Synthèse des résultats

Les heuristiques proposées pour la résolution du problème d'optimisation traité dans ce chapitre sont de deux types. Les premières, détaillées dans la partie 4.3.1, sont des heuristiques dites constructives. Elles débutent avec une solution vide, qu'elles améliorent de façon itérative jusqu'à ce qu'une solution complète soit trouvée. Les résultats obtenus avec ces heuristiques (H RAND, HNAIVE, HLRF, HHTF, HDP) sont dans la plupart des cas relativement proches de la borne supérieure, mais peuvent encore être améliorés. Une amélioration a donc été proposée via l'étape de réparation, qui correspond à une heuristique d'amélioration. Cette dernière débute avec une solution initiale complète, qu'elle tente d'améliorer de façon itérative et de manière

4.4 Résultats de simulation 89

déterministe [85]. L'étape de réparation permet d'obtenir de solutions plus proches de l'optimal, avec toutefois un temps de calcul potentiellement plus grand que pour les heuristiques sans réparation.

Les résultats développés dans les parties précédentes montrent qu'il n'est pas nécessaire de dénir des heuristiques complexes pour obtenir des ordonnancement ecaces pour des charges faibles. En comparaison avec les autres heuristiques, les heuristiques les plus simples, HRAND et HNAIVE, permettent en eet d'obtenir de bons résultats pour des charges χ inférieures ou égales à 40%. Des heuristiques plus sophistiquées sont toutefois nécessaires pour des charges plus fortes, pour lesquelles une sélection trop basique des machines à utiliser n'est pas assez able compte tenu de l'objectif. Pour ces heuristiques appliquant des stratégies d'ordonnancement plus complexes, il a été montré que HHTF est plus performante pour des charges faibles, alors que HLRF donne de meilleurs résultats pour des charges élevées, lorsque plusieurs prols de fonctionnement sont considérés. HDP est globalement ecace pour toutes les congurations.

L'heuristique HDP a été dénie de telle sorte que la surproduction soit minimisée à chaque période de l'ordonnancement. Cet objectif est respecté, puisque quasiment aucune surproduction n'est eectuée lorsque cette heuristique est utilisée, notamment pour les charges faibles. Cet objectif ne semble toutefois pas être le meilleur à suivre, puisque les ordonnancements générés avec l'heuristique HNAIVE atteignent dans certains cas des horizons de production plus grand alors qu'ils génèrent beaucoup plus de surproduction.

Même si HHTF est moins ecace que HDP dans la plupart des cas, létape de réparation permet de mettre les deux heuristiques à égalité en termes d'horizon de production atteint. Avec la réparation, HHTF-R est en eet aussi ecace que HDP-R. L'heuristique HHTF-R présente de plus l'avantage d'être moins gourmande en temps de calcul. Les temps de calcul augmentent avec la charge χ pour toutes les heuristiques, mais de grandes diérences peuvent être constatées suivