photon par rapport `a la direction initiale et hν est l’´energie du photon incident. L’´energie de liaison de l’´electron est n´eglig´ee car l’effet Compton concerne les ´electrons faiblement li´e `a l’atome, donc des couches ´electroniques externes. L’´energie est maximale pour θ=0˚et minimale pour θ =180˚, correspondant au ph´enom`ene de r´etrodiffusion.
La distribution angulaire des photons diffus´es dans l’angle solide dΩ autour de la direction θ par rapport `a la direction du photon incident est obtenue `a partir de la section efficace diff´erentielle dont l’expression th´eorique est donn´ee par Klein et Nishina :
dσe dΩ = r 2 e( 1 1 + ξ(1 − cosθ)) 2(1 + cos2θ 2 )(1 + ξ2(1 − cosθ)2 (1 + cos2θ)(1 + ξ(1 − cosθ)))), (B.4) o`u ξ = mhν
ec2 et re est le rayon classique de l’´electron.
La probabilit´e d’interagir par effet Compton est proportionnelle au num´ero atomique Z du mat´eriau, favorisant ainsi son apparition pour les mat´eriaux dits lourds. Cette interaction est dominante pour les ´energies utilis´ees en radioth´erapie.
B.1.4
Cr´eation de paire
Lors de ce processus, le photon disparaˆıt et une paire positron – ´electron est cr´e´ee. Ce processus est ´egalement appel´e mat´erialisation. Cette r´eaction n’est possible que pour les photons ayant une ´energie sup´erieure ou ´egale `a 1,022 MeV correspondant `a deux fois la masse de l’´electron (2mec2 = 2 × 511 keV). Alors les ´energies cin´etiques Ee− de l’´electron et Ee+ du positron s’expriment :
Ee+ = Ee− = 1
2(hν − 2mec 2
), (B.5)
o`u hν correspond `a l’´energie incidente du photon.
Les lois de conservation de l’´energie et de l’impulsion imposent la pr´esence d’un troisi`eme corps, en g´en´eral un noyau atomique ou un ´electron, qui par son recul permet la conservation de l’impulsion. La section efficace propre `a la cr´eation de paire varie en Z2.
Le processus de cr´eation de paire est pr´epond´erant aux hautes ´energies et dans les milieux de Z ´elev´e. Dans l’eau, la cr´eation de paires domine `a partir de 20 MeV.
B.2
Interactions de l’´electron avec la mati`ere
Les ´electrons cr´e´es lors des interactions photo´electriques, Compton ou par cr´eation de paire subissent eux-mˆemes de nombreuses interactions dites coulombiennes.
B.2.1
Diffusion ´elastique
Lorsqu’un ´electron passe tr`es proche du noyau d’un atome, il interagira avec les charges du noyau plutˆot qu’avec un ´electron libre. Cette interaction est ´elastique car aucune ´energie n’est c´ed´ee par l’´electron incident, seule sa direction est modifi´ee. Apr`es plusieurs diffusions ´elastiques, l’´electron peut ˆetre r´etrodiffus´e.
Les diffusions ´elastiques sur la trajectoire d’un ´electron sont nombreuses et jouent un rˆole sur la plupart des changements de direction de l’´electron. En simulation MC, de
124 ANNEXE B. INTERACTIONS RAYONNEMENT-MATI `ERE fa¸con `a traiter efficacement le nombre important de diffusions ´elastiques, des mod`eles de diffusion multiple ont ´et´e d´evelopp´es. Ils combinent l’effet de nombreuses diffusions ´elastiques dans un unique ´ev`enement.
B.2.2
Diffusion in´elastique
B.2.2.1 Processus d’ionisation et d’excitation
Le processus d’ionisation et d’excitation sont des collisions in´elastiques d’un ´electron avec les ´electrons du cort`ege d’un atome. Si l’´energie de l’´electron incident est sup´erieure `a l’´energie de liaison de l’´electron de l’atome alors celui-ci est expuls´e du cort`ege et l’atome est ionis´e. En revanche, si l’´energie transf´er´ee par l’´electron incident est exactement ´egale `
a la diff´erence entre les ´energies de liaison de deux couches ´electroniques de l’atome, alors un ´electron de l’atome atteint une couche moins li´ee et l’atome est excit´e.
La perte d’´energie par collision est donn´ee par la formule de Bethe et Bloch :
−(dE dx)coll = 2πe4N Z mec2β2 (ln( mec 2β2E 2I(1 − β2)) − (ln2)(2 p 1 − β2− 1 + β2) +1 8(1 − p 1 − β2)2), (B.6) o`u c est la vitesse de la lumi`ere dans le vide, β = vc est la vitesse r´eduite et I est le potentiel moyen d’excitation du mat´eriau.
B.2.2.2 Rayonnement de freinage : l’interaction bremsstrahlung
La d´ec´el´eration d’un ´electron dans le champ coulombien du noyau d’un atome peut conduire `a la production d’un rayonnement de freinage (dit interaction bremsstrahlung).
Ce processus est dominant pour les ´electrons de haute ´energie (de l’ordre du MeV). Ce ph´enom`ene est favoris´e dans les mat´eriaux lourds et il augmente avec l’´energie de l’´electron. La perte d’´energie lin´eique par rayonnement de freinage s’´ecrit :
−(dE dx)brem = N EZ(Z + 1) 137mec2 (4ln( 2E mec2 ) − 4 3), (B.7) B.2.2.3 Annihilation
Les positrons sont les anti-particules des ´electrons et leur comportement dans la mati`ere est similaire `a celui de l’´electron. N´eanmoins, le positron ´emis poss`ede une dur´ee de vie tr`es courte due `a son annihilation pr´ecipit´ee avec un ´electron, donnant lieu `a la cr´eation de deux photons ayant une ´energie de 511 keV dans le r´ef´erentiel du laboratoire.
Annexe C
Simulations autour de la dose due
aux neutrons
Dans le premier chapitre de cette ´etude doctorale, lors de la pr´esentation de la probl´ematique (partie 1.2.4.2), nous avons vu qu’une partie de la DP ´etait due aux neutrons. L’ensemble des r´esultats de simulation pr´esent´es ne tient pas compte de la contribution des neutrons puisque le transport de ces particules n’est pas impl´ement´e dans le code PENELOPE. Cependant, en parall`ele des travaux men´es avec PENELOPE, nous avons r´ealis´e une ´etude sur la contribution neutronique `a l’aide du code MCNPX. Nous pr´esentons dans cette annexe les premiers r´esultats.
C.1
Configuration
Les simulations ont ´et´e r´ealis´ees `a partir d’un mod`ele du linac GE Saturne 43 similaire `
a celui utilis´e dans la partie 3.4 dans laquelle nous avions test´e la technique DXTRAN. Deux qualit´es de faisceau correspondant `a 12 et 20 MV, ont ´et´e simul´ees. En sortie de la tˆete de l’acc´el´erateur, nous avons mod´elis´e un fantˆome parall´el´epip`edique compos´e d’un mat´eriau ´equivalent au tissu mou (mat´eriau de masse volumique 1,00 g.cm−3 d´efini par l’ICRP `a partir de 13 ´el´ements diff´erents) contenant un petit parall´el´epip`ede d’os centr´e (mat´eriau de masse volumique 1,85 g.cm−3 d´efini par l’ICRU `a partir de 8 ´el´ements diff´erents). La face d’entr´ee du fantˆome est plac´ee arbitrairement `a 100 cm de la source du linac. Les dimensions du fantˆome sont de 50 × 100 × 50 cm3 et celles du volume d’os sont de 30 × 4 × 4 cm3.