Approche non-lin´eaire

L’approche pseudo-solide classique poss`ede l’avantage majeur d’ˆetre lin´eaire et donc peu coˆuteuse. Toutefois, dans le cadre des probl`emes d’IFS en grands d´eplacements, il existe deux grandes limitations. Premi`erement, comme on l’a vu, on doit adapter les propri´et´es du pseudo-solide afin de g´erer au mieux la d´eformation du maillage. Mais cette technique n’est pas automatique ni ´evolutive. On doit en effet d´efinir par ”exp´erience” les zones (du domaine non-d´eform´e) o`u le risque de d´eformation du maillage est le plus ´elev´e. Il n’y a donc aucun crit`ere objectif concernant la qualit´e du maillage. De plus, cette approche ne s’adapte pas bien aux probl`emes instationnaires o`u les zones de grandes d´eformations varient avec le temps, pouvant passer d’une forte compression `a un fort ´etirement. La deuxi`eme limitation est directement li´ee `a la nature lin´eaire de l’approche restreignant les d´eformations du pseudo-solide `a sa zone ”´elastique” sous peine de repliement lorsque les ”contraintes” (dues aux grands d´eplacements) sont trop fortes.

On propose deux adaptations de la m´ethode classique afin d’´eliminer ces deux limitations. Tout d’abord, en d´eveloppant une approche automatis´ee ´evolutive non-lin´eaire utilisant des crit`eres de qualit´e pour le maillage. Ensuite, en lin´earisant cette approche pour tenter de r´eduire les coˆuts de calcul dus `a la non-lin´earit´e des ´equations pr´ec´edents.

A. ´Equations non-lin´eaires

Afin d’obtenir une approche automatique et ´evolutive, on adapte l’approche classique en ajoutant un crit`ere sur la qualit´e du maillage. En pratique, on adapte le module d’Young local d’un ´el´ement grˆace `a une fonction f dont l’argument est un crit`ere de qualit´e Cq au

temps t :

Elocal(t) = Elocal(0)f (Cq(t)) (3.92)

Ce crit`ere suppl´ementaire doit empˆecher une trop forte d´eformation des ´el´ements de mani`ere automatique (on ne cherche pas ici `a ´evaluer la forme optimal de l’´el´ement en fonction de la solution `a obtenir). Dans leur rapport, Duval et Guillard [175] d´efinissent un crit`ere de qualit´e g´eom´etrique pour les ´el´ements triangulaire afin de localiser les ´el´ements pr´esentant une d´eformation importante. C’est le rapport entre les rayons des cercles inscrit r et circonscrit R `a chaque ´el´ement :

Cgeo(t) =

r(t) R(t)

Selon ce crit`ere, l’´el´ement optimal est le triangle ´equilat´eral avec Cq = 1/2. Un ´el´ement tr`es

d´eform´e sera alors caract´eris´e par un Cq tendant vers 0. Les auteurs adoptent toutefois une

strat´egie de remaillage (global puis local) qu’on tente d’´eviter ici car trop coˆuteuse dans le cadre de simulations instationnaires.

On va utiliser ce crit`ere en consid´erant que le maillage non-d´eform´e a une bonne qua- lit´e g´eom´etrique. On veut donc au moins pr´eserver la qualit´e de chaque maille malgr´e les d´eformations. On pose alors :

Elocal(t) = Elocal(0)f (Cq(t)) = Elocal(0)

Cgeo(0)

Cgeo(t)

Ainsi, si Cgeo(t) = Cgeo(0), le module d’Young reste inchang´e, si Cgeo(t) → 0, E augmente

pour diminuer la d´eformation et enfin si Cgeo(t) → 1/2, E diminue de mani`ere `a ce que la

maille puisse tendre vers un triangle ´equilat´eral. Si en outre on pose : Elocal(0) = 1/Cgeo(0),

on obtient :

Elocal(t) =

1 Cgeo(t)

Comme Cq d´epend de la d´eformation au temps t, cette m´ethodologie rend l’approche non-

lin´eaire mais automatique, plus besoin de sp´ecifier le module d’Young des ´el´ements, et ´evolutive, plus l’´el´ement se d´eforme et plus son module d’Young augmente, empˆechant les repliements du domaine fluide sur lui-mˆeme.

