Taux de convergence

Afin de mener l’´etude de raffinement en pas de temps, on utilise 9 pas de temps diff´erents : ∆tk = ∆t0/2k, k ∈ [0, 8] o`u ∆t0 = 0.08s≈ T/70 et 3 sch´emas d’int´egration en temps : IRK1,

IRK3 et IRK5. L’intervalle d’´etude est [0 : 10s] afin d’´etudier une p´eriode d’oscillation apr`es le r´egime transitoire tout en gardant un temps de calcul raisonnable avec les pas de temps les plus petits. Les r´esultats de la simulation utilisant le sch´ema IRK5 et un pas de

Figure 4.3 Maillage non-d´eform´e - 10 513 nœuds - 2 zones.

temps ∆t7 = ∆t0/27sont utilis´es comme solution de r´ef´erence, repr´esentant la solution exacte.

Efforts a´erodynamiques

On ´etudie la convergence des efforts a´erodynamiques s’appliquant sur le profil grˆace `a la norme d’erreur temporelle eRMS. Ainsi, la figure 4.4 pr´esente l’´evolution de la norme eRMS de la force verticale Fy sur l’intervalle de temps [8− 10s] pour les diff´erents pas de temps et

les 3 sch´emas d’int´egration (les courbes concernant la force horizontale Fx et le moment M

autour de xp ont la mˆeme allure et ne sont pas reproduites pour all´eger la figure).

On constate sur la figure 4.4 que les courbes de convergence pour les trois sch´emas IRK ont une pente constante d`es les premiers pas de temps, la zone asymptotique est donc atteinte tr`es rapidement. On peut donc facilement constater que les courbes d’erreur ont des pentes de 1, 2 et 3 respectivement pour les sch´emas IRK1, IRK3 et IRK5. Ces r´esultats sont en parfait accord avec les ordres r´eduits de convergence pour la pression (ordre s), pr´esent´es dans la section 3.4.2. En effet, les forces a´erodynamiques sont induites tant par le gradient des vitesses que par la diff´erence de pression. Dans l’approche adopt´ee (voir section 3.5.3), les forces sont calcul´ees implicitement grˆace `a la m´ethode des r´eactions. Ces derni`eres sont

10−4 10−3 10−2 10−1 10−10 10−9 10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Pas de temps (s) eRMS 2 1 3 IRK1 IRK3 IRK5

donc r´esolues par couplage avec les vitesses du fluide et le champ de pression. D’un point de vue num´erique, il semble donc aussi coh´erent de retrouver les taux de convergence de la pression.

En outre, on a remarqu´e une l´eg`ere variation des taux de convergence des courbes d’erreur selon l’intervalle de temps consid´er´e. Le tableau 4.1 r´esume les ordres de convergence observ´es pour les 3 sch´emas de Runge-Kutta ´etudi´e pour 5 intervalles de temps diff´erents. On voit une convergence des ordres tr`es rapide vers les valeurs qu’on vient d’exposer pour l’intervalle [8− 10s]. Seul le sch´ema IRK5 a des ordres de convergence qui varient fortement sur les 2 premiers intervalles de temps pr´esent´es, qui contiennent le r´egime transitoire. On pourrait supposer que le probl`eme devient plus raide `a cause des ph´enom`enes transitoires et qu’on a donc une r´eduction d’ordre mais c’est le contraire qui se produit pour le 2e intervalle. Par contre, on note que la variation de l’ordre de IRK5 en fonction des intervalles en temps est semblable `a celle en fonction du pas de temps pr´esent´e par la figure 4.4. Ainsi, on peut supposer que la zone asymptotique de IRK5 n’est pas atteinte avec les pas de temps ´etudi´es pour le r´egime transitoire g´en´erant des ph´enom`enes de plus hautes fr´equences. Le 2e intervalle de temps coupant une partie du r´egime transitoire par rapport au premier, il est normal qu’on se rapproche de la zone asymptotique avec les mˆeme pas de temps et qu’on obtienne donc un ordre de convergence autour de 4 comme sur la figure 4.4. `A partir du 3e intervalle, le r´egime transitoire est pass´e et on se retrouve donc dans la zone asymptotique avec un ordre de convergence de 3. Cette explication a l’avantage de s’appliquer aussi aux sch´emas IRK1 et IRK3 qui voient leurs taux de convergence restaient sensiblement constants alors que la figure 4.4 montre qu’ils atteignent leurs zones asymptotiques d`es le premier pas de temps.

