Synth´ etiques

Afin de valider la m´ethode de r´egionalisation, plusieurs tests synth´etiques ont ´et´e r´ealis´es, deux sont d´etaill´es dans cette partie. Ils sont effectu´es avec la couverture de donn´ees r´eelle obtenue apr`es s´election (voir section 5.4.2), soit 1268 trajets au total.

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A partir de perturbations de vitesse synth´etiques, les vitesses moyennes sur chaque trajet sont calcul´ees en r´esolvant le probl`eme direct (section5.6.1). Le probl`eme inverse est r´esolu en utilisant la m´ethode d’inversion par moindres carr´es pr´esent´ee dans la section5.6.1. Dans tous ces tests synth´etiques, l’anisotropie n’est pas prise en compte. Les valeurs deC_d0, C_p0 et L_corr choisies sont indiqu´ees dans le tableau5.3. Les valeurs de variances a posteriori Cpp sont calcul´ees en chaque point de la grille.

Tests synth´etiques irr´ealistes

Ces tests synth´etiques sont compos´es d’anomalies de vitesse uniformes et isol´ees (fi-gure5.15). Le signe des perturbations varie d’une anomalie `a une autre et aucun lissage n’est effectu´e sur les bords des anomalies. L’amplitude des anomalies est de +/- 2.85 %. Un exemple de ce type de test est pr´esent´e sur la figure5.15 avec trois anomalies de 150 × 200 km. Une anomalie de vitesse n´egative est localis´ee au Sud-Ouest de Paris, dans une zone o`u la couverture de trajet est bonne (figure5.15a), tandis que deux ano-malies de vitesse positives sont plac´ees dans des zones moins bien couvertes, au niveau du Golfe de Gascogne et du Pays de Galles. La figure 5.15b pr´esente les r´esultats de l’inversion. Les trois anomalies sont bien retrouv´ees. Bien que les param`etres puissent prendre librement des valeurs allant jusqu’`a 5 % de leur valeur initiale, l’amplitude des anomalies est bien r´esolue. L’anomalie situ´ee au niveau de l’Angleterre est sensiblement moins bien r´esolue que les deux autres, avec une valeur d’amplitude retrouv´ee sous es-tim´ee, et des limites l´eg`erement flout´ees. La plus faible densit´e de croisements dans cette zone explique ces diff´erences. Il est aussi important de noter que peu de lobes secondaires sont observ´es autour des trois anomalies retrouv´ees, et qu’aucune pertur-bation n’est visible `a l’ext´erieur du r´eseau. Le mˆeme test, effectu´e avec un nombre plus

important de stations r´eparties uniform´ement sur la r´egion ´etudi´ee, montre que les fluc-tuations r´esiduelles qui sont observ´ees `a l’int´erieur du r´eseau sont uniquement li´ees `a la configuration de donn´ees disponibles. Les valeurs de variance a posteriori apportent une information quantitative sur les zones r´esolues (figure 5.15c). On constate que les valeurs de variance a posteriori et la couverture de trajet sont tr`es fortement corr´el´ees (voir figure5.14). La r´egion la mieux r´esolue se situe au niveau du Massif armoricain.

Figure 5.15 : Test synth´etique irr´ealiste. a) Mod`ele synth´etique b) Mod`ele obtenu apr`es inversion c) Variance a posteriori sur les param`etres.

Tests synth´etiques r´ealistes

Ces tests synth´etiques sont compos´es de perturbations de vitesse variables sur l’en-semble de la r´egion ´etudi´ee (figure 5.16). Chaque mod`ele est construit par la somme de 100 fonctions Gaussienne de largeur fixe. La largeur choisie contrˆole la taille ca-ract´eristique des anomalies. La position de chaque Gaussienne est choisie al´eatoirement. Les valeurs des perturbations sont ensuite mises `a l’´echelle entre +/- 2.85 % . Les tran-sitions entre les anomalies sont naturellement lisses. Un exemple de ce type de test est pr´esent´e sur la figure 5.16. Le mod`ele synth´etique poss`ede des anomalies de 75 km

de longueur caract´eristique, avec des valeurs d’amplitudes variables (figure 5.16a). Les r´egions au niveau du Golfe de Gascogne et du Nord de la France sont marqu´ees par des fortes anomalies de vitesse n´egatives (' -2.85 %) ´etendues sur plusieurs centaines de kilom`etres, tandis que le centre de la France est associ´e `a des anomalies moins larges (< 100 km) poss´edant des amplitudes plus faibles (' 1 %). On note aussi la pr´esence d’une anomalie de vitesse nulle de petite taille (' 75 km) localis´ee au niveau du Golfe de Gas-cogne. La figure5.16b pr´esente les r´esultats de l’inversion. On observe que la g´eom´etrie, ainsi que l’amplitude, de la plupart des anomalies sont tr`es bien retrouv´ees `a l’int´erieur du r´eseau. L’anomalie de vitesse nulle situ´ee dans le Golfe de Gascogne est d´etect´ee mais son amplitude est mal contrainte. Les effets li´es au lissage spatial introduit par l’op´erateur C_p0, et `a la couverture de trajets limit´ee dans cette zone, ne permettent pas de retrouver des anomalies de cette taille. Les r´egions situ´ees `a l’ext´erieur du r´eseau retrouvent des perturbations de vitesse nulles, ce qui montre qu’il n’y a pas de risque de propagation d’erreur de part et d’autres des zones r´esolues. Les valeurs de variancea posteriori (figure5.16c) sont tr`es proches de celles qui sont observ´ees sur la figure5.15c, confirmant ainsi le rˆole d´eterminant de la couverture de trajets sur les valeurs de va-riancea posteriori.

Des tests avec des anomalies de diff´erentes tailles caract´eristiques ont aussi ´et´e ef-fectu´es afin d’estimer quantitativement le pouvoir de r´esolution. L’´ecart entre le mod`ele retrouv´e et le mod`ele recherch´e est calcul´e syst´ematiquement sur 10 r´ealisations de mod`eles ind´ependantes. La moyenne de ces ´ecarts est ensuite calcul´ee. Les r´esultats sont repr´esent´es sur la figure 5.17 pour des longueurs caract´eristiques d’anomalies de 50, 75 et 100 km. On observe que la r´egion associ´ee avec des ´ecarts proches de 0 aug-mente avec la taille des anomalies. Pour une longueur caract´eristique de 50 km, seule une zone au niveau du Massif armoricain poss`ede de faibles ´ecarts moyens. Pour une longueur caract´eristique ´egale et sup´erieure `a 75 km, la zone r´esolue s’´etend au niveau du Bassin parisien et du Bassin aquitain, et aux r´egions cˆoti`eres du Golfe de Gascogne. On observe que des diff´erences significatives subsistent dans certaines zones au large du Golfe de Gascogne, repr´esentatives du manque de r´esolution dans ces r´egions.

Figure 5.16 : Exemple de test synth´etique r´ealiste. a) Mod`ele synth´etique b) Mod`ele obtenu apr`es inversion c) Variance a posteriori sur les param`etres (voir le texte pour les d´etails).