Fortran

Cr´e´e en 1954, Fortran est le plus ancien langage scientifique. Encore largement uti-lis´e, ce programme propose une biblioth`eque de programmes tr`es vaste. Les proc´edures utilis´ees pour le calcul des intercorr´elations, ainsi que pour de nombreuses applications pr´esent´ees dans le cadre de cette th`ese, ont ´et´e d´evelopp´ees en Fortran 95.

Chapitre 2

Intercorr´elation et ´emergence de la

fonction de Green empirique

La Terre ferait-elle autant de bruit pour rien ?

Sommaire

2.1 Condition d’´emergence de la fonction de Green empirique 36 2.2 Traitement dans le domaine temporel . . . 39 2.3 Traitement dans le domaine spectral . . . 41 2.4 Sommation temporelle et intercorr´elation moyenne . . . . 44 2.5 Comparaison des m´ethodes de normalisation temporelle . 45

La fonction de Green correspond `a la r´eponse impulsionnelle du milieu. Les pro-pri´et´es de la fonction de Green sont donc uniquement reli´ees aux propri´et´es du milieu travers´e.

Les travaux de Aki (1957) ont montr´e que les intercorr´elations du champ d’onde sismique ambiant enregistr´e par un r´eseau de sismom`etres peuvent ˆetre utilis´ees pour retrouver des informations sur le milieu. Les exp´eriences en acoustique men´ees par

Lobkis et Weaver (2001) ont montr´e la possibilit´e d’extraire la fonction de Green par corr´elation d’un champ d’onde diffus entre une paire de capteurs. Campillo et Paul

(2003) ont pr´esent´e l’application de cette m´ethode en utilisant la partie diffuse de la coda sismique. Shapiro et Campillo (2004) ont montr´e que l’intercorr´elation du si-gnal sismique continu enregistr´e `a deux capteurs est reli´ee `a la fonction de Green. De nombreuses applications en sismologie bas´ees sur l’intercorr´elation du champ d’onde sismique ambiant ont depuis vu le jour (p. ex Shapiro et al., 2005 ; Brenguier et al.,

2008 ;Lin et al.,2008 ; Poli et al., 2012).

Le champ d’onde sismique ambiant ´etant majoritairement constitu´e d’ondes de sur-face (p. ex.Schimmel et al.,2011), c’est ce type d’ondes qui est principalement observ´e dans les intercorr´elations. L’intercorr´elation ne contient donc pas la fonction de Green compl`ete, mais une approximation de celle-ci, couramment appel´ee fonction de Green empirique.

La reconstruction de la fonction de Green empirique par intercorr´elation n’est pos-sible que sous certaines conditions. Ce chapitre pr´esente les conditions d’´emergence de la fonction de Green empirique (section2.1).

Les m´ethodes de traitement classiquement utilis´ees pour se rapprocher de ces condi-tions sont d´ecrites dans les sections 2.2, 2.3, et 2.4.

La section2.5 pr´esente une ´etude comparative de deux techniques de normalisation des amplitudes temporelles utilis´ees pour l’´emergence de la fonction de Green empirique.

2.1 Condition d’´emergence de la fonction de Green

empirique

La reconstruction de la fonction de Green empirique par intercorr´elation est forte-ment d´ependante de la position des sources situ´ees autour de la paire de capteurs (p. ex.

Campillo, 2006).

La figure 2.1 pr´esente une exp´erience synth´etique montrant l’influence de la posi-tion des sources sur les r´esultats de l’intercorr´elation (Bou´e, 2013). Les sources sont positionn´ees r´eguli`erement sur un cercle entourant deux capteurs A et B s´epar´es par une distance ∆ (figure 2.1a). Seule la reconstruction des ondes de surface est ´etudi´ee. Le milieu est homog`ene, de vitesse V . La position de chaque source est donn´ee par une valeur d’azimut θ. Un azimut nul correspond `a une source align´ee avec les deux r´ecepteurs, du cˆot´e de la station A.