Intervalle 0-10s 2-10s 4-10s 6-10s 8-10s IRK1 0.96 0.95 0.95 0.98 1.00 IRK3 2.02 2.09 2.01 2.01 2.05 IRK5 1.57 4.05 3.09 3.10 3.12

Tableau 4.1 Ordres de convergence de l’erreur eRMS (Fy) des sch´emas IRK.

Variables de l’´ecoulement

Pour confirmer le rˆole de la pression sur la pr´ecision des sch´emas IRK, on s’int´eresse `a la convergence des variables de l’´ecoulement : champs de vitesses et de pression dans le domaine fluide. Les variables sont ´evalu´ees au temps final t = 10s et on utilise les normes d’erreur pr´esent´ees `a la section 4.1.4. Les courbes de convergence de l’erreur spatiale pour les

normes ´Energie, L2p et H1p sont pr´esent´ees sur la figure 4.5. On remarque tout d’abord le faible taux de convergence des courbes d’erreur pour le sch´ema IRK1, mais les trois normes ont un comportement similaire comme pr´edit par la th´eorie : premier ordre pour les vitesses et la pression. Les courbes concernant les sch´emas IRK3 et IRK5 sont plus int´eressantes pour ´evaluer le rˆole de la pression sur la pr´ecision des sch´emas d’int´egration en temps. On observe en effet que les normes d’erreur concernant la pression (L2p et H1p) d´ecroissent moins rapidement que la norme ´Energie pour la vitesse dans les zones asymptotiques respectives des sch´emas IRK, identiques `a celles trouv´ees pour lors de l’´etude des efforts a´erodynamiques.

Normes Energie´ L2p H1p IRK1 0.6899 0.7196 0.7026 a 0.5904 0.5985 0.5861 b 0.5069 0.5249 0.4861 c IRK3 2.9995 2.2950 2.1304 a 2.9991 2.4505 2.2231 b 2.9980 2.5832 2.3461 c IRK5 5.0386 3.1309 3.1699 a 5.0130 3.2481 3.1013 b 4.9967 3.6339 3.1228 c

Tableau 4.2 Ordres de convergence de l’erreur spatiale pour les normes ´Energie, L2p et H1p pour les sch´emas IRK `a t = 10s.

Plus pr´ecis´ement le tableau 4.2 r´esume les taux de convergence des courbes calcul´es entre le dernier point de chaque courbe et : a) l’avant-dernier point, b) l’ant´ep´enulti`eme point et c) l’avant-avant-avant dernier point. On note ainsi des ordres de pr´ecisions optimums pour la norme ´Energie `a la fois pour IRK3 et IRK5 avec des taux de convergence tr`es proches de 3.0 et 5.0 respectivement. La pr´ecision en temps des sch´emas IRK sur la vitesse est donc v´erifi´ee. En outre, les normes d’erreur L2p et H1p font apparaˆıtre clairement la r´eduction d’ordre pour la pression (multiplicateur de Lagrange) soulign´ee `a la section 3.4.2. On obtient ainsi des taux de convergence d’environ 2.3 pour le sch´ema IRK3 et d’environ 3.2 pour le sch´ema IRK5. La pr´ecision en temps th´eorique des sch´emas implicites de Runge-Kutta est donc v´erifi´ee `a la fois pour les vitesses et pour la pression. De plus, le rˆole de la pression est ainsi confirm´e dans la r´eduction de la pr´ecision des sch´emas d’int´egration en temps pour les efforts a´erodynamiques.