Systèmes suffixes

−→

R

est non récursive, et donc évidemment pas non plus rationnelle.

3.2.3 Systèmes suffixes

La famille des systèmes de réécriture clos de termes, qui est une sous-famille

des systèmes suffixes, a déjà été étudiée par plusieurs auteurs. En particulier,

Dau-chet et Tison [DT85] ont montré que les dérivations des systèmes clos peuvent être

reconnues par un certain type d’automates à composantes appelés transducteurs

Classification des systèmes de réécriture de termes 85

d’arbres clos (GTT). Nous utilisons des arguments similaires afin de démontrer

que, d’une façon plus générale, tout système suffixe a une dérivation rationnelle.

Après avoir introduit une propriété des systèmes suffixes vis-à-vis de la notion

deréécriture suffixe, nous montrons que la relation de dérivation de tout système

suffixe est rationnelle. Enfin, nous établissons la preuve que l’image et l’image

inverse de tout langage régulier de termes par la dérivation d’un système suffixe

sont régulières, et qu’il est possible de construire de façon effective un automate

les reconnaissant.

3.2.3.1 Réécriture suffixe

Les systèmes de réécriture clos sont les systèmes dont les règles ne contiennent

pas de variables. Par conséquent, ils peuvent seulement réécrire des sous-termes

(suffixes) du terme fourni. La réécriture suffixe peut être vue comme l’application

d’une sorte de règles d’automate à pile sur une pile arborescente, où les seules

portions autorisées à la modification sont les parties environnant les feuilles (ou

constantes).

Étant donné un système de réécriture non clos R sur F avec des variables

dans X, on définit une notion restreinte de réécriture par R sur les termes de

T(F ∪Y), où Y est un ensemble quelconque de variables. Cette notion, inspirée

par la réécriture close et appelée réécriture suffixe, considère temporairement

les variables de Y comme autant de constantes, tandis que la substitution des

variables des règles de R est restreinte aux éléments de Y. Nous appelons ceci

réécriture suffixe, puisque une telle restriction n’autorise l’application des règles

de réécriture que sur des suffixes des termes considérés.

Définition 3.20. Pour tout système de réécriture R sur F à variables dans X,

et pour tout ensemble de variables Y disjoint de F

0

, on définit la relation de

réécriture suffixe deR comme

−→

|

R

=

(c[lσ],c[rσ])∈T(F ∪X)

²

|(l,r)∈R∧ c∈C

₁

(F)∧ σ∈Y

^X

oùY

X

est l’ensemble des applications (ou substitutions) de X vers Y.

La raison pour laquelle on ne traite pas simplement Y comme un ensemble

de nouvelles constantes, ce qui reviendrait à associer à tout système de

réécri-ture un système clos sur F ∪Y, est que nous souhaitons comme d’habitude que

deux termes ne différant que par un nommage de leurs variables (dansY) soient

considérés égaux.

3.2.3.2 Décomposition des dérivations

Les systèmes suffixes ont un comportement particulier par rapport à leur

réécriture suffixe. En effet, il est toujours possible de réordonner la dérivation de

tout termeten un termespar un système suffixe afin de pouvoir la décomposer en

deux phases. Premièrement, un préfixe¯_tdetest lu, et un certain nombre d’étapes

de réécriture suffixe y sont appliquées. Une fois que cette première séquence de

réécritures est terminée, ¯_t a été réécrit en un préfixe ¯s des, pour ne jamais plus

être modifié au cours de la séquence de dérivation. Dans un second temps, le

reste de test dérivé selon la même décomposition en deux phases, jusqu’à ce que

l’ensemble des réécritures ait été effectué. Par conséquent, on peut dire que la

dérivation d’un système suffixe est équivalente à sa dérivation suffixe « itérée ».

Lemme 3.21. Pour tout système de réécriture suffixe de termes R,

s −→

^k>0 R

t ⇐⇒







∃ s,¯^¯t∈T(F,X), σ,τ ∈S(F,X), k

′

>0, s= ¯sσ ∧ t = ¯tτ

∧ s¯

^k ′

−→

| R

¯

t ∧ ∀x∈Var(¯s) ∩ Var(¯t), σ(x)

^≤

−→

^k−k′ R

τ(x).

