4.3 Une m´ ethode d’inversion Monte-Carlo par chaˆıne de Markov
4.3.3 Param´ etrisation du mod` ele
1 − ρi
obs(u) − ρmin ρmax− ρmin
,
(4.9)
o`u ρmax et ρmin sont le maximum et le minimum de densit´e de probabilit´e observ´es sur les n fonctions de densit´e de probabilit´e, et k4 une constante. Les valeurs de βi
obs sont des coefficients de la fonction coˆut, dont les valeurs sont comprises entre 0 et k4, avec des valeurs proches de 0 atteintes pour les maxima d’´energie sismique observ´es dans l’espace temps fr´equence, tandis que des valeurs proches de k4 sont atteintes pour les minima d’´energie (figure 4.4). Dans ce travail, la valeur de k4 a ´et´e fix´ee `a 0,25.
4.3.3 Param´etrisation du mod`ele
Le choix de la param´etrisation des mod`eles est une ´etape cruciale dans tout processus d’inversion. L’objectif est de trouver la param´etrisation la plus simple en ad´equation avec la capacit´e de r´esolution des donn´ees observ´ees (Bodin et al., 2012). Le choix d´epend aussi des informations a priori que l’on a (ou que l’on d´esire imposer) sur le
Figure 4.4 : Exemple de mesure de dispersion sur des donn´ees r´eelles et illustration de la mesure de la fonction coˆut. a) Intercorr´elation calcul´ee sur la paire de stations CLF E089 (voir figure 2.6 et tableau 5.4). Les lignes verticales noires indiquent les temps d’arriv´ees pour une onde de surface se propageant le long du grand cercle reliant les deux stations avec une vitesse comprise entre 1.5 et 4.5 km/s. b) Diagramme de dispersion associ´e. Les courbes rouges et bleues sont des courbes de dispersion th´eoriques calcul´ees pour deux configurations de mod`ele. Les valeurs de fonctions coˆut associ´ees aux deux courbes sont indiqu´ees en haut `a gauche. c) Exemple de la mesure du coefficient de la fonction coˆut `a 8 s et 33 s de p´eriode.
mod`ele `a retrouver.
La param´etrisation en couches avec des vitesses constantes ou `a gradient est la m´ethode la plus r´epandue (Shapiro et Ritzwoller, 2002 ; Shen et al., 2012 ; Pedersen et al., 2013 ; Macquet et al., 2014). Ces m´ethodes n´ecessitent de fixer au pr´ealable le nombre de couches ainsi que leur ´epaisseur, ce qui impose de fortes informations a priori sur le mod`ele de vitesse `a retrouver. L’utilisation d’une param´etrisation moins contraignante semble plus adapt´ee pour les inversions non lin´eaires de type McMC qui peuvent s’affranchir de toutes informations a priori sur le mod`ele `a retrouver. Les courbes B-splines sont des fonctions polynomiales couramment utilis´ees pour d´ecrire les variations des param`etres sismiques avec la profondeur sans faire d’hypoth`eses concer-nant la stratification du milieu (Shapiro et Ritzwoller, 2002; Visser et al., 2008 ;Shen et al., 2012). Les fonctions polynomiales sont en accord avec la capacit´e de r´esolution des ondes de surface, connues pour ˆetre peu sensibles aux interfaces.
Les courbes de B´ezier (un cas particulier des courbes B-splines) ont ´et´e propos´ees pour leur grande facilit´e d’utilisation (Drilleau et al.,2013). Les courbes de B´ezier permettent de mod´eliser des profils vari´es avec peu de param`etres et sont donc adapt´ees pour les inversions de type McMC. Par cons´equent, cette ´etude utilise les courbe de B´ezier cu-biques pour d´ecrire les profils de vitesse en fonction de la profondeur.