B. ´Equations lin´earis´ees

L’adaptation propos´ee fonctionne tr`es bien mais, par sa non-lin´earit´e, augmente le temps de calcul de mani`ere importante (pratiquement le double) ! On recherche donc une mani`ere lin´eaire de d´eformer le maillage tout en s’appuyant sur l’instationnarit´e du probl`eme. On peut lin´eariser l’´equation (3.92) en proc´edant de mani`ere explicite. Pour calculer le module

d’Young au temps t on utilise le crit`ere de qualit´e au temps pr´ec´edent (t− 1) :

Elocal(t) = Elocal(0)× f (Cq(t− 1)) (3.93)

Toutefois, cette approche lin´earis´ee cr´ee une oscillation des modules d’Young lorsqu’on avance dans le temps. Si les d´eplacements de la structure sont trop grands, ces oscillations divergent au bout d’un moment ce qui m`ene au repliement. En effet, si on arrive `a limiter fortement la d´eformation d’une maille grˆace `a un fort module d’Young, le module d’Young `a tn+1 devient

plus petit puisque la d´eformation est tr`es faible. Or, la maille subit toujours des ”contraintes” tr`es fortes dues `a la physique de l’´ecoulement. Donc, un faible module d’Young E coupl´e `a une grande contrainte induisent une d´eformation importante du maillage. Au temps suivant, on a alors un module d’Young grand et donc une petite d´eformation. Ce ph´enom`ene se r´ep`ete alors jusqu’`a mener en g´en´eral au repliement de la maille comme le d´ecrit la table 3.3.

Cette approche lin´earis´ee a l’avantage d’ˆetre automatique contrairement `a l’approche classique. Toutefois, le d´ecalage en temps (formulation explicite) cr´ee une instabilit´e de la m´ethode pour les probl`emes raides, c’est `a dire lorsqu’il y a de grandes d´eformations dues `a de grands d´eplacements structurels.

L’utilisation d’une approche non-lin´eaire apparaˆıt ainsi in´evitable si on veut traiter des probl`emes d’IFS en grands d´eplacements sans remailler le domaine `a chaque pas de temps. Mais alors, bien qu’il n’y ait pas d’interpolation de la solution `a effectuer, l’approche n’est plus forc´ement plus ´economique en termes de temps de calcul.

3.4 Int´egration en temps

La simulation num´erique des ph´enom`enes d’interaction fluide-structure instationnaires n´ecessite une r´esolution en temps des variables. La m´ethode d’int´egration en temps doit ˆetre efficace et robuste afin de faire face aux probl`emes raides que repr´esentent les IFS en grands d´eplacements. On pr´esentera ainsi dans un premier temps, les sch´emas habituellement

Temps : t1 t2 t3 t4 t5

D´eformation physique : 0 _% + _{% ++ %} + + + _% + + ++

D´eformation du maillage : 0 % + & 0 %% ++ & 0

⇑ & ⇑ & ⇑ & ⇑ & ⇑

Module d’Young : E0 → E0 % + & E0 %% ++

utilis´es d’Euler implicite et de Crank-Nicolson. On verra ensuite la n´ecessit´e d’utiliser des sch´emas d’ordres sup´erieurs comme ceux de Runge-Kutta implicites. Enfin, on exposera la formulation ad´equate des int´egrateurs en temps permettant le respect de la loi de conservation g´eom´etrique (GCL).

On note que pour rester consistant, on utilise le mˆeme sch´ema d’int´egration en temps pour le fluide, la structure, le pseudo-solide et la masse ponctuelle.