Démonstration. Remarquons tout d’abord que comme s−→

|

R

t =⇒ sσ −→

R

tσ

pour toute substitution closeσ, l’implication réciproque est triviale. Démontrons

l’implication directe par récurrence surk:

k = 1: s −→

R

t implique qu’il existe un contexte c et une substitution σ

tels que s = c[lσ] et t = c[rσ]. Donc par définition de la réécriture suffixe

c[l] −→

|

R

c[r], et pour toute variable x on a bien sûrσ(x)−→

⁰ R

σ(x).

k ⇒k+ 1: soit s−→

^k R

s

′

−→

l,r p

t avec lRr, s= ¯sσ et s

′

= ¯s

′

σ

′

. On distingue

deux cas :

p∈Pos( ¯s

′

): s’il existe un contexte c tel que _s¯

′

= c[l], alors on a s¯ −→

^k |

R

¯

s

′

−→

|

R

c[r] et la condition est vérifiée pour k

′

=k et t = (c[r])σ

′

. Si ce

n’est pas le cas, alors il doit exister un contexte cet une substitution

non-triviale ω

′

telle que s^¯

′

= (c[l])ω

′

. CommeR est suffixe et comme,

par hypothèse de récurrence, ¯s−→

^∗ |

R

¯

s

′

, il doit exister ω telle que s¯ =

(c[l])ω et pour toute variable x commune à l et r, ω(x)−→

^∗ |

R

ω

^′

(x). On

peut donc écrires sous la forme (c[l])ωσ, t sous la forme(c[r])ω

′

σ

′

, et

vérifier que la condition est vérifiée avec k

′

= 1.

p /∈Pos( ¯s

′

): par hypothèse de récurrence, on peut trouver k

′

> 0 tel que

pour toutxcommun às¯et_s¯

′

,σ(x)

^≤

−→

^k−k′

R

σ

′

(x). De plus, en appliquant

la règle (l,r) à l’un des termes σ

′

(x), on obtient σ

′

(x) −→

l,r

τ(x). On a

donct= ¯s

′

τ,s¯−→

^k′ |

R

¯

s

′

etσ(x)

^k−

−→

^k′+1

R

τ(x)pour toutx commun à¯set_s¯

′

,

ce qui vérifie la condition et clôt la démonstration.

Classification des systèmes de réécriture de termes 87

Une autre propriété intéressante est que, pour tout système reconnaissable

linéaire, une séquence de réécriture suffixe est toujours équivalente à une séquence

en deux parties, dont la première ne fait que consommer des sous-termes suffixes

du terme d’entrée, et dont la seconde ne fait que produire de nouveaux

sous-termes à leur place.

Lemme 3.22. Pour tout système de réécriture reconnaissable et linéaire R de

termes surF etX, il existe un alphabet gradué fini Qet trois systèmes de

réécri-ture finis

– R

−

⊆ {px−→f p

1

x

1

. . . p

n

x

n

| f ∈F, p,p

1

, . . . ,p

n

∈Q, x,x

1

, . . . ,x

n

∈X

∗

}

– R

₌

⊆ {px−→qy | p,q ∈Q, x,y ∈X

∗

}

– R

+

⊆ {f p

1

x

1

. . . p

n

x

n

−→px | f ∈F, p,p

1

, . . . ,p

n

∈Q, x,x

1

, . . . ,x

n

∈X

∗

}

tels que s −→

^∗ | R

t ⇐⇒ s −→

^∗ | R+∪R=

◦ −→

^∗ | R−∪R=

t.

Démonstration. Soit R un système de réécriture reconnaissable linéaire sur F et

X. Soit (A

i

,B

i

)

i∈[1,l]

un ensemble de couples d’automates descendants, chacun

acceptant un ensemble de règles de R. L’ensemble des états de contrôle de A

_i

(resp.B

i

) sera notéP

i

(resp. Q

i

). Sans perdre de généralité, nous supposons que

tous lesP

i

etQ

i

sont disjoints entre eux. Nous définissons aussi l’unionP de tous

les ensembles P

_i

et l’union Q de tous les Q

_i

. Pour tout état p∈P ∪Q, soit ν(p)

l’ensemble de toutes les frontières de variables possibles dans le langage accepté

depuis l’état initial p par l’automate correspondant, c’est à dire l’ensemble de

tous les n-uplets de variables apparaissant dans les termes de ce langage, lus de

la gauche vers la droite. Comme le nombre total de variables du système est fini

et que les systèmes considérés sont linéaires, on peut supposer que|ν(p)|= 1pour

tout p (si ce n’est pas le cas, il suffit d’ajouter un état de contrôle à l’automate

pour chacune des frontières possibles, qui sont en nombre fini).

