Supposons un r´egulateurK(z−1) de la boucle ferm´ee satisfaisant des
sp´e-cifications sur la robustesse pour le mod`ele ´echantillonn´eG(z−1) du proc´ed´e
(voir Fig.6.1). Consid´erons aussi des sp´ecifications de performance en
pour-suite qui ne sont pas assur´ees par K(z−1). L’objectif est de trouver une
matrice de transfert T(z−1) telle que les sp´ecifications soit satisfaites. La
proc´edure de la synth`ese est la suivante :
1. Transformation de sp´ecifications - Pour appliquer l’optimisation con-vexe, il faut transformer les sp´ecifications de poursuite en fonctions crit`ere d’objectif et de contrainte. Les ´el´ements n´ecessaires `a d´eterminer sont :
– Mod`ele de poursuite Mt(z−1) - Il exprime les performances d´esir´ees
en poursuite. G´en´eralement, la forme (6.5) est utilis´ee o`u les fonctions
de transfert diagonales sont les fonctions du 1er ou 2e ordre.
– Gabarits - Il est possible de sp´ecifier les gabarits fr´equentiels pour les fonctions crit`ere (6.23), (6.24). En gros, cela va r´eduire le gain du
pr´e-compensateur dans des zones de fr´equences o`u le gabarit est bas.
– Fonctions crit`ere - Il faut d´efinir quelles fonctions crit`ere sont consi-d´er´ees pour l’optimisation. Nous poss´edons des fonctions suivantes :
– Fonction crit`ere g´en´erale φG(X) - Pour optimiser les performances
en poursuite d´efinies par le mod`ele de poursuiteMt(z−1), il est
pos-sible d’utiliser la fonction du crit`ere g´en´eral (6.9), o`u l’interaction
– Fonction crit`ere d’une fonction de BFφv1v2t(X) - L’autre choix est d’appliquer un ensemble des fonctions crit`ere d’un ´el´ement (6.15) permettant d’optimiser les fonctions diagonales et non-diagonales
s´epar´ement. Pour les deux cas il faut sp´ecifier la constanteγ
n´ece-ssaire surtout si la fonction crit`ere est la contrainte.
– Fonction crit`ere du gain φg(X) - La fonction crit`ere (6.17) peut
ˆetre utilis´ee pour garantir un gain statique d´esir´e (g´en´eralement
c’estIny) o`u la constante γ donne la diff´erence permise (n´ecessaire
si la fonction est une des contraintes).
– Fonctions crit`ere de robustesse φer(X), φur(X) - Les fonctions
(6.23), (6.24) peuvent sp´ecifier la robustesse d´esir´ee.
– Fonctions d’objectif/contrainte - Il faut d´ecider quelles fonctions cri-t`ere sont consid´er´ees comme objectif et quelles comme la contrainte dans l’algorithme d’optimisation.
– Coefficients de pond´eration - La fonction (5.69) est utilis´ee comme une fonction multi-crit`ere, ainsi il faut sp´ecifier les coefficients de
pond´eration αij.
2. Choix de param`etres d’optimisation - Les param`etres d’optimisation sont des param`etres li´es `a l’algorithme d’optimisation et `a la param´e-trisation du pr´e-compensateur. Il s’agit de :
– Ordre de param´etrisationNt- Il d´epend de la complexit´e du probl`eme,
comme dans l’optimisation du r´egulateur en BF, et il d´etermine
l’ordre de la matrice T(z−1). En g´en´eral, la valeur initiale estNt= 1
et elle est augment´ee si les r´esultats sont insatisfaisants.
– Param`etres d’algorithme ellipso¨ıde - Les param`etres de l’algorithme
d’optimisation elipso¨ıde A, dx, centre initial, le crit`ere d’arrˆete, et le
nombre maximal d’it´eration doivent ˆetre choisis.
3. Optimisation - L’optimisation est effectu´ee et les r´esultats sont ana-lys´es. Si les performances du syst`eme ne sont pas satisfaisantes il faut revenir au pas 1 ou 2 et modifier les sp´ecifications selon l’analyse des r´esultats.
