Présentation des données

Nous commencerons par calculer la statistique des proches voisins pour les spectres

chaotiques (voir section2.2.4) et nous obtiendrons un très bon accord avec la prédiction

donnée par la théorie des matrices aléatoires. Nous calculerons ensuite les autocorré- lations pour ces mêmes spectres. De manière surprenante, nous distinguons clairement des pics dans les autocorrélations qui ne sont pas modélisés par la théorie des matrices aléatoires. Nous représenterons nalement les spectres sur un diagramme échelle et montrerons qu'il existe un écart régulier s'interprétant comme une grande séparation.

Statistique des proches voisins

Nous avons calculé la distribution P (s0_{) des écarts entre niveaux proches voisins}

pour chacun des spectres de la table4.1. Si les modes que nous avons identiés sont bien

chaotiques, on s'attend à ce que ces spectres suivent la statistique de GOE. À l'inverse si des modes réguliers se glissent dans les données, par exemple des modes d'îlot de

degré élevé, alors on obtient une superposition de sous-spectres et on se rapproche d'une statistique Poissonienne.

La distribution P (s0_{) permet de distinguer très facilement ces deux situations. En}

eet elle s'annule à l'origine dans le cas GOE tandis qu'elle vaut 1 dans le cas Poisso-

nien (voir g. 2.8). Pour la plupart des spectres de la table 4.1, l'accord obtenu avec

la distribution GOE est très bon comme le montre la Fig. 7 de la publication II5_.

Ce résultat conrme que la base de données de modes chaotiques a été correctement

constituée. Toutefois, les spectres (m = 0, Ω/Ωk = 0.706) n'est pas en accord avec

la prédiction GOE, comme le montre la Fig. 4.7 où nous avons calculé la distribution

intégrée N(s) =Rs

0 P (s0)ds0 où l'on voit que la distribution du spectre à Ω/Ωk = 0.706

est intermédiaire entre le cas GOE et le cas Poissonien. Une telle statistique est un signe que le spectre est une superposition d'au moins deux sous-spectres. Ainsi, à cette rotation, le spectre est une superposition d'au moins deux sous-spectres.

Nous pensons que l'origine de ce phénomène est l'apparition de barrières partielles piégeant les trajectoires chaotiques dans un domaine entourant l'îlot central. De telles

structures peuvent former des modes dans une sous partie de la zone chaotique (Shim

et al.,2011). Les domaines piégeant les trajectoires sont particulièrement grands, relati- vement à la taille de la zone chaotique, à Ω/Ωk = 0.706(voir la section4.3). Le spectre

non-axisymétrique (m = 4, Ω/Ωk= 0.589) est lui aussi plus proche de la statistique de

Poisson que de la statistique GOE. Nous n'avons pas mené d'étude approfondie sur les barrières partielles dans le cas non-axisymétrique. Toutefois, nous suspectons que la

réduction de la zone chaotique qui a lieu lorsque la projection ˜Lz du moment angulaire

augmente la proportion de modes formés par les barrières partielles.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 s N Ω/Ωk= 0. 706 Poisson GOE

Figure 4.7  Distribution des écarts intégrée : N(s) =Rs

0 P (s0)ds0 pour

deux valeurs de la rotation. La distribution est proche du cas Poissonien pour Ω/Ωk = 0.706. Cela indique que le spectre chaotique à cette rota-

tion est une superposition de sous-spectres indépendants.

5. Voir aussi la Fig. 2 de la publication I, où nous calculons une distribution similaire à P (s0₎

Autocorrélations et diagrammes échelle

L'autocorrélation est dénie comme R2(ξ) =

Z

dω d(ω_{− ξ/2)d(ω + ξ/2),} (4.2)

où ξ est un déplacement en fréquence et d(ω) =Pjδ(ω− ωj) correspond à la densité

spectrale. Pour calculer l'autocorrélation numériquement, on remplace les δ de dirac de la densité spectrale par des fonctions piquées mais de largeur nie. En l'occurrence, nous choisissons des Gaussiennes ayant une largeur σ petite devant l'écart moyen entre les fréquences. L'autocorrélation peut s'avérer utile pour révéler la présence de régu- larités. Illustrons ce principe avec les modes d'îlot. Le spectre des modes d'îlot étant régulier, du moins asymptotiquement, il produit des pics dans l'autocorrélation (voir Fig. 4.8) positionnés en ξ = αδ1+ βδ2, où α, β sont des entiers et δ1, δ2 sont les écarts

réguliers du spectre. L'espacement régulier entre deux modes d'îlot séparés d'un ordre radial, correspondant à la grande séparation, produit un pic dans l'autocorrélation à la

position ξ = ∆i. Dans la section 2.2.4 nous avons présenté l'autocorrélation attendue

pour un spectre GOE. Cette autocorrélation ne montre aucun pic.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 ξ/ωp 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 R2 δ1 δ2 26 27 28 29_ω/ω 30 31 32 33 p 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 d δ2 δ1

Figure 4.8  Panneau du bas : densité spectrale de quelques modes d'îlot pairs avec ` = 0 (en bleu) ou ` = 1 (en orange), calculés à Ω/Ωk=

0.589. Panneau du haut : autocorrélation calculée à partir de cette même densité spectrale. Les diérences δ1= ωn+1,`,m−ωn,`,met δ2 = ωn,`+1,m−

Les autocorrélations de spectres chaotiques (modes impairs axisymétriques) sont pré-

sentés sur la Fig. 4.9 pour six valeurs de la rotation. Nous distinguons deux types

de pics. Le pic principal, positionné en ξ = ∆c (où l'indice `c' désigne les modes chao-

tiques) et les pics secondaires. Il n'est pas absolument évident, à première vue, que cette distinction entre pic principal et pics secondaires soit pertinente. Chronologiquement,

nous avons commencé par étudier la rotation Ω/Ωk= 0.589. Nous avons remarqué que

la position ∆c du pic de plus haute amplitude est très proche de la grande séparation

des modes d'îlot ∆i. En calculant des spectres à des valeurs plus basses de la rotation,

nous avons pu remarquer que le pic positionné en ∆c ∼ ∆i persistait tandis que les

pic secondaires s'atténuaient. Nous montrerons par la suite que ces deux types de pics sont bien liés à des processus physiques distincts6_.

L'existence d'un pic dans l'autocorrélation n'est pas une preuve qu'il existe des séries longues de modes séparés régulièrement en fréquence. On pourrait par exemple créer un pic dans l'autocorrélation si de nombreux couples de modes étaient séparés

de ∆c. Pour mieux cerner l'organisation du spectre, on peut s'aider des diagrammes

échelle. Sur la g.4.10nous montrons deux exemples de diagrammes échelle qui testent

la régularité en ∆ = ∆c, à Ω/Ωk = 0.481et Ω/Ωk = 0.658.

Sur cette gure, on voit des séries de fréquences chaotiques approximativement ali- gnées. Cette organisation rappelle celle des modes réguliers, lorsqu'on les représente sur un diagramme échelle (ω, ω modulo ∆c) (voir Fig.1.3). Il est ainsi naturel d'inter-

préter ce pic dans l'autocorrélation comme une grande séparation. Dans la publication II nous avons étudié en détail les diérentes séries verticales qui apparaissent dans le diagramme échelle. Nous avons constaté que les distributions spatiales de deux modes consécutifs dans une série sont en général similaires (voir Annexe B.2 pour quelques exemples de ces séries). Pour comprendre l'origine de cette grande séparation dans les spectres chaotiques, nous allons utiliser le formalisme de la théorie des orbites pério- diques.