Nous avons présenté dans ce chapitre deux classes de plans numériques, les plans stratifiés et les suites digitales (et réseaux digitaux). Les plans stratifiés assurent une stratification raffinée des variables d’entrée dans certaines projections. Les suites digitales fournissent une bonne répartition des points de chaque variable d’entrée et la répartition des points dansr0,1sd est caractérisée par lat-valeur de la suite. Pour ces deux classes de plans, nous avons souligné l’importance d’une randomisation des points du plan d’expériences. Cette randomisation a pour premier objectif de détruire les structures géométriques issues des constructions algébriques pouvant donner lieu à des corrélations indésirables. Le second objectif est d’obtenir une distribution plus uniforme des points tout en conservant les bonnes propriétés de remplissage de l’espace du plan.
Nous avons conclu ce chapitre par la présentation de critères permettant de me-surer la qualité des propriétés d’uniformité et de remplissage de l’espace d’un plan d’expériences. Nous avons seulement décrit ces critères comme des outils d’évalua-tion des propriétés d’un plan. Cependant, ces critères peuvent également être utilisés comme des critères d’optimisation dans des algorithmes visant à construire des plans optimaux [DCI13].
Nous avons volontairement omis la présentation de tels plans dont la construction est pertinente uniquement pour un petit nombre de points, de l’ordre de102 à 103. Pour des tailles de plans plus grandes, ces algorithmes deviennent coûteux en temps de calcul et n’offrent aucune garantie quant à l’obtention d’un optimum. Dans ce cas, une alternative plus efficace consiste à construire plusieurs plans et conserver celui obtenant le meilleur score pour le critère sélectionné.
1.5. Synthèse 35
plans d’expériences. Les constructions récursives pertinentes pour nos travaux de thèse sont détaillées dans les chapitres 4 et 5 portant sur la question d’estimation récursive des indices de Sobol’.
Pour chacun des plans présentés nous nous sommes attachés à donner des ré-sultats relatifs à la variance de l’estimation de la moyenne µ d’une fonction f. De prime abord, de tels résultats ne semblent présenter que peu d’intérêt dans le cadre de l’analyse de sensibilité. Nous montrerons pourtant dans le prochain chapitre que les indices de Sobol’ peuvent se réécrire comme une expression de plusieurs moyennes (voir équation (2.10)). Ainsi, l’estimation des indices de Sobol’ peut potentiellement être améliorée par l’utilisation de plans offrant de meilleurs résultats de convergence pour l’estimation de ces moyennes.
Dans nos travaux présentés aux chapitres3à6, les plans d’expériences construits reposent sur les différentes structures présentées dans ce chapitre. Ces structures sont modifiées pour pouvoir faire face aux problématiques énoncées dans l’introduction (présence de corrélation, sorties multivariées, estimation récursive).
Chapitre 2
Estimation des indices de Sobol’ :
méthodes Monte Carlo
Comme énoncé en introduction, les indices de Sobol’ sont des indicateurs de sensibilité permettant de quantifier l’influence d’une variable d’entrée ou d’un groupe de variables d’entrée sur une sortie d’un modèle numérique. Ce chapitre est consacré à la présentation de méthodes Monte Carlo pour l’estimation des indices de Sobol’. La première partie 2.1 porte sur la définition des indices de Sobol’. La partie 2.2 s’intéresse aux méthodes d’estimation de ces indices issues de l’approche Monte Carlo originelle proposée par Sobol’ [Sob93]. Nous présentons ensuite dans la partie 2.3des méthodes reposant sur l’utilisation de plans répliqués.
Ce chapitre ne traite pas des méthodes d’estimation basées sur l’analyse harmo-nique (méthodes FAST [CFS`73, CSS75, CLS78], RBD et RBD-FAST [TGM06]) ni des méthodes d’estimation reposant sur une décomposition ANOVA spectrale de la sortie étudiée (par exemple décomposition par polynômes de chaos [GS03]). Ce chapitre ne considère pas non plus les méthodes d’estimation basées sur l’utilisation d’un metamodèle. Pour de telles méthodes, nous renvoyons le lecteur aux travaux de thèse de Janon [Jan08].
