Tableaux orthogonaux

n ˙ , où epxq “fpxq ´fadd

pxq, fadd désignant la partie additive de f.

Ainsi, pour des fonctions presque additives, l’utilisation d’un hypercube latin offre une réduction considérable de la variance.

Toujours dans [Ste87], Stein compare asymptotiquement les variancesVarrµlhssˆ

et Varrµˆiids, où µˆ_iid désigne l’estimateur de µ par un plan aléatoire. Le résultat obtenu est queVarrµˆlhssest asymptotiquement toujours plus petite queVarrµˆiids. Ce résultat est généralisé dans [Loh96] au cas de sorties multidimensionnelles. Toujours dans [Loh96], Loh prouve l’existence d’un théorème central limite pour un hypercube latin sous la condition f PL³pr0,1s^dq.

Dans [Owe97a], Owen donne un résultat non asymptotique pour Varrµlhssˆ à taille nfixe :

Proposition 1.2. SoitP _{“ t}Xiuⁿ_i“1,ně2, un hypercube latin définit par (1.3), et f PL²pr0,1s^dq alors Varrµlhss ďˆ σ2{pn´1q.

Démonstration. Nous renvoyons à la preuve de la proposition 3dans [Owe97a]. Sachant que Varrµˆiids “ σ2{n, la proposition1.2 nous dit que dans le pire des casµˆ_lhs a une variance seulementn{pn´1q fois plus grande que celle de µˆ_iid.

Dans une perspective d’analyse de sensibilité, la stratification raffinée de chaque variable Xj, j P D, induite par un hypercube latin est une propriété souhaitable. Une variable Xj influente sur la sortie a alors plus de chances d’être identifiée. Toutefois, un hypercube latin ne garantit pas nécessairement une bonne répartition des points dans le domaine r0,1s^d ou dans des projections d’ordre supérieur à un. Par exemple, une mauvaise configuration correspond à obtenir tous les points alignés dans la diagonale de_r0,1s^d.

Des alternatives ont été proposées pour construire de « meilleurs »hypercubes la-tins. Une de ces alternatives consiste à construire des hypercubes latins pour lesquels les corrélations entre les variablesX_j sont petites. On citera entre autre les travaux de Iman et Conover [IC82] et Kenny [Ye98]. Une deuxième alternative consiste à construire des hypercubes latins satisfaisant des critères de bon remplissage de l’es-pace. Nous présentons certains de ces critères dans la section1.4.

1.2.3 Tableaux orthogonaux

Le concept de tableau orthogonal a été introduit par Kishen [Kis42] puis repris plus tard par Rao [Rao46]. Un tableau orthogonal peut être vu comme la géné-ralisation d’un hypercube latin à des projections d’ordre supérieur. Tandis qu’un

hypercube latin garantit une bonne stratification de chaque variable Xj,j PD, un tableau orthogonal garantit lui une bonne stratification de chaque sous-ensemble de variables tXjujPu, u Ă D, pour t “ #u fixé où # est l’opérateur cardinalité et Ă désigne l’inclusion stricte. Dans [HSS99], Hedayat définit un tableau orthogonal de la manière suivante :

Définition 1.3. Soit pd, q, tq P _N3 tel que q ě2 et dět ě1. Soit S un ensemble de cardinalité q. Un tableau orthogonal est une matrice de taille nˆd dont les éléments appartiennent à S, telle que chaque sous matrice de taille nˆt contient les qt sous-ensembles de S à t éléments λfois.

Un tableau orthogonal est noté OApn, d, q, tq où t désigne la force du tableau orthogonal, q son nombre de niveaux (éléments deS) etλson index. Le nombre de lignes du tableau est n “λqt. Ici, l’ensemble S est identifié par le corps de Galois à q éléments noté GFpqq. Pour une description complète des méthodes et résultats concernant les tableaux orthogonaux, nous renvoyons le lecteur au livre d’Hedayat [HSS99]. Nous nous focalisons ici sur une classe particulière de tableaux orthogonaux appelés tableaux orthogonaux linéaires :

Définition 1.4. Un tableau orthogonal OApn, d, q, tq est dit linéaire si λ“1 et si q est une puissance d’un nombre premier c’est à dire q “ pk où p est un nombre premier et k P N, k ě 1. Les lignes d’un tableau orthogonal linéaire forment un sous-espace vectoriel de GFpqq.

La terminologie linéaire provient de la propriété que chaque sous-ensemble de t colonnes d’un OApn, d, q, tq linéaire est linéairement indépendant dans GFpqq. Quand t “ 1, le tableau orthogonal linéaire devient un hypercube latin. Quand t“dle tableau orthogonal linéraire devient une grille régulière. Plus généralement, la structure d’un tableau orthogonal linéaire de forcetgarantit une bonne répartition des points dans les projections d’ordre t.

L’existence de tableaux orthogonaux n’est pas assurée pour un jeu de para-mètres pd, q, tq quelconque. Dans [Rao47], plusieurs résultats de limite d’existence des tableaux orthogonaux sont donnés. Dans [Bus52], Bush étend ces résultats et démontre le théorème d’existence suivant :

Théorème 1.2. Soitq“pk, avec pě2premier etkě1 entier naturel, alors pour tě1 vérifianttďq´1 le tableau orthogonal OApqt, q`1, q, tq existe.