Les courbes de B´ezier ont ´et´e initialement d´evelopp´ees pour mettre en ´equation des courbes lisses trac´ees `a la main dans l’industrie automobile (B´ezier, 1966, 1967). Aujourd’hui, elles sont tr`es r´epandues dans les logiciels de conception par ordinateur. La param´etrisation d’un profil de vitesse avec des courbes de B´ezier est sch´ematis´ee sur la figure4.5a. Ces courbes sont dites cubiques car chacune est d´efinie par un polynˆome de Bernstein de degr´e 3. La forme param´etrique d’une courbe de B´ezier s’´ecrit,
Cj(t) = Pj0(1 − t)3+ 3Pj1t(1 − t)2+ 3Pj2t2(1 − t) + Pj3t3, t ∈ [0, 1], (4.10)
Figure 4.5 : Param´etrisation des profils de vitesse en courbes de B´ezier. a) Trois courbes de B´ezier sont repr´esent´ees en bleu (C1), noir (C2) et violet (C3). Les points de d´efinition sont indiqu´es par les cercles noirs et les points de B´ezier par les ´etoiles rouges. Les vecteurs tangents locaux sont repr´esent´es en gris. b) Exemples de profils de vitesse mod´elis´es avec 6 (profils vert et rouge) et 4 points de B´ezier (profil noir). Tous les profils respectent les contraintesa priori pr´esent´ees dans la section 4.3.4.
la courbe passe seulement par Pj0 et Pj3, que l’on appellera les points de B´ezier. Les points Pj1 et Pj2, que l’on appellera les points de d´efinition, sont pr´esents pour donner une information sur la direction. Sur une courbe de B´ezier, chaque point de B´ezier est associ´e `a un point de d´efinition, d´efinissant ainsi des vecteurs tangents locaux. Sur la figure 4.5a, les points P10 et P11 d´efinissent le vecteur tangent local −−−−→
P10P11. La norme des vecteurs tangents locaux contrˆole le degr´e de lissage de la courbe. Une norme nulle revient `a r´ealiser une interpolation lin´eaire. La continuit´e entre deux courbes de B´ezier est assur´ee par une norme et une direction identique des deux vecteurs tangents locaux de part et d’autre d’un point de B´ezier commun aux deux courbes.
de B´ezier P13 et P20. La norme et la direction identiques des vecteurs tangents locaux −−−−→
P12P13et−−−−→
P20P21 permettent d’assurer une transition continue entre C1 et C2. Les choix concernant la norme et la direction des vecteurs tangents locaux sont d´etaill´es dans la section 4.3.4. Le d´eplacement d’un point de B´ezier modifie donc globalement la forme des courbes situ´ees de part et d’autre de ce point, qui peut ˆetre consid´er´e comme un point d’inflexion. Par cons´equent, l’utilisation de plus de deux courbes de B´ezier per-met de mod´eliser des variations ind´ependantes sur le profil de vitesse. L’´equation 4.10
d´ecrit les courbes de B´ezier en fonction de la variable t ∈ [0, 1]. Une interpolation de Cardan est utilis´ee pour r´esoudre cette ´equation et ainsi obtenir la valeur de la vitesse cisaillante pour une profondeur donn´ee. La figure 4.5b illustre la capacit´e des courbes de B´ezier `a mod´eliser des mod`eles simples en gradient (en noir) ainsi que des mod`eles plus complexes avec des variations de vitesse plus ou moins brutales (en vert et rouge). Plus le mod`ele est complexe, plus le nombre de points de B´ezier requis est important.
Les points de B´ezier sont les param`etres de l’inversion. La position de chaque point de B´ezier, d´ecrite par les coordonn´ees (Vs, Z), est donc ´echantillonn´ee al´eatoirement pendant le processus d’inversion McMC. `A chaque it´eration, le mod`ele de vitesse continu d´ecrit par la position des points de B´ezier est discr´etis´e tous les 2 km afin de pouvoir ˆetre utilis´e par la m´ethode de calcul du probl`eme direct (Herrmann,2013).