Rappels sur les systèmes Hamiltoniens

En mécanique analytique sans dissipation, toute l'information sur le système dyna- mique considéré est contenue dans une unique fonction scalaire, le Lagrangien (formu- lation Lagrangienne) ou le Hamiltonien (formulation Hamiltonienne). Dans les deux

formulations, les positions sont exprimées dans les coordonnées généralisées {qi}, dé-

nies comme N coordonnées indépendantes, où N correspond au nombre de degrés de liberté du système. Pour illustrer le concept de coordonnées généralisées, examinons le cas du pendule simple. La masse, xée au bout d'une corde rigide de longueur `, décrit un mouvement plan. On peut repérer la position de cette masse en utilisant les coordonnées cartésiennes x(t) et y(t), mais ce choix n'est pas économe car x(t) et y(t) sont liées par la contrainte ` =px2_{+ y}2. Dans ce système, l'angle θ(t) entre la corde

et la normale est l'unique degré de liberté. La coordonnée généralisée est donc q = θ.

L'état d'un système Hamiltonien est décrit par deux variables, son moment p = {pi}

et sa position q = {qi}, où i = 1... N. L'état se modélise donc par un point dans l'espace

des phases de dimension 2N. Cela signie que la donnée de ces deux variables à un instant t, ajoutée à la donnée des paramètres constants comme la charge électrique d'une particule, est susante pour connaître tous les états antérieurs et futurs du système. L'évolution du système, qui se traduit par une trajectoire (p(t), q(t)) dans

l'espace des phases, est entièrement déterminée par le Hamiltonien H(p, q, t), suivant les équations de Hamilton

∂H ∂pi = ˙qi ∂H ∂qi =_{− ˙p}i, (2.1)

où le point exprime la dérivée temporelle. La forme de ces équations est dite canonique.

De même, tout jeu de variables (¯p, ¯q) qui préserve la structure des équations, au prix

d'un changement de Hamiltonien H → ¯H, est dit canonique et les variables ¯pet ¯q sont dites conjuguées.

Soit x le vecteur des coordonnées dans l'espace des phases, par exemple x = (p, q). Dans l'étude des systèmes dynamiques, on distingue les systèmes en temps continu

d

dtx = F (x), (2.2)

où F est appelée le ot, des systèmes en temps discret

xn+1 =T (xn), (2.3)

où T est une application (`map' en anglais).

Passons en revue quelques propriétés importantes des systèmes dynamiques Hamil- toniens. D'abord, le déterminisme impose qu'à toute condition initiale ne corresponde

qu'une seule évolution possible (les équations2.1 n'ont qu'une seule solution pour une

condition initiale donnée). Il suit que deux trajectoires de l'espace des phases ne peuvent

pas se croiser. Du même principe, le déterminisme, il découle qu'une boucle Γ1 qui en-

cercle un groupe de trajectoires à l'instant t = t1 se transforme en une boucle Γ2 qui

encercle les mêmes trajectoires à l'instant t = t2. Cette propriété permet de suivre un

tube de trajectoires en se concentrant sur sa frontière.

Les trajectoires de l'espace des phases peuvent évoquer les lignes de courant de la mécanique des uides. Le théorème de Liouville donne du sens à cette analogie. Soit

ρ(p, q, t) la densité de trajectoires dans une volume innitésimal ΠN

i=1dpidqi, alors ∂ρ ∂t + X i  ∂ρ ∂pi ˙ pi+ ∂ρ ∂qi ˙ qi  = 0. (2.4)

Le théorème de Liouville énonce que le volume de l'espace des phases est conservé le long des trajectoires, ou autrement dit que le "uide Hamiltonien" est incompressible. Cette propriété peut être exploitée pour dénir des invariants. Ainsi, un premier invariant

est donné par le théorème de Poincaré-Cartan (Ott, 2002)