Nous conservons pour ce chapitre les mêmes notations que celles introduites dans le chapitre 1 (page 9). A cette occasion, nous rappelons que l’on suppose f P L2pr0,1sd, λpdxqq et Y “fpXq, X “ pX1, . . . , Xdq étant un vecteur aléatoire uniformément distribué surr0,1sd.
L’incertitude sur les entrées est modélisée parXi“ pXi,1, . . . , Xi,dq,iPN. Soit u ĂD, Ădésignant l’inclusion stricte, nous notons par ´u son complémentaire et par#usa cardinalité.Xu (respectivementXi,u) désigne le vecteur de composantes Xj (respectivementXi,j) pour jPu.
Soit Z “ pZ1, . . . , Zdq un vecteur identiquement distribué suivant la loi de X
et indépendant de X. On désigne par Xu : Z´u le vecteur dont les composantes d’indices j Pu sont lesXj et dont les autres composantes sont les Zj. PouriPN,
Xi,u:Zi,´u est appelé point hybride.
2.1 Indices de sensibilité
Cette section a pour objectif de contextualiser la définition des indices de Sobol’. Pour cela nous repartons de la définition d’une statistique appelée mesure
d’impor-tance [SCS08]. Puis, nous introduisons la décomposition dite ANOVA fonctionnelle dont est issue la définition des indices de Sobol’.
2.1.1 Mesure d’importance
Il est naturel de mesurer l’importance d’une variableXj sur une quantité d’in-térêt Y par la mesure suivante :
VarXjrErY|Xj “xjss
VarrYs , (2.1)
où ErY|Xj “ xjs désigne l’espérance conditionnelle de Y sachant Xj “ xj et la notationVarXj désigne la variance lorsqueXj varie sur l’ensemble de son domaine. Cette mesure d’importance est décrite par différents termes dans la littérature. Dans [McK95], McKay appelle le numérateur de (2.1) variance correlation expec-tation (abrégée par VCE) et qualifie le quotient de correlation ratio. A l’origine, cette mesure d’importance a été introduite comme un indicateur, notéη2, de liaison entre une variable aléatoire quantitative et une variable aléatoire qualitative. Des synthèses exhaustives de cette mesure d’importance sont proposées dans [KS67] et [Sap75].
Dans [IH90a], Iman et Hora montrent que cette mesure d’importance n’est pas robuste et qu’elle peut être influencée par la présence de valeurs aberrantes (out-liers) dans le cas de distributions à queue lourde (par exemple une loi log-normale). Iman et Hora proposent alors plusieurs versions alternatives de cette mesure d’im-portance. Dans [HI86], ils considèrent la quantité suivante mesurant l’importance d’une variable Xj :
Ij “
b
VarrYs ´E“VarXjrY|Xj “xjs‰.
Le théorème de la variance totale nous donne :
VarrYs “VarXjrErY|Xj “xjss `EXjrVarrY|Xj “xjss,
et l’on récupère ainsi l’expression du numérateur de (2.1). Toutefois, il est montré que la mesure Ij n’est pas robuste et est également influencée par la présence d’outliers. Dans [IH90a], Iman et Hora proposent ensuite une nouvelle mesure définie par :
VarXjrErlogpYq|Xj “xjss
VarrlogpYqs ,
où ErlogpYq|Xj “ xjs est estimée par une régression linéaire. Cette mesure est démontrée comme étant plus robuste que la précédente. Cependant il est difficile d’interpréter les conclusions obtenues avec logpYq par rapport à la sortie d’origine Y du modèle.
Les indices de Sobol’ dits d’ordre un s’identifient à la mesure d’importance définie par l’équation (2.1). La construction des indices de Sobol’ repose sur une décompo-sition, appelée décomposition ANOVA, du modèle f étudié.
