la figure 3.3, on d´eduit : ηi = cos(θi) = pL2− R2 i L , (3.4) ηo= cos(θo) = pL2− R2 o L . (3.5)
Afin de simplifier les calculs, la densit´e de probabilit´e conditionnelle arbitraire choisie est uniforme. Avec la probabilit´e globale Q(1−ηi)
Q(1−ηi)+ηi−ηo, on ´echantillonne η = ηi+ ξ(1 − ηi)
uniform´ement sur (ηi, 1) avec ξ ∈ [0; 1] et avec la probabilit´e globale compl´ementaire (ηi−ηo)
Q(1−ηi)+ηi−ηo on ´echantillonne η = ηo+ ξ(1 − ηo) uniform´ement sur (ηo, ηi) avec ξ ∈ [0; 1].
Le facteur Q augmente le poids de l’´echantillonnage des directions selon l’angle solide form´e par la sph`ere interne (zone de tir favoris´e ). Sa valeur est d´efinie par l’utilisateur.
Finalement, les ´echantillonnages de η et de φ permettent de d´efinir la direction de la particule d´eterministe que l’on note (u0, v0, w0).
Si ηi ≤ η ≤ 1, le poids est multipli´e par le facteur : P (µ)(Q(1 − ηi) + ηi− ηo) exp (−
RPs
P1 σt(s)ds)
Q . (3.6)
Si ηo ≤ η ≤ ηi, le poids est multipli´e par le facteur : P (µ)(Q(1 − ηi) + ηi− ηo) exp (−
Z Ps
P1
σt(s)ds). (3.7)
Avec,
– µ = uu0+ vv0+ ww0, il s’agit donc du produit scalaire entre les directions initiale et ´echantillonn´ee de la particule ;
54 CHAPITRE 3. ACC ´EL ´ERATION DU CODE PENELOPE – P (µ) est la probabilit´e de diffuser la particule selon l’angle cos−1µ dans le syst`eme
du laboratoire pour l’´ev`enement ´echantillonn´e en (x, y, z) ; – exp(−RPs
P1 σt(s)ds) est l’att´enuation le long du chemin optique P1Ps. Psest le point
d’intersection entre la direction ´echantillonn´ee et la surface de la sph`ere d’int´erˆet.
En d´efinitive, l’´echantillonnage de la direction au point d’interaction `a l’aide de la densit´e de probabilit´e uniforme et la prise en compte de l’att´enuation le long du chemin optique permettent de d´efinir l’ensemble des caract´eristiques de la particule d´eterministe `
a l’entr´ee de la sph`ere avec un poids et une ´energie adapt´ee.