Le contexte économique, particulièrement en Europe, montre l’intérêt croissant porté sur le transport ferroviaire, et implique à la fois une augmentation de la demande, du nombre d’acteurs présents sur le marché et du matériel circulant sur l’infrastructure. L’estimation de la capacité est devenu en conséquence une donnée cruciale dans les négociations entre exploitants et gestionnaires.
La capacité est une notion complexe à définir, prenant en compte un grand nombre de contraintes opérationnelles et pouvant être mesurée par divers indicateurs. Nous avons choisi de privilégier la mesure de la capacité par un nombre de trains pouvant circuler pendant une période temporelle fixée, telle que défini par Hachemane [34].
De nombreuses méthodes de calcul ont été développées, parmi lesquelles les méthodes par construc- tion d’horaire utilisant des algorithmes d’optimisation autorisent la prise en compte de données précises, et conséquemment une estimation de capacité plus précise que pour les autres types d’approche. Les méthodes sont dédiées soit à l’échelle microscopique soit à l’échelle macroscopique. Peu d’études visant à obtenir une estimation de capacité ont été réalisée à l’échelle microscopique : CAPRES et MOM se situent à échelle macroscopique, et STATIONS se focalise sur le problème de faisabilité. En outre, la méthode générique proposée par l’UIC [75] n’est pas adaptée non plus, et ne fournit que peu d’éléments pour l’implémentation de méthodes plus spécifiques.
Les travaux présentés par Libardo et al. [41] présentent une méthode d’estimation de capacité à échelle microscopique, mais ne prennent pas en compte certaines données cruciales de la demande. La plateforme RECIFE PC, développée à partir des travaux de Delorme [20, 21] et Gandibleux et al. [32, 33] permet quant à elle la prise en compte de détails supplémentaires au sein de la demande de trafic. La combinatoire est toutefois une barrière importante pour le traitement des instances de grande taille modélisant une situation réelle avec un bon niveau de précision, entraînant des temps de résolution extrêmement longs.
Il est en conséquence nécessaire de développer des méthodes appropriées pour répondre à ce prob- lème. De telles méthodes peuvent être construites en se basant sur une modélisation sous forme de prob- lème de PLNE, et plus précisément de Set Packing Problem (SPP), permettant ensuite l’application de techniques algorithmiques adaptées à de telles formulations. Le prochain chapitre introduit donc les no- tions mathématiques nécessaires autour de la résolution de problèmes de PLNE, formalise le SPP et détaille la modélisation que nous privilégions pour la résolution, à savoir une modélisation dite par dis- jonction de ressources.
Type de ligne Heure de pointe Trafic normal
Trafic dédié intra-agglomération 85% 70%
LGV dédiée 75% 60%
Ligne à trafic mixte 75% 60%
CHAPITRE
3
Formalisations autour
de la disjonction de
ressources
Le chapitre précédent a permis de mettre en valeur de nombreuses approches existant dans la lit- térature pour réaliser des études de capacité d’infrastructures ferroviaires. Bien qu’aucune ne satisfasse pleinement nos besoins, certaines apportent des avancées très intéressantes dans le traitement du prob- lème de capacité. Les méthodes les plus précises se basent sur des modèles et algorithmes d’optimisation mathématique. Plus précisément, les approches présentées par Libardo et al. [41], Delorme et al. [20, 21], Gandibleux et al. [32, 33] et Lusby et al. [46] pour des études à échelle microscopique ont en commun l’utilisation de la programmation linéaire en nombres entiers (PLNE), technique issue du domaine de la recherche opérationnelle.Forts de ces constats, nous utilisons également la PLNE comme outil de modélisation et de résolution du problème de saturation. Ce second chapitre présente donc un aperçu de la PLNE en introduisant le vocabulaire et les notations nécessaires. Résoudre un problème de PLNE non trivial se fait souvent en ayant recourt à ce qu’on appelle sa relaxation continue : celle-ci est définie et un aperçu de ses propriétés est donné. Un algorithme de résolution classique pour de tels problèmes, l’algorithme dit du simplexe, est ensuite résumé et un aperçu des fondements théoriques sur lesquels ils se base est donné. Nous nous penchons ensuite sur les notions principales à connaître autour des techniques de résolution exacte de problèmes de PLNE, et plus précisément sur l’encadrement de la valeur optimale d’un problème de PLNE à l’aide de diverses méthodes, visant in fine à déterminer cette valeur optimale.
La modélisation PLNE que nous utilisons pour le problème de saturation – le Set Packing Problem (SPP) – est ensuite détaillée et expliquée, notamment en proposant une présentation d’études théoriques précédemment réalisées et portant sur sa structure. Une fois les bases essentielles concernant le SPP posées, les données ferroviaires (demande de trafic, infrastructure, etc.) sont formalisées, ce qui nous permet ensuite de lier ces données à une formulation SPP. Plus exactement, deux formulations issues de la littérature sont présentées et leurs qualités respectives en vue de leur résolution sont discutées. Nous choisissons finalement une formulation SPP, dite par disjonction de ressources, au vu des qualités qu’elle possède.
Certaines propriétés de la formulation SPP dépendent directement des instances traitées. De ce fait, la méthode de résolution ne peut être conçue pertinemment qu’en ayant connaissance des instances, et plus précisément des propriétés numériques des instances SPP qu’elles engendrent. Ainsi, le chapitre se termine par la présentation des instances que nous traitons, d’abord en termes ferroviaires puis sous l’angle purement mathématique. La génération des instances que nous traitons est réalisée en faisant
varier trois paramètres précis, permettant à la fois d’obtenir une large variété d’instances tout en se dotant de repères pour l’analyse des résultats.
3.1 Contexte de la programmation linéaire en nombres entiers . . . 28