2.1. Indices de sensibilité 39
2.1.2 Décomposition ANOVA
Une synthèse concise de la décomposition ANOVA est proposée dans [Tis12]. Ici, nous rappelons la décomposition ANOVA d’un modèle f dans le cadre de va-riables aléatoires indépendantes. Cette décomposition est issue des travaux initiaux de Hoeffding [Hoe48], et a été formalisée par Efron et Stein [Efr81]. Dans [Sob93], Sobol’ introduit cette décomposition de la manière suivante :
Définition 2.1. Soit f PL2pr0,1sdq, le modèlef admet une décomposition en une somme de termes de dimensions croissantes s’écrivant :
fpxq “f0` d ÿ j“1 fjpxjq ` ÿ 1ďkălďd fk,lpxk, xlq ` ¨ ¨ ¨ `f1,...,dpx1, . . . , xdq. (2.2) Si on suppose de plus quef0 est constante et que les intégrales de chaque terme de la décomposition par rapport à leurs variables respectives vérifient :
ż
r0,1s
fj1,...,jspxj1, . . . , xjsqdxjk “0, 1ďkďs, pj1, . . . , jsq PDs, (2.3) alors la décomposition (2.2) est unique. Une conséquence de (2.2) et (2.3) est que les termes de la décomposition sont deux à deux orthogonaux. Autrement dit, pour pk1, . . . , ksq ‰ pl1, . . . , lsq,pk1, . . . , ksq PDs,pl1, . . . , lsq PDs, on a :
ż
r0,1sd
fk1,...,kspxk1, . . . , xksqfl1,...,lspxl1, . . . , xlsqdx“0,
car au moins un des indicesk1, . . . , ks,l1, . . . , ls, n’est pas répété et l’intégrale asso-ciée à cet indice vaut0 d’après (2.3).
Une deuxième conséquence est quef0 est donné par : f0 “
ż
r0,1sd
fpxqdx, qui n’est autre que la moyenne µde f.
Dans le contexte de l’analyse de sensibilité, la décomposition ANOVA (2.2) sert à quantifier l’importance de chacun des termes issus de la décomposition sur la sortie Y du modèle. La quantification de cette importance utilise la construction d’indicateurs statistiques appelés indices de Sobol’.
2.1.3 Indices de Sobol’
Sobol’ montre que tous les termes de la décomposition ANOVA (2.2) peuvent être évalués par :
fjpxjq “ ´µ` ż r0,1sd´1 fpxqdx´j, fk,lpxk, xlq “ ´µ´fkpxkq ´flpxlq ` ż r0,1sd´2 fpxqdx´tk,lu, .. .
L’ensemble de ces égalités peut se réécrire sous la forme : fupXuq “ErY|Xus ´ ÿ
vĂu
fvpXvq, uĂD.
En élevant au carré puis en intégrant (2.2), par orthogonalité des termes, on obtient la décomposition de la variance σ2 “VarrYssuivante : σ2 “ d ÿ j“1 σj2` ÿ 1ďkălďd σk,l2 ` ¨ ¨ ¨ `σ21,...,d , (2.4) où σ2 u“VarrErY|Xuss ´ ÿ vĂu σ2 v, uĂD.
La définition des indices de Sobol’ est issue de la décomposition de la variance (2.4). On définit :
i) l’indice de Sobol’ élémentaire :
Su“ σ2 u
σ2, uĂD.
Si u “ tju, Sj est appelé indice d’ordre un et quantifie l’effet principal dû à la variable Xj. Si #u ą 1,Su quantifie l’effet de l’interaction d’ordre #u entre les variablesXj,j Pu.
ii) l’indice de Sobol’ fermé d’ordre#u:
Su “ τ2 u σ2, uĂD, (2.5) où : τ2u “ ÿ vĎu σ2v.
Su quantifie l’effet principal du groupe de variablesXu. Cet effet correspond à la somme de tous les effets principaux des variablesXj, j Pu et de toutes les interactions entre les variablesXj.
iii) l’indice de Sobol’ total :
Su “ τ2u σ2, uĂD, (2.6) où : τ2u “ ÿ vXu‰∅ σv2.
Su quantifie l’effet principal du groupe de variables Xu ainsi que de toutes les interactions faisant intervenir une ou plusieurs variables Xj,jPu.