Synth` ese des travaux de th` ese

Dans cette th`ese, nous avons adress´e le probl`eme de construction de quarts avec les pr´ef´erences des employ´es sous quatre angles diff´erents.

8.1.1 Fonction de retour

Dans un premier temps, nous nous sommes int´eress´es aux strat´egies non-honnˆetes que les employ´es peuvent ˆetre amen´es `a suivre. Ceci nous a amen´e `a une jolie et puissante nouvelle perspective sur la th´eorie des jeux. Au lieu de nous concentrer sur les strat´egies des em- ploy´es comme cela est fait classiquement, nous avons r´ev´el´e la pertinence d’un nouvel objet math´ematique que nous avons appel´e la fonction de retour.

Cette fonction de retour a la capacit´e de parfaitement remplacer les strat´egies dans la description des jeux, notamment parce que la correspondance de meilleure r´eponse dans l’espace des strat´egies est naturellement associ´ee `a une correspondance de meilleure r´eponse dans l’espace des fonctions de retour. Il est tout aussi important que les ´equilibres de Nash des strat´egies correspondent aussi naturellement aux ´equilibres de Nash des fonctions de retour. Si les fonctions de retour sont toutes aussi ad´equates pour d´ecrire th´eoriquement les jeux, elles ont aussi et surtout l’avantage de bien mieux se prˆeter aux calculs informatiques. En particulier, elles sont naturellement adapt´ees `a la dynamique du fictitious play, et `a des jeux o`u l’effet des actions des joueurs sur les utilit´es des autres est indirect. D’un point de vue conceptuel, les fonctions de retour permettent aussi de justifier le concept d’´equilibre de Bayes-Nash, dont la difficult´e vient de la non-observabilit´e des strat´egies des autres. Au contraire, les fonctions de retour sont des objets construits `a partir d’informations qui sont accessibles aux joueurs.

Dans le premier axe de recherche, nous avons aussi fourni des r´esultats num´eriques pour d´emontrer l’utilit´e des fonctions de retour d’un point de vue plus pratique. Ces r´esultats

d´ecrivent les ´equilibres de Bayes-Nash d’un partage de gˆateau, qui auraient ´et´e tr`es difficile `

a obtenir sans passer par l’´etude et l’impl´ementation des fonctions de retour.

Enfin, nous avons ´egalement proc´ed´e `a une preuve th´eorique de la convergence d’une dynamique de meilleures r´eponses dans l’espace des fonctions de retour, malgr´e des erreurs cumulatives dans leurs approximations algorithmiques. Cette preuve exploite la structure topologique naturelle que l’on peut fournir `a l’espace des fonctions de retour.

8.1.2 Optimisation heuristique des m´ecanismes

La fonction de retour est un nouvel outil formidable pour calculer les ´equilibres de Bayes- Nash qui nous ´etaient inaccessibles jusque l`a. Arm´es de ce nouvel objet, nous pouvons d´e- sormais pousser plus loin les fronti`eres de la th´eorie de la conception de m´ecanismes. En particulier, nous pouvons d´esormais exploiter la pleine puissance du principe de r´ev´elation. Ce principe assure que, pour peu que l’on puisse calculer un ´equilibre de Bayes-Nash, on peut syst´ematiquement construire un m´ecanisme `a ´equilibre honnˆete `a partir de n’importe quel m´ecanisme.

Ceci nous a conduit `a un algorithme d’optimisation heuristique de m´ecanismes. Cet algo- rithme consiste `a parcourir un espace de m´ecanismes param´etr´es, `a calculer leurs ´equilibres de Bayes-Nash et `a appliquer le principe de r´ev´elations. C’est ainsi que l’on parcourt un espace de m´ecanismes param´etr´es `a ´equilibres honnˆetes. On propose alors d’optimiser les param`etres.

Dans le second axe de recherche, nous avons appliqu´e ces id´ees `a un probl`eme de partage de gˆateau. Nous avons d’abord montr´e que la rationalit´e des agents conduit `a une nette sous- optimalit´e du partage de gˆateau pour le m´ecanisme id´eal con¸cu pour des agents honnˆetes. En effet, pour ce m´ecanisme id´eal, les strat´egies des agents `a l’´equilibre de Bayes-Nash les conduisent `a biaiser le jeu `a tel point que les agents sans pr´ef´erences marqu´ees y perdent beaucoup compar´e aux autres.

Pour rectifier le tir, nous avons point´e le fait que, lorsqu’ils jouent le m´ecanisme id´eal, les agents ont int´erˆet `a annoncer des pr´ef´erences moins marqu´ees que leurs vrais pr´ef´erences le sont. Par exemple, si un agent adore le chocolat et d´eteste la vanille, il a int´erˆet `a dire qu’il pr´ef`ere seulement l´eg`erement le chocolat `a la vanille. Pour battre l’agent `a son propre jeu, nous avons propos´e de modifier le m´ecanisme id´eal et de donner `a l’agent un ratio chocolat sur vanille comparable `a sa pr´ef´erence relative du chocolat par rapport `a la vanille.

En utilisant cette remarque, nous avons construit des m´ecanismes de bien meilleure qua- lit´e, tout en ´etant `a ´equilibre honnˆete. Les r´esultats incluent des am´eliorations de l’ordre de 10 `a 15 %.