6.6 Notes et r´ef´erences
R´ef´erences : La synth`ese de pr´e-compensateur SISO par l’optimisation convexe est partiellement trait´ee dans [Lan98] pour le cas monovariable. Dans [Lan02] elle est effectu´ee par l’analyse de la boucle ferm´ee (voir le Chapitre 2). Les deux m´ethodes calculent s´epar´ement le r´egulateur de BF et le pr´e-compensateur. Dans le domaine multivariable, le pr´e-compensateur est
typiquement calcul´e par la commandeH∞. Dans ce cas, le pr´e-compensateur
est optimis´e simultan´ement avec le r´egulateur en boucle ferm´ee avec le crit`ere (6.6) [LKP93, PP01]. Une autre m´ethode de synth`ese de pr´e-compensateur est la commande optimale [Yj85].
Fichiers et logiciels : Les m-fonctions programm´ees pour la commande
est l’analyse des syst`emes MIMO sont dans le r´epertoire \M functions\
(pour la description voir le fichier Contents.m). La figure Fig.6.2 est
en-registr´ee sous format de Matlab dans le dossier :\\Figures\. Le fichier
cor-respondant est track specif.fig.
References : The SISO pre-compensator design is partially treated in [Lan98], in [Lan02] the design is obtained from closed loop analysis (see also Chapter 2). Both methods compute separately the closed-loop controller and pre-compensator. In the multivariable domain, the pre-compensator is typi-cally computed byH∞ control. In this case, the pre-compensator is optimi-zed simultaneously with the closed-loop controller using the criterion (6.6) [LKP93, PP01]. Another pre-compensator design method is optimal control [Yj85].
Files and software : Some programmed m-functions for MIMO system control and analysis are in the subdirectory \M functions\ (for the m-functions description seeContents.m). The figure Fig. 6.2 is saved in Matlab format in the directory :\\Figures\. The corresponding file is
Chapitre 7
R´eduction de r´egulateur par
identification en boucle ferm´ee
Dans ce chapitre une nouvelle proc´edure pour la r´eduction de r´egulateurs num´eriques SISO et MIMO est pr´esent´ee. Elle est bas´ee sur l’identification en boucle ferm´ee et sur la pond´eration fr´equentielle. L’id´ee principale vient de la m´ethode de r´eduction de r´egulateurs SISO par identification en boucle ferm´ee [LKC01]. Il s’agit d’un algorithme d’identification en boucle ferm´ee modifi´e qui permet d’identifier le r´egulateur r´eduit en boucle ferm´ee `a partir du mod`ele ´echantillonn´e du proc´ed´e, du r´egulateur complexe (nominal) et d’une s´equence de signal d’excitation. Dans la technique d´evelopp´ee ici, l’algorithme d’identification de sous-espaces [vOM96, Fav99] est employ´e pour identifier le r´egulateur r´eduit utilisant les mˆeme ´el´ements : le mod`ele, le r´egulateur, et la s´equence d’excitation. En plus, d’autres algorithmes d’identification MIMO peuvent ˆetre utilis´ees `a la place de la m´ethode de sous-espaces, car la tech-nique d´evelopp´ee utilise l’algorithme d’identification sans modification. In this chapter a new simple SISO and MIMO controller reduction procedure is presented. It is based on closed-loop identification and on frequency weigh-ting. The basic idea comes from SISO closed-loop based controller reduction technique [LKC01]. It is in fact modified recursive least squares identification
algorithm allowing to identify reduced controller in closed loop from discrete-time plant model, complex controller, and excitation signal sequence. In the developed technique, a sub-space identification algorithm [vOM96, Fav99] is employed to identify reduce controller from the same elements : model, controller, and excitation sequence. Moreover, other MIMO identification algorithms can be used instead of sub-space method, since the developed technique use the identification algorithm without any modification.
7.1 Identification en boucle ferm´ee - rappel
Dans cette section nous rappelons deux proc´edures similaires de l’identi-fication des mod`eles de proc´ed´e en boucle ferm´ee. Bas´e sur ces proc´edures, nous allons d´evelopp´e une technique de r´eduction de r´egulateurs dans la sec-tion suivante.
Consid´erons un proc´ed´e continu et un r´egulateur num´eriqueK(z−1)
con-nect´e en boucle ferm´ee comme dans la Fig.7.1. Les sensibilit´es consid´er´ees
de cette boucle ferm´ee sont : Syp, Sup, Syb, et Syd et elles sont d´efinies par
(3.13)-(3.17). Pour obtenir un mod`ele ´echantillonn´e G(z−1) du proc´ed´e, le
proc´ed´e va ˆetre identifi´e en boucle ferm´ee.