Dans un premier temps, nous définissons un nouveau système de réécriture

R

′

sur F ∪P ∪Q et X. Les alphabets d’états P et Q sont considérés comme

des alphabets gradués dont les symboles sont tous d’arité égale au nombre de

variables apparaissant dans les termes du langage associé (qui est, nous le

rap-pelons, supposé unique). Par exemple, supposons que depuis l’état p l’automate

A accepte le langage g

∗

f xy. Dans ce cas, p sera considéré comme un symbole

binaire (et ν(p) =xy).

Nous donnons à R

′

l’ensemble de règles suivant. Pour toute transition pf →

p

1

. . . p

m

dans un certain A

i

telle que ν(p) = ν(p

1

). . . ν(p

m

) =x

1

. . . x

n

, on a :

f p

1

ν(p

1

). . . p

m

ν(p

m

) → px

1

. . . x

n

∈ R

^′

.

Les règles de cette forme permettent à R

′

de consommer une partie gauche de

règle de R dans le terme d’entrée. Pour toute transition qf → q

1

. . . q

m

d’un

certain B

i

telle queν(q) =ν(q

1

). . . ν(q

m

) = x

1

. . . x

n

, on a:

qx

₁

. . . x

_n

→ f q

₁

ν(q

₁

). . . q

_m

ν(q

_m

) ∈ R

^′

.

Les règles de cette forme permettent à R

′

de produire une partie droite de règle

de R dont une partie gauche correspondante a été précédemment consommée.

Remarquons que, dans ces deux derniers cas, si f =xpour une certaine variable

xon obtient des règles de la formex→pxetqx→xrespectivement. Enfin, pour

tout couple (p

0

,q

0

) d’états initiaux d’un certain couple (A

i

,B

i

), avec ν(p

0

) =

x

1

. . . x

n

etν(q

0

) =x

k1

. . . x

km

on a :

p

0

x

1

. . . x

n

→ q

0

x

k1

. . . x

km

∈ R

^′

.

Ceci simule l’application d’une règle de réécriture de l’ensemble L(A

i

)×L(B

i

)

en initiant un calcul de l’automate B

i

quand un calcul acceptant inversé de A

i

a été effectué avec succès. Une fois restreinte au domaine T(F)

2

, la relation de

dérivation de R

′

coïncide avec celle de R:

∀s,t ∈T(F), s −→

^∗

R

t ⇐⇒ s −→

^∗

R′

t. (3.7)

La démonstration de cette propriété ne présente aucune difficulté particulière et

ne sera donc pas détaillée. Dans le reste de la démonstration, p,q et toutes leurs

variations désigneront des états de contrôle d’automates dans P ∪Q. Les mots

de variables dansX

∗

seront notéesu,v,u

i

,v

i

, . . ., etσ désignera un renommage de

variable.

Dans un second temps, nous définissons R

₊

comme {f p

₁

u

₁

. . . p

_n

u

_n

R

′

pu}

(règles de « consommation »), R

−

comme{qv R

′

f q

1

v

1

. . . q

n

v

n}

(règles de «

pro-duction ») et R

=

comme la plus petite relation binaire dans T(F,X)

2

fermée par

les règles d’inférence suivantes :

pu R

=

pu ⁽¹⁾

pu R

′

qv

pu R

=

qv ⁽²⁾

pu R

₌

qv

puσ R

=

qvσ ⁽³⁾

qu R

₌

q

′

v q

′

v R

₌

q

′′

z

qu R

=

q

′′

z ⁽⁴⁾

pu R

₋

f p

₁

u

₁

. . . p

_n

u

_n

f q

₁

v

₁

. . . q

_n

v

_n

R

₊

qv ∀i, p

_i

u

_i

R

₌

q

_i

v

_i

pu R

=

qv ⁽⁵⁾

Comme F,P,Q et X sont finis, et comme chaque symbole p de P ∪ Q a une

arité bien définie, R

=

est fini et calculable de façon effective. Mentionnons une

propriété simple de R

=

:

