Systèmes mixtes

La transition depuis un régime intégrable vers un régime mixte où coexistent des zones intégrables et des zones chaotiques est décrite par le théorème KAM, nommé

d'après Kolmogorov, Arnold et Moser. Dans le cas où un Hamiltonien intégrable H0(p, q)

subit une petite perturbation

H(p, q) = H0(p, q) + H1(p, q), (2.22)

le théorème énonce que les tores irrationnels survivent et sont simplement déformés par la perturbation, c'est-à-dire qu'il existe un tore du système perturbé tel que ω() =

k()ω0 et k() −−→

→0 1et tel que la surface du tore perturbé tend vers le tore du système

non perturbé. Les tores survivants sont nommés les tores KAM. À l'inverse, les tores rationnels sont immédiatement détruits.

Le devenir des tores rationnels est en eet plus complexe, car leur destruction en- gendre de nouvelles structures. Pour bien visualiser ces structures, il est utile de se

ramener à deux degrés de liberté. Les tores sont décrits par deux angles θ1 et θ2. Sur

une section de Poincaré dénie en xant la valeur de θ2, les tores irrationnels du sys-

tème intégrable (non perturbé) apparaissent comme une série de cercles concentriques. Sur une tore rationnel, chaque point est vu sur la PSS comme un point xe de période ˜

q. D'après le théorème de Poincaré-Birkho, le tore rationnel détruit sous l'eet de la

perturbation laisse derrière lui deux orbites, l'une étant stable et l'autre instable. Sur la PSS, on observe donc une alternance, dans le sens de la rotation, de ˜q points xes elliptiques et ˜q points xes hyperboliques. On dit que les points xes elliptiques du système perturbé forment une chaîne d'îlots.

Le voisinage proche des points elliptiques est, à l'image de la PSS dans son ensemble, formé de cercles concentriques perturbés (l'approximation linéaire y est valide). Le théorème de Poincaré-Birkho s'applique localement aux tores rationnels, qui eux- mêmes engendrent des points xes elliptiques, et ainsi de suite. Rappelons que les tores rationnels du système non perturbé sont denses. Ainsi, de telles structures fractales émergent partout dans l'espace des phases, au voisinage des tores KAM. À cela s'ajoute l'apparition de chaos dans la dynamique, provoquée par la prolifération des points hyperboliques. En deux dimensions, le chaos est contenu entre les tores KAM et reste conné dans une région restreinte de l'espace des phases. En revanche, en dimension supérieure, les tores KAM ne partitionnent plus l'espace des phases et laissent les zones chaotiques s'étendre dans tout l'espace des phases si on attend susamment : c'est la diusion d'Arnold (Guzzo et al., 2004), qui est toutefois très lente.

Au-delà du régime perturbatif

Le théorème KAM dépeint l'action d'une petite perturbation sur les trajectoires d'un système intégrable. Mais lorsque cette perturbation s'amplie, de nouveaux phé- nomènes apparaissent. Pour illustrer ce régime des `grandes' perturbations, nous allons examiner le cas du rotateur pulsé, qui est un système très étudié à la fois pour sa simplicité mathématique et sa phénoménologie complexe. Le mouvement du rotateur pulsé est décrit par le Hamiltonien suivant

H = p 2 2 + K cos(θ) ∞ X −∞ δ(t_{− mT ),} (2.23)

qui est composé d'une partie cinétique et d'un potentiel périodique en temps. On parle dans ce cas d'un système pulsé, car on applique périodiquement une impulsion. Ainsi la période T mesure la durée entre deux impulsions, le paramètre K règle l'intensité de l'impulsion et l'entier m décompte les impulsions. Physiquement, on peut penser à une particule en mouvement dans un anneau et sur laquelle on applique une force de manière périodique, par exemple à l'aide d'un champ électrique. Entre deux impulsions, la quantité de mouvement reste constante. On peut donc suivre l'évolution du système de manière stroboscopique, en se concentrant sur les instants mT −  qui précèdent immédiatement les impulsions. À l'instar de la section de Poincaré cette méthode per- met de se ramener à une application discrète, en l'occurrence la célèbre application de

Chirikov ou application standard (Chirikov, 1971).

pm+1 = pm+ K sin(θm)

θm+1 = θm+ pm+1T modulo 2π.

(2.24) L'espace des phases associé est de topologie cylindrique, puisque θ est un angle. De plus, l'application est périodique en p, de telle manière que toutes les structures sont

contenues dans une cellule de taille θ ∈ [0, 2π] et p ∈ [0, 2π/T ]. La Fig. 2.3 présente

une cellule de l'espace des phases pour des impulsions d'amplitude croissante. Comme le système ne possède qu'un seul degré de liberté le cas sans perturbation K = 0, où la quantité de mouvement est conservée, est bien complètement intégrable. Les tores seront rationnels si la trajectoire boucle sur elle-même après un nombre ni de tours et irrationnels dans le cas contraire, soit quand le nombre de rotation

R = lim m→∞ m X i=1 θi+1− θi 2πm = limm→∞ m X i=1 piT 2πm, (2.25)

ne peut pas s'écrire comme une fraction. Quand la perturbation reste faible, on re- trouve la situation décrite par le théorème KAM avec des tores irrationnels déformés et des tores rationnels remplacés par des résonances. Au-delà, les zones chaotiques on tendance à s'étendre et les structures régulière à disparaître, si bien que le sys- tème est complètement chaotique pour des valeurs de K susamment élevées. Deux mécanismes sont à l'÷uvre : la déstabilisation des îlots et la disparition des tores KAM. La déstabilisation d'un îlot a lieu par une suite de bifurcations par doublement

de période. À mesure que K augmente, les valeurs propres λ1 et λ2 de la matrice de

monodromie, situées dans le plan complexe sur le cercle de rayon unité, se rapprochent de l'axe des réels qu'elles coupent en −1. L'orbite centrale devient alors instable et une nouvelle orbite stable se forme, ayant une période deux fois supérieure. Ce schéma se répète indéniment, formant une cascade de bifurcations qui mène inexorablement au chaos. Concernant les tores KAM, leur survie dépend directement du nombre de

rotation1_{. Il existe une valeur critique K}

c ≈ 0.9716 de la perturbation au-delà de

laquelle tous les tores KAM sont détruits (Ott,2002;Greene,1979), ce qui autorise les zones chaotiques à se connecter à l'exception de celles qui sont dans les îlots.