Pour une source situ´ee `a θ = 0<sup>◦</sup> (cas 1, figure2.1), une onde de surface est observ´ee dans l’intercorr´elation `a un d´ecalage en temps positif ´egal `a ∆/V . Cette onde correspond `

a l’onde de surface qui serait enregistr´ee `a la station B si une source ´etait plac´ee `a la station A. L’onde de surface reconstruite dans la corr´elation correspond `a la partie causale de la fonction de Green empirique. R´eciproquement, pour une source situ´ee `a θ = 180^◦ (non montr´e), une onde de surface est observ´ee pour un d´ecalage en temps n´egatif ´egal `a −∆/V . L’onde de surface reconstruite dans la corr´elation correspond `a la partie anticausale de la fonction de Green empirique.

Dans le cas o`u les sources sont r´eparties uniform´ement entre 0<sup>◦</sup> et 360<sup>◦</sup> d’azimut (cas 2, figure 2.1), des ondes de surface sont observ´ees dans l’intercorr´elation `a des d´ecalages en temps positifs (∆/V ) et n´egatifs (−∆/V ). Une distribution uniforme des sources autour des capteurs revient `a consid´erer un champ d’onde isotrope. Dans ces conditions, les parties causales et anticausales de la fonction de Green empirique sont retrouv´ees dans l’intercorr´elation. Seules les sources situ´ees selon une direction proche de l’alignement des deux stations contribuent de mani`ere constructive `a la reconstruction de la fonction de Green (p. ex. Roux et al., 2005).

Pour une source situ´ee `a θ = 45<sup>◦</sup>, une onde de surface est observ´ee dans l’inter-corr´elation `a un d´ecalage en temps positif inf´erieur `a ∆/V (cas 3, figure 2.1). Cette onde ne correspond donc pas `a la fonction de Green empirique.

Figure 2.1 : Exp´erience synth´etique illustrant l’influence de la position des sources sismiques sur l’intercorr´elation (figure modifi´ee d’apr`es Bou´e, 2013). a) Configuration de l’exp´erience. Les triangles indiquent les positions des stations. Les portions de cercle color´es indiquent la position des sources sismiques utilis´ees pour le calcul de l’inter-corr´elation. b) R´esultats des intercorr´elations.

Cette exp´erience montre que la pr´esence d’un champ d’onde istotrope est favo-rable `a l’´emergence de la fonction de Green empirique (cas 2, figure 2.1), tandis que la pr´esence d’un champ d’onde anisotrope ne favorise pas la reconstruction de la fonction de Green empirique par intercorr´elation (cas 3, figure2.1), sauf dans le cas o`u la direc-tion d’´energie incidente est dans l’alignement des stations (cas 1, figure 2.1).

Dans la r´ealit´e, le milieu n’est pas homog`ene, et la diffraction des ondes li´ee `a la pr´esence d’h´et´erog´en´eit´es peut permettre d’isotropiser le champ d’onde, notamment `a

courtes p´eriodes (T < 10 s) (p. ex. Campillo, 2006). Cependant, les sources de bruit microsismique oc´eanique, qui contribuent majoritairement au champ d’onde sismique ambiant entre 1 et 50 s de p´eriode, sont relativement ponctuelles et tr`es h´et´erog`enes en amplitude (p. ex.Land`es et al.,2010;Hillers et al.,2012;Stutzmann et al.,2012). Par ailleurs, les ondes balistiques g´en´er´ees par les s´eismes sont `a l’origine de flux d’´energie tr`es directionnels de forte amplitude.

Par cons´equent, des m´ethodes de traitement du signal adapt´ees doivent ˆetre mises en œuvre sur les donn´ees r´eelles pour minimiser l’influence des sources dominantes. Il existe deux ´etapes de traitement principales qui sont d´etaill´ees dans les prochaines sections :

– homog´en´eisation des amplitudes dans le domaine temporel (section2.2) et spectral (section 2.3)

– moyenne temporelle sur une longue p´eriode d’observation (section 2.4)