∀pu,t,qv∈T(F,X), pu −→

^∗ | R−∪R=

t −→

^∗ | R+∪R=

qv =⇒ pu R

₌

qv. (3.8)

Classification des systèmes de réécriture de termes 89

Ceci peut être prouvé par induction sur la hauteurk du terme t:

k = 0: aucune règle de R

−

ou R

+

n’est appliquée, donc pu−→

^∗ |

R=

qv. Ainsi,

d’après la règle d’inférence (4), la propriété est vraie.

k ⇒k+ 1: décomposons la séquence de dérivation entre s ett:

pu −→

| R=

p

^′

u

^′

−→

| R−

f p

1

u

1

. . . p

n

u

n ∗

−→

| R−∪R=

◦ −→

^∗ | R+∪R=

f q

1

v

1

. . . q

n

v

n

−→

| R+

q

^′

v

^′

−→

| R=

qv.

Par hypothèse de récurrence, f p

1

u

1

. . . p

n

u

n

∗

−→

|

R=

f q

1

v

1

. . . q

n

v

n

, donc d’après

la règle d’inférence (5), p

′

u

′

R

=

q

′

v

′

. Enfin, d’après la règle d’inférence (4),

pu R

=

qv.

Il reste à démontrer queR

₊

,R

₌

etR

₋

vérifient bien la propriété énoncée. D’après

(3.7), il suffit de montrer que −→

^∗ |

R+∪R=

◦ −→

^∗ |

R−∪R=

= −→

^∗ |

R′

. L’inclusion directe équivaut

à

^R=

−→

|

⊆ −→

^∗ |

R′

. Supposons que s−→

^R=|

t pour deux termes s et t quelconques. La

règle de R

₌

utilisée dans cette étape de réécriture peut seulement être définie

à l’aide des règles d’inférence ci-dessus. On peut donc raisonner par récurrence

sur la séquence de règles d’inférence utilisée pour la définir pour démontrer qu’il

doit s’ensuivre ques−→

^∗ |

R′

t. Ce raisonnement ne pose pas de difficulté et n’est pas

détaillé ici.

Pour montrer la réciproque nous allons établir, par récurrence sur k, la

pro-priété suivante :

∀k, s −→

^k | R′

t =⇒ ∃ c∈C

1

(F), (q

i

u

i

)

i∈[n]

∈T(F,X),

s −→

^∗ | R+∪R=

c[q

1

u

1

. . . q

n

u

n

] −→

^∗ | R−∪R=

t.

k = 0: s =t =c, n= 0, donc trivialement s −→

^∗ | R+∪R=

c −→

^∗ | R−∪R=

t.

k ⇒k+ 1: soits −→

^k | R′

t −→

|

l,r

t

′

aveclR

′

r. Par hypothèse de récurrence,

s −→

^∗ |

R+∪R=

c[q

1

u

1

. . . q

n

u

n

] −→

^∗ |

R−∪R=

t=c[t

1

. . . t

n

].

Trois cas sont possibles :

séquence de dérivation suivante est valide :

s −→

^∗ | R+∪R=

c

^′

[q

1

u

1

. . . q

n

u

n

l] −→

| R+

c

^′

[q

1

u

1

. . . q

n

u

n

q

l

u]

−→

| R=

c

^′

[q

1

u

1

. . . q

n

u

n

q

r

v](car l R

′

r)

−→

| R−

c

^′

[q

1

u

1

. . . q

n

u

n

r] −→

^∗ | R−∪R=

c

^′

[t

1

. . . t

n

r] =t

^′

.

– ∃i, t

i

= ¯t

i

[l]: la seule façon de produire t

i

depuis q

i

u

i

est selon les

étapes

q

i

u

i ∗

−→

| R−∪R=

¯

t

i

[q

l

u]−→

| R−

t

i

.

Donc la séquence de dérivation suivante est valide :

s −→

^∗ | R+∪R=

c[q

1

u

1

. . . q

n

u

n

] −→

^∗ | R−∪R=

c[q

1

u

1

. . .t^¯

i

[q

l

u]. . . q

n

u

n

]

−→

| R=

c[q

1

u

1

. . .t^¯

i

[q

r

v]. . . q

n

u

n

]−→

| R−

t

^′

.