Démonstration. Nous renvoyons à la preuve du théorème3.1 dans [HSS99].

En parallèle du théorème1.2, Bush propose une construction d’un tableau ortho-gonalOApqt, q`1, q, tq. Cette construction consiste à évaluerqtpolynômes distincts avec lesq éléments deGFpqq, les opérations étant menées dansGFpqq. Dans le cas particulier oùt“2, une construction alternative repose sur l’utilisation de matrices aux différences de force 2, faciles à implémenter. Cette dernière construction est détaillée dans [HSS99, Lemma6.12].

1.2. Plans stratifiés 19

Pourk“1, ces deux constructions sont simples à implémenter grâce à l’isomor-phisme entreGFpqq et_Z{q_Z(entiers naturels moduloq). Pourq “pk etką1, ces constructions deviennent plus complexes et nécessitent de faire appel à des logiciels de calcul formel.

Considérons un tableau orthogonal OApqt, q`1, q, tq noté A “ tAiu^q t i“1 avec

A_i “ pA_i,1, . . . , Ai,dq,A_i,j PGFpqq. Afin de construire un plan d’expériencesP _“

tXiu^q t

i“1 à partir de A, les q niveaux de A sont substitués par t1, . . . , qu (à l’aide d’une bijection de GFpqqdans_t1, . . . , qu). P est ensuite obtenu par :

X_i“ ˆ Ai,1´UAi,₁,1 q ^{, . . . ,} Ai,d´UAi,₁,d q ˙ , iP t1, . . . , q^tu, (1.4) où les U_i,j,j PD, sont des variables aléatoires indépendantes uniformément distri-buées sur _r0,1s.

Cette approche a un défaut majeur. Le plan d’expérienceP construit par l’équa-tion (1.4) hérite de la structure de sous-espace vectoriel de A. Par conséquent, les points Xi sont situés le long de plans dans_r0,1s^dfaisant apparaître de larges zones lacunaires. Une solution à ce problème consiste à détruire la structure de sous-espace vectoriel en considérant un tableau orthogonal dit randomisé :

Définition 1.5. Soit A“ tAiu^q t

i“1 un tableau orthogonal OApqt, q`1, q, tq. Soient π₁,. . ., π_d, d variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur Π_q. Un ensemble de points P _{“ t}Xiu^q

t

i“1 construit à partir d’un tableau orthogonal ran-domisé est définit par :

X_i“ ˆπ1pAi,1q ´U_π1pAi,1q,1 q ^{, . . . ,} πdpAi,dq ´U_πdpAi,dq,d q ˙ , iP t1, . . . , q^tu, (1.5) où les Ui,j, j PD, sont des variables aléatoires indépendantes uniformément distri-buées sur _r0,1s.

Par abus de langage, l’ensemble de pointsP construit dans la définition1.5 est appelé tableau orthogonal randomisé. La figure 1.6 illustre la différence entre les constructions (1.4) et (1.5) pour un tableau orthogonal OAp72,3,7,2q et un même ensemble de variables aléatoires Ui,j. Notons que la définition que l’on donne d’un tableau orthogonal randomisé diffère de celle donnée par Owen dans [Owe92] où le terme aléatoire retranché dans (1.5) estU_i,jau lieu deU_πjpAi,jq,j. Ici, nous cherchons à conserver l’alignement des points dans les projections d’ordret.

Un tableau orthogonal randomisé satisfait le théorème1.1énoncé pour un hyper-cube latin. Dans [Owe94], Owen donne une expression de la variance deµestimée à l’aide d’un tableau orthogonal randomisé. Le résultat met en évidence une variance plus petite que celle deµˆ_lhs. Plus récemment dans [Loh08], Low démontre un théo-rème central limite pour les tableaux orthogonaux randomisés de force 2 sous des hypothèses de régularité de f.

Figure ^{1.6 – Un ensemble de points} P construit par (1.4) pour un tableau ortho-gonal OAp72,3,7,2q et sa version randomisée construite par (1.5).

0.2 ^{0.4 0.6} 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 ^{0.4 0.6} 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 0.8 0.6 0.4 0.2

Dans une perspective d’analyse de sensibilité, la bonne stratification des projec-tions d’ordretinduite par un tableau orthogonal linéaire de forcetpermet d’estimer avec plus de précision les interactions d’ordre correspondant. Pour un tableau ortho-gonal linéaire de forcet, les variables X_j,j PD, sont chacune seulement stratifiées en q intervalles. Ainsi, pour obtenir une bonne stratification de chaque variableXj, il est nécessaire de prendre une valeur deq suffisament grande. Un inconvénient est que cela peut aboutir à un grande taille (qt) du plan d’expériences pour des valeurs de télevées.

Des alternatives ont été proposées pour construire de « meilleurs »tableaux or-thogonaux. On citera entre autre les récents travaux de He et Tang [HT13,HT14] portant sur la construction de tableaux orthogonaux de forcetdits strong assurant une meilleure répartition des points dans les projections d’ordreg,gďt´1.

Dans le cadre de nos travaux, nous nous limitons à l’utilisation de tableaux orthogonaux randomisés de forcet“2pour lesquels la taille n’est pas contraignante. Nous terminons cette section par la présentation d’une structure alliant tableau orthogonal et hypercube latin.