8.1.3 Nouvelles d´efinitions de l’´equit´e

En troisi`eme lieu, nous nous sommes int´eress´es `a la probl´ematique de l’´equit´e. En nous inspirant des d´efinitions fournies dans le cadre du partage de gˆateau, nous avons introduits de nouvelles normalisations des fonctions d’utilit´e des joueurs, qui reposent sur des principes philosophiques plus convaincants.

De mani`ere traditionnelle, les fonctions d’utilit´e sont souvent normalis´ees par valeurs extrˆemes. Par exemple, dans le partage du gˆateau, il est classique de consid´erer que l’utilit´e de ne pas avoir de gˆateau (qui est alors minimale) est 0, tandis que l’utilit´e d’avoir tout le gˆateau (qui est alors maximale) est 1. Toutefois, il n’est pas clair qu’une telle normalisation repose sur des fondations raisonnables.

A contrario, dans le troisi`eme axe de recherche, nous avons introduit une nouvelle nor- malisation qui repose sur la comparaison du bien de chacun avec les biens des autres. Plus pr´ecis´ement, chaque joueur per¸coit les biens des autres `a travers sa fonction d’utilit´e, ce qui nous fournit une distribution des utilit´es de ce joueur pour les biens des autres. C’est `a cette distribution que le joueur compare son utilit´e pour son bien. L’utilit´e normalis´ee socialement compte `a combien d’´ecart-types au-dessus de la moyenne se trouve l’utilit´e (non-normalis´ee) du joueur. Cette d´efinition g´en´eralise bien les concepts d’´equit´e sans-jalousie et d’´equit´e pro- portionnelle, qui compare uniquement l’utilit´e (non-normalis´ee) du joueur au maximum et `a la moyenne de la distribution.

Nous avons ensuite pouss´e nos id´ees de normalisation plus loin, en incluant un r´eseau social qui dicte les interactions entre les individus. En effet, nous faisons la remarques que les individus ont tendance `a se comparer avec ceux avec qui ils interagissent. Ceci nous am`ene aux concepts d’´equit´e locale, selon lesquels les individus ne se comparent qu’`a ceux `a qui ils sont li´es dans le r´eseau social. En particulier, la normalisation sociale locale diff`ere de la normalisation sociale, en consid´erant la distribution des utilit´es d’un individu pour les biens des autres pond´er´ee par les liens sociaux entre l’individu et les autres.

Ces utilit´es normalis´ees nous ont ensuite amen´e `a d´efinir des mesures d’injustice sociale. Pour ce faire, pour chaque individu, on d´efinit son potentiel `a se plaindre comme une fonction d´ecroissante et convexe de son utilit´e normalis´ee. Puis on compare ce potentiel, au poten- tiel moyen `a se plaindre des individus de son voisinage. La partie positive de la diff´erence entre ces deux termes d´efinit ensuite le sentiment d’injustice de l’individu, et la moyenne de ces sentiments d’injustice d´efinit notre mesure d’injustice sociale. C’est celle-ci que nous proposons de minimiser.

8.1.4 Construction de quarts avec pr´ef´erences

Enfin, dans un quatri`eme et dernier temps, nous nous sommes int´eress´es au probl`eme de la construction de quarts avec les pr´ef´erences des employ´es sur un horizon d’une semaine. D’un point de vue algorithmique, nous avons propos´e une m´ethode en deux ´etapes. La premi`ere a deux fonctionnalit´es. D’abord, elle calcule le coˆut minimal du probl`eme de construction d’horaires. Ensuite, elle g´en`ere de nombreuses colonnes prometteuses pour la seconde phase. La seconde phase maximise alors le surplus collectif en combinant les colonnes g´en´er´ees et en respectant la contrainte selon laquelle le coˆut des quarts avec pr´ef´erences ne doit pas exc´eder d’un faible pourcentage le coˆut minimal sans pr´ef´erences.

Par ailleurs, nous avons introduit un dispositif fond´e sur le logiciel MACBETH pour d´e- crire les pr´ef´erences des employ´es. Ce dispositif repose sur une d´ecomposition multi-attributs des fonctions d’utilit´e. Nous avons ainsi propos´e une telle d´ecomposition avec pour attributs le nombre d’heures travaill´ees, les jours de cong´e, l’activit´e de travail et les p´eriodes de journ´ee travaill´ees.

La principale avanc´ee propos´ee par ce dernier axe de recherche concerne la normalisation des fonctions d’utilit´e multi-attributs. Celle-ci exploite la normalisation sociale corr´el´ee des fonctions d’utilit´e partielles associ´ees aux attributs. Cette normalisation est un cas particulier de normalisation sociale locale, o`u le r´eseau social est construit `a partir des corr´elations entre les pr´ef´erences des diff´erents individus.

Par ailleurs, la normalisation multi-attribut inclut une normalisation des poids qui, de fa¸con inhabituelle, ne correspond pas `a les sommer `a une constante. La normalisation des poids que nous avons propos´ee repose sur les fonctions dites d’utilit´e standard ψk. Celles-ci

sont des descriptions de la relation entre les poids et les utilit´_{es partielles. La « bonne »} normalisation consiste alors `a sommer les utilit´es partielles pond´er´ees et attendues wkψk(wk)

`

a une constante.

Nous avons montr´e la pertinence de notre approche `a la fois avec l’exemple conceptuel du busy Christmas, et avec des r´esultats num´eriques convaincants. En plus d’une meilleure optimisation du surplus collectif, nous avons montr´e que, en bonus, la maximisation des utilit´es normalis´ees conduisaient `a une meilleure ´equit´e entre les employ´es.