– ∃c

′

, j > i ≥ 1, t = c

′

[t

1

. . . t

i

l t

j+1

. . . t

n

], avec l = ¯l[t

i+1

. . . t

j

]. La

séquence de dérivation entres ett

′

peut alors s’écrire

s −→

^∗ | R+∪R=

c[q

1

u

1

. . . q

n

u

n

] −→

^∗ | R−∪R=

c[t

1

. . . t

n

]

∗

−→

| R+

c[t

1

. . . t

i

q

_i^′_+i

u

^′_i+1

. . . q

_j^′

u

^′_j

t

j+1

. . . t

n

]

−→

| R+

c

^′

[t

1

. . . t

i

q

l

u t

j+1

. . . t

n

] −→

| R=

c

^′

[t

1

. . . t

i

q

r

v t

j+1

. . . t

n

]

−→

| R−

c

^′

[t

1

. . . t

i

r t

j+1

. . . t

n

] =t

^′

Remarquons que pour toutk ∈[i+ 1,j],q

k

u

k

∗

−→

| R−∪R=

t

k ∗

−→

| R+∪R=

q

_k^′

u

^′_k

. Donc

d’après (3.8),q

k

u

k

R

=

q

′ k

u

′ k

, et donc

s −→

^∗ | R+∪R=

c[q

1

u

1

. . . q

n

u

n

] −→

^∗ | R+∪R=

c

^′

[q

1

u

1

. . . t

i

q

l

u q

j+1

u

j+1

. . . q

n

u

n

]

∗

−→

| R−∪R=

c

′

[t

₁

. . . t

_i

r t

_j+1

. . . t

_n

] =t

′

.

Ceci conclut la démonstration du lemme 3.22.

Le lemme 3.22 peut être reformulé de la façon suivante : un couple de termes

(s,t)appartient à la dérivation du systèmeRsi et seulement si il existe un contexte

c tel que s = c[s

1

. . . s

n

], t = c[t

1

. . . t

n

] et pour tout i ∈ [1,n], il existe un terme

q

_i

x

_i

tel que s

_i

−→

^∗ |

R+∪R=

q

_i

x

_i

etq

_i

x

_i

−→

^∗ |

R−∪R=

Classification des systèmes de réécriture de termes 91

3.2.3.3 Rationalité de la dérivation

Maintenant que la structure des dérivations de systèmes suffixes est mieux

comprise, nous sommes en mesure de construire une grammaire engendrant la

relation de dérivation d’un système suffixe quelconque.

Théoreme 3.23. Tout système de réécriture suffixe linéaire reconnaissable de

termes R a une dérivation rationnelle.

Démonstration. Soit R un système suffixe linéaire reconnaissable sur T(F,X).

SoientR

+

, R

=

etR

−

les systèmes de réécriture construits au lemme 3.22. SoitN

un ensemble de paires de la formeu|v oùuetv sont deux mots de termes linéaires

dans Ran(R

+

∪R

=

)

∗

et Dom(R

−

∪R

=

)

∗

respectivement. Rappelons que Ran et

Dom sont définis à renommage des variables près. On peut donc imposer à u et

v de partager le même ensemble de variables (Var(u) =Var(v)), et qu’il n’existe

aucun couple de sous-mots stricts u

′

et v

′

de u et v tels que Var(u

′

) 6= Var(v

′

)

(c’est à dire qu’il ne doit pas être possible de séparer u|v en deux non-terminaux

corrects). Ajouté au fait queF est fini et u et v sont linéaires, ceci implique que

N est fini pour un certain renommage des variables fixé. Donc, étant donné un

axiomeI, on peut construire une grammaireGdont l’ensemble de non-terminaux

estN ∪ {I,I

′

}, possédant l’ensemble fini de productions suivant :

∀ f ∈F,

I −→ f I

₁¹

. . . I

₁ⁿ

× f I

₂¹

. . . I

₂ⁿ

et I

^′

−→ f I

^′1

. . . I

^′n

(3.9)

∀ px∈Dom(R

−

∪R

=

)∩Ran(R

+

∪R

=

),

I −→ px|px (3.10)