I Γ1 (p_{· dq − Hdt) =} I Γ2 (p_{· dq − Hdt),} (2.5)

où Γ1 et Γ2 sont deux courbes fermées dans l'espace des phases étendu de dimension

2N + 1, qui encerclent les mêmes trajectoires. Cela se traduit par la conservation de

l'intégraleH(p_{·dq −Hdt) sur la frontière d'un tube de trajectoires. Dans le cas particu-} lier des systèmes autonomes où le Hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps,

la boucle Γ est contrainte sur l'espace des phases de dimension 2N et n'a donc pas d'ex-

tension dt dans la direction temporelle. Il suit que le second terme H_ΓHdts'annule. On

obtient de cette façon l'intégrale de Poincaré, qui est un invariant fondamental (voir à ce propos la section suivante)

I Γ1 p_{· dq =} I Γ2 p_{· dq,} (2.6)

où Γ1 est l'image de Γ2 par le ot Hamiltonien. Plus généralement, on dénit l'action

S comme

S(p, q) = Z

p_{· dq.} (2.7)

Il est dicile de se représenter l'espace des phases de dimension 2N, même dans le cas d'un système simple à deux degrés de liberté. S'il existe une quantité conservée, par exemple l'énergie pour un système autonome, alors le mouvement est contraint sur la surface d'énergie, dénie par E = H(p, q), de dimension 2N − 1. Il sut de xer un paramètre parmi p = p1, ..., pN et q = q1, ...qN pour obtenir une section de l'espace

de dimension 2N − 2, appelée section de Poincaré (PSS, de l'anglais `Poincaré surface of section'). Trois règles doivent être respectées pour obtenir une section de Poincaré exploitable. D'abord, il faut que la PSS intercepte toutes les trajectoires que l'on désire étudier. Ensuite, chaque point doit avoir une seule image et un seul antécédent sur la PSS. Pour garantir cela, il est nécessaire d'orienter la PSS, c'est-à-dire de ne représenter

que les trajectoires qui la traverse dans un sens, comme le montre la Fig.2.1. La PSS

a pour eet de tranformer le ot continu en application discrète, dite application de Poincaré. La troisième règle est de veiller à ce que l'aire sur la PSS soit conservée sous l'action de l'application de Poincaré. Ceci est garanti du moment que les coordonnées utilisées sont des variables conjuguées (Ott, 2002).

Figure 2.1  Intersection d'une trajectoire avec la section de Poincaré x = cst. Seuls les points A et C traversant la section de Poincaré vers

les x < 0 sont pris en compte. Figure adaptée de (Ott,2002).

Intéressons-nous à l'application obtenue à l'aide d'une section de Poincaré. Chaque intersection d'une orbite périodique avec la PSS est un point xe de l'application Tp, où

pest un entier représentant la période de la trajectoire. L'étude de la stabilité renseigne sur le comportement des trajectoires à proximité des points xes. Dans l'approximation linéaire, la stabilité de l'orbite périodique est donnée par la matrice de monodromie M,

dont le déterminant vaut det(M) = 1 et qui donne le déplacement d'une orbite voisine après une période :

 δy0 δp0  =  M11 M12 M21 M22   δy δp  , (2.8)

où y désigne la coordonnée transverse à l'orbite périodique. Les valeurs propres de la matrice de monodromie viennent par paires (λ, 1/λ). On distingue trois cas

les orbites neutres : λ1 = λ2 = 1 ou λ1 = λ2 =−1,

les orbites elliptiques (stables) : λ1 = eiθ, λ2 = e−iθ, θ 6= {0, π},

les orbites hyperboliques (instables) : λ1 =±eu, λ2 =±e−u, u ∈ R+.

Sur la PSS, les points xes hyperboliques sont à la croisée d'une direction stable et d'une direction instable. La dynamique est déstabilisée au voisinage des points hyperboliques, ce qui peut mener au chaos. À l'inverse, les trajectoires voisines sont satellisées autour d'un point xe stable.