Tableaux orthogonaux et gain - Échantillonnages Monte Carlo et quasi-Monte Carlo pour l'estimat

Au contraire du cas des indices d’ordre un, trouver une solution pour réduire le nombre de collisions est beaucoup plus complexe. Cela est principalement dû au fait que les colonnes d’un tableau orthogonal ne s’expriment pas sous la forme de permutations. Réduire le nombre de collisions lors de l’utilisation de tableaux orthogonaux est une piste de recherche à explorer.

B.2 Tableaux orthogonaux et gain

Dans cette section nous nous proposons de détailler plus précisemment le gain apporté par l’utilisation de tableaux orthogonaux pour l’estimation des indices fer-més d’ordre deux. Rappelons que l’estimation de ces indices par la méthode répliquée se fait à l’aide de deux tableaux orthogonaux randomisés de force deux (équation 2.14).

Le coût de cette méthode d’estimation est 2q2 où q est le nombre de niveaux du tableau orthogonal. q doit satisfaire la contrainte de construction du tableau orthogonal : q ě d´1. Ainsi, le coût de la méthode répliquée est au minimum de 2pd´1q². Le coût d’estimation des indices fermés d’ordre deux par la méthode classique de Sobol’ estn

dpd´1q

2 ^`¹

. Nous comparons ci-dessous ces deux coûts pour deux configurations : dpetit etdgrand.

Pour des petites valeurs ded, on peut choisirn“q2ą pd´1q² avec suffisament de liberté. La différence de coût, notéeD, entre la méthode répliquée et la méthode classique s’écrit : D“n ˆ 1´dpd´1q 2 ˙ .

L’estimation des indices fermés d’ordre deux étant pertinente pour d ě 3, on a toujours Dă0.

Pour des grandes valeurs de d, on est plus rapidement amené à devoir choisir q “d´1. La différence de coût, notée D, entre la méthode répliquée et la méthode classique s’écrit : D“2pd´1q²ń ˆ dpd´1q 2 ^`¹ ˙ D“ pd´1q² ´ 2ń 2 ¯ ńpd`1q 2 ^.

Cette différence est négative dès queną4dans la méthode classique, ce qui est tout le temps le cas (chosirnď4 revient à construire des plans d’expériences contenant au plus4 points).

On peut également comparer la méthode répliquée pour l’estimation des indices d’ordre un et deux par rapport à la première stratégie de Saltelli (théorème2.1). Le coût de la stratégie de Saltelli estnpd`2qpour estimer indices d’ordre un et indices

totaux. Le coût de la méthode répliquée pour estimer indices d’ordre un et d’ordre deux est 2n`2q2. La différence entre ces deux coûts vaut :

D“2q²´nd.

Pour des petites valeurs ded, considérons à nouveaun“q2,qąd´1, la différence devient :

D“np2´dq, ce qui est l’avantage de la méthode répliquée.

Pour des grandes valeurs de d, considérons q“d´1, la différence vaut : D“ pd´1q p2pd´1q ´nq ´n.

Cette différence est à l’avantage de la méthode répliquée lorsqueną2pd´1q. Il est toutefois important de rappeler que les indices totaux contiennent plus d’informa-tions sur l’influence des variables d’entrée que les indices fermés d’ordre deux.

Annexe C

Code Maple

Le code Maple présenté dans cette annexe permet de calculer les indices de Sobol’ d’ordre un, les indices fermés d’ordre deux et les indices totaux d’une fonction pour laquelle on dispose d’une expression analytique et pour des lois de distribution uniformes sur _r0,1s des variables d’entrée de la fonction. Nous commençons par détailler les paramètres d’entrée et de sortie du code.

Paramètres d’entrée

‚ f : une expression Maple de la fonction dont on cherche à calculer les indices de Sobol’.

‚ d : un entier précisant le nombre de variables d’entrée de la fonction.

‚ order : un entier appartenant à _t0,1,2u précisant la catégorie d’indices de Sobol’ à calculer : 0 pour les indices totaux,1 pour les indices d’ordre un et

2 pour les indices fermés d’ordre deux. Paramètres de sortie

‚ V : un nombre réel correspondant à la moyenneErfsde la fonction f. ‚ m : un nombre réel correspondant à la variance Varrfsde la fonctionf. ‚ S : une liste ou un conteneurArray contenant l’ensemble des indices de Sobol’

calculés. Siorder_““0 ouorder_““1,S est une liste contenant lesdindices totaux ou d’ordre un. Si order ““ 2, S est un conteneur Array regroupant les dpd´1q{2indices fermés d’ordre deux.