∀ u

^′

−→

^∗ | R=

u, v −→

^∗ | R=

v

^′

, u

^′

∈Ran(R

+

)

^∗

, v

^′

∈Dom(R

−

)

^∗

,

u|v −→ u

^′

|v

^′

(3.11)

∀ u

1

=p

1

x

1

. . . p

i

x

i

, u

2

=p

j+1

x

j+1

. . . p

n

x

n

,

v =q

1

y

1

. . . q

m

y

m

, f p

i+1

x

i+1

. . . p

j

x

j

R

+

px,

u

1

px u

2

|v −→ µ

1

. . . µ

i

(f µ

i+1

. . . µ

j

)µ

j+1

. . . µ

n

× ν

1

. . . ν

m

(3.12)

∀ u=p

1

x

1

. . . p

n

x

n

, v

1

=q

1

y

1

. . . q

i

y

i

,

v

2

=q

j+1

y

j+1

. . . q

m

y

m

, qy R

−

f q

i+1

y

i+1

. . . q

j

y

j

,

u|v

₁

qy v

₂

−→ µ

₁

. . . µ

_n

× ν

₁

. . . ν

_i

(f ν

_i+1

. . . ν

_j

)ν

_j+1

. . . ν

_m

(3.13)

Dans les règles (3.12) et (3.13), tous les(µ

k

)

k∈[1,n]

et(ν

k

)

k∈[1,m]

sont des variables

appartenant à des instances de non-terminauxu

′

|v

′

∈N oùu

′

etv

′

sont construits

à partir des termes (p

k

x

k

)

k∈[1,n]

et (q

k

y

k

)

k∈[1,m]

respectivement. Les variables µ

1

à µ

n

(resp. ν

1

à ν

m

) apparaissent seulement dans la première (resp. la seconde)

projection de tout non-terminal. Notons que cette instanciation est unique par

construction de l’ensembleN. Elle est également toujours possible puisque chaque

règle de R est par hypothèse linéaire.

Soit ρ la substitution qui associe à chaque variable de non-terminal (u|v)

i

le

terme (u)

i

si i ∈ [1,|u|] et (v)

i

si i ∈ [|u|+ 1,|u|+|v|], et à chaque variable de

non-terminal (I

i

j

)

_j∈[1,2]

une variable x

i

. Il est clair d’après la forme des règles de

G

0

que

I −→

^∗ G0

s × t ⇐⇒ sρ −→

^∗ | R+∪R=

◦ −→

^∗ | R−∪R=

tρ. (3.14)

Nous ne détaillerons pas la démonstration de cette observation. Remarquons

que cette grammaire fonctionne de manière fort similaire à un transducteur clos

d’arbres, qui est le formalisme utilisé par [DT85] pour engendrer les dérivations

d’un système clos. L’unique différence est qu’il nous faut garder la trace des

va-riables apparaissant dans les projections gauche et droite de la relation afin de

pouvoir redémarrer la réécriture aux positions correctes. Ajoutons maintenant à

G

0

l’ensemble de règles

∀ x∈X tel que xRpx, qxRx, px|qx −→ I (3.15)

px| −→ I

^′

(3.16)

et appelons cette nouvelle grammaire G. Ces dernières règles permettent à la

dérivation de continuer correctement après qu’une première séquence de réécriture

suffixe a été effectuée, en créant de nouvelles instances de l’axiome entre les feuilles

supposées être étiquetées par la même variable. D’après le lemme 3.21,Gengendre

∗

−→

R

.

Remarque 3.24. Remarquons que la grammaire construite dans la preuve

précé-dente est conforme à la définition des grammaires de transduction (cf. définition

3.12. Les dérivations des systèmes suffixes sont donc une sous-famille des

trans-ductions rationnelles.

3.2.3.4 Préservation de la régularité

Contrairement aux systèmes descendants, les dérivations des systèmes suffixes

préservent la régularité des langages de terme, à la fois par application directe

et inverse. Ceci peut être vu comme une conséquence de la remarque 3.24, mais

nous fournissons néanmoins une construction directe.

Proposition 3.25. L’image et l’image inverse d’un langage régulier de termes

par la dérivation d’un système de réécriture suffixe linéaire reconnaissable sont

régulière.