Fig. 7.1 – Boucle ferm´ee consid´er´ee
La premi`ere proc´edure de l’identification en boucle ferm´ee d´ecrite ici est utilis´ee depuis longtemps. Elle peut ˆetre d´ecrit par le sch´ema dans la Fig. 7.2 a) et elle comporte les ´etapes suivantes :
1. Connecter le r´egulateur K en boucle ferm´ee de la mˆeme fa¸con comme
2. Ajouter un signal ext´erieur d’excitation persistante1 r(t) ou d(t) (les
signaux b(t) et p(t) ne sont pas consid´er´es car ils ont le mˆeme effet
commer(t)). Le signal d’excitation est g´en´eralement consid´er´e d’avoir
une forme de SBPA qui a la caract´eristique du bruit blanc.
3. Faire l’acquisition des donn´ees des signaux u(t), ety(t) (entr´ee et sortie
du proc´ed´e).
4. Appliquer un algorithme d’identification en boucle ouverte sur les do-nn´ees acquises et identifier le nouveau mod`ele. Parmi d’autres nous pouvons utiliser les algorithmes suivants :
– L’identification de sous-espace [vOM96, Fav99] (Sub-space identifi-cation) - elle appartient aux m´ethodes d’identification multivariable les plus efficaces. L’identification est effectu´ee par les op´erations g´eo-m´etrique (projections oblique) sur les entr´ees et les sorties acquises. En plus, cette m´ethode permet de pond´erer `a droite et `a gauche le mod`ele identifi´e.
– L’identification par les moindres carr´es r´ecursifs (MCR) [Lan78] ou [Duo93] (recursive least-square identification) - elle est d´evelopp´ee `a partir de l’identification classique SISO, voir par exemple [Lan02]. Le carr´e de l’erreur entre la sortie r´eelle et la sortie pr´edite par le mod`ele identifi´e est minimis´e dans cette m´ethode.
Si l’algorithme d’identification utilis´e est le MCR multivariable [Lan78],
le mod`ele identifi´e ˆGest ajust´e selon l’erreur des sortiesεyr(t) d´efini, en gros,
comme suit :
εyr(t) = (y(t)−yˆ(t)) =³PrK(I+PrK)−1−GKˆ (I+PrK)−1´
r(t) (7.1)
o`u terme P r remplace le proc´ed´e r´eel (la notation de l’op´erateur z−1 est
supprim´ee). A noter aussi qu’en r´ealit´e l’estimation ˆy(t) est calcul´e `a partir
de y(t −1), y(t−2), ... et non `a partir de ˆy(t−1), ˆy(t−2), ... Le crit`ere
1
Pour la d´efinition du signal d’excitation persistante voir par exemple [vOM96]. Ce si-gnal permet d’exciter le proc´ed´e de telle fa¸con que le sisi-gnal de sortie contient suffisamment d’information pour d´ecrire le proc´ed´e.
Fig. 7.2 – Deux types de l’identification en boucle ferm´ee
d’identificationJ(t) `a minimiser a la forme suivante :
J(t) = 1 t t X i=1 |εyr(i)|2 = 1 t t X i=1 |εyr(i)||εTyr(i)| (7.2)
avecJ(t) minimis´e dans chaque pas de l’identification en ajustant ˆG.
Remarque 7.1 : A noter que l’entr´ee du proc´ed´euG(t) est un signal d’exci-tation du proc´ed´e qui est filtr´e par la boucle ferm´ee, c’est-`a-dire par les sensibilit´es de la boucle ferm´ee.
L’autre m´ethode de l’identification en boucle ferm´ee qui est plus efficace (en particulier en pr´esence du bruit) a ´et´e d´evelopp´ee pour les syst`emes SISO [LK97]. Elle est bas´ee sur l’algorithme d’identification de MCR modifi´e pour l’identification en boucle ferm´ee. La Fig. 7.2 b) pr´esente cette technique. Le principe d’identification est le mˆeme comme dans la m´ethode pr´ec´edent, seule
l’estimation de la sortie du mod`ele ˆy(t) est calcul´ee diff´eremment. L’erreur
des sorties devient :
εyr(t) = (y(t)−yˆ(t)) = ³PrK(I +PrK)−1−GKˆ (I+ ˆGK)−1´
r(t) (7.3)
Remarquons que cette erreur repr´esente pr´ecis´ement l’´ecart entre la boucle ferm´ee r´eelle et la boucle ferm´ee en simulation. Nous n’utiliserons pas cette
2e approche dans le cas multivariable.