Code

ą withpcombinatq:

soboltheoric :“ procpf, d, orderq

local i, k, l, m, S, M, V, f un, argmts, vinit, val1, val2, mpartiel, mpartiel2, empartiel, keepset, intrange, newl, couple;

vinit :“ r0$ds;

f un :“ fpoppr1,1s, fqq;

argmts :“ roppr1,1s, fqs;

for i in newl do

vinitris :“ argmtsris “ 0..1;

od;

m :“ intpf un,mappop,mappop, newlq, vinitqq;

V :“ intpf un˚ ˚2,mappop, mappop, newlq, vinitqq;

V :“ V `intp´2˚f un˚m,mappop,mappop, newlq, vinitqq;

V :“ V `intpm˚ ˚2,mappop,mappop, newlq, vinitqq;

if order “ 1 then S :“ r0$ds;

for k from 1 to d do

keepset :“ removephas, newl, newlrksq;

keepset :“ mappop, keepsetq;

intrange :“ mappop, keepset, vinitq;

mpartiel :“ intpf un, intrangeq;

intrange :“ mappop, newlrks, vinitq;

empartiel :“ intpmpartiel˚ ˚2, intrangeq;

Srks :“ evalfpvalueppempartiel´m˚ ˚2q{Vqq;

od fi;

if order “ 0 then S :“ r0$ds;

for k from 1 to d do

keepset :“ removephas, newl, newlrksq;

keepset :“ mappop, keepsetq;

intrange :“ mappop, newlrks, vinitq;

mpartiel :“ intpf un, intrangeq;

mpartiel2 :“ expandpmpartielˆ2q;

intrange :“ mappop, keepset, vinitq;

empartiel :“ intpmpartiel2, intrangeq;

Srks :“ 1´evalfpvalueppempartiel´m˚ ˚2q{Vqq;

od fi;

if order “ 2 then couple :“ choosepd,2q;

185

for l from 1 to nopspcoupleq do val1 :“ newlrcouplerlsr1ss;

val2 :“ newlrcouplerlsr2ss;

keepset :“ removephas, newl, val1q;

keepset :“ removephas, keepset, val2q;

keepset :“ mappop, keepsetq;

intrange :“ mappop, keepset, vinitq;

mpartiel :“ intpf un, intrangeq;

intrange :“ mappop,roppval1q,oppval2qs, vinitq;

empartiel :“ intpmpartiel˚ ˚2, intrangeq;

Srls :“ evalfpvalueppempartiel´m˚ ˚2q{Vqq; od

fi;

returntm, V, Su;

end proc

Exemple d’utilisation

Considérons la fonction test Ishigami introduite dans [IH90b], formulée ici dans sa version recentrée sur _r0,1s^d:

f: #

r0,1s^d Ñ R

px, y, zq ÞÑ sinp2πx´πq `7 sin²p2πy´πq `0.1p2πz´πq4sinp2πx´πq Afin de calculer les indices de Sobol’ d’ordre un, fermés d’ordre deux et totaux de cette fonction, on commence par donner l’expression Maple de f :

ą ishigami :“ px, y, zq ÞÑsinp2˚P i˚x´P iq `7˚sinp2˚P i˚y´P iq ˚ ˚2`

0.1˚ p2˚P i˚z´P iq ˚ ˚4˚sinp2˚P i˚x´P iq;

Le calcul des indices d’ordre un est obtenu par la commande : ą first_ishigami :“soboltheoricpishigami,3,1q;

first_ishigami :“ t3.500000000,13.84,r0.3139,0.4424,0.0su

Le calcul des indices fermés d’ordre deux est obtenu par la commande : ą second_ishigami :“soboltheoricpishigami,3,2q;

first_ishigami :“ t3.5,13.84,r0.7563,0.5575,0.4424su Le calcul des indices totaux est obtenu par la commande : ą total_ishigami :“soboltheoricpishigami,3,0q;

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Dans le document Échantillonnages Monte Carlo et quasi-Monte Carlo pour l'estimation des indices de Sobol' : application à un modèle transport-urbanisme (Page 194-200)