Classification des systèmes de réécriture de termes 93

Démonstration. Soit R un système suffixe linéaire reconnaissable surT(F),G la

grammaire engendrant sa dérivation telle que construite dans la démonstration

du théorème 3.23, et N ∪ {I,I

′

} l’ensemble de non-terminaux de G. Soit A un

automate fini descendant acceptant un langage régulier de termes L. Supposons

que Q

A

est l’ensemble d’états de contrôle de A, disjoint de F et de X, et que

q

0

∈Q

A

est son unique état initial. Soit Q

′

A

une copie disjointe de Q

A

, on définit

la grammaire G

A

ayant pour non-terminaux Q

A

∪Q

′

A

∪ {(r

1

,u

1

). . .(r

n

,u

n

)|v |

r

1

, . . . ,r

n

∈Q

A

∧u

1

. . . u

n|

v ∈N}et possédant l’ensemble de productions suivant :

– Pour toute transition rf −→

A

f r

1

. . . r

n

:

r −→ f(r

1

)

1

. . .(r

n

)

1

× f(r

1

)

2

. . .(r

n

)

2

(3.17)

r

^′

−→ f r

^′₁

. . . r

_n^′

(3.18)

– Pour tous r ∈Q

_A

, px|px∈N:

r −→ (r,px)|px, (3.19)

– Pour toute règlep

1

x

1

. . . p

n

x

n

|v −→ p

′

1

x

′

1

. . . p

′

n

x

′

n

|v

′

de type (3.11) dansG

et mot d’états de contrôler

₁

. . . r

_n

∈Q

∗

A

:

(r

1

,p

1

x

1

). . .(r

n

,p

n

x

n

)|v −→ (r

1

,p

^′₁

x

^′₁

). . .(r

n

,p

^′_n

x

^′_n

)|v

^′

(3.20)

– Pour toute règle u

1

px u

2

|v −→ s × t de type (3.12) dans G avec u

1

=

p

₁

x

₁

. . . p

_i

x

_i

, u

₂

= p

_j+1

x

_j+1

. . . p

_n

x

_n

et pour tout mot d’états de contrôle

r

1

. . . r

i

r r

j+1

. . . r

n

∈Q

∗

A

:

(r

1

,p

1

x

1

). . .(r

i

,p

i

x

i

)(r,px)(r

j

,p

j

x

j

). . .(r

n

,p

n

x

n

)|v −→ s

^′

×t

^′

(3.21)

oùrf −→

A

f r

i+1

. . . r

j

ets

′

ett

′

sont formés en remplaçant danssettchaque

occurrence de p

k

dans une variable de non-terminal par (r

k

,p

k

), pour tout

k∈[1,n].

– Pour toute règle p

1

x

1

. . . p

n

x

n|

v −→ s×t de type (3.13) dans G et mot

r

1

. . . r

n

∈Q

n

A

:

(r

1

,p

1

x

1

). . .(r

n

,p

n

x

n

)|v −→ s

^′

×t

^′

(3.22)

où s

′

et t

′

sont formés en remplaçant dans s et t chaque occurrence de p

_k

dans une variable de non-terminal par (r

k

,p

k

), pour tout k∈[1,n].

– Enfin, pour toute règle de la forme px|qx −→ I (resp. px| −→ I

′

) dans

Get tout r∈Q

_A

:

(r,px)|qx −→ r (3.23)

On peut observer que, partant du non-terminal q

0

, la grammaire G

A

engendre

exactement l’ensemble des couples(s,t)tels ques −→

^∗

R

tets∈L. Donc l’ensemble

de tous les t tels que (s,t)est engendré par G

A

depuis q

0

est exactement l’image

deL par la dérivation de R:

L(G

_A

,q

₀

) = −→

^∗ R

(L).

Un automate reconnaissant ce langage de termes peut être construit en prenant

la projection à droite de G

A

, et en traitant chacune de ses variables de

non-terminaux comme un non-terminal unaire. Les transitions de cet automate sont

données par les règles deG

A

découpées en plusieurs règles sur ces non-terminaux

d’arité 1.

Remarquons que cette construction est parfaitement symétrique, et que la

synchronisation de G par un automate fini A aurait pu être effectuée sur la

seconde projection au lieu de la première, d’où le résultat réciproque.

Dans le document Graphes infinis de présentation finie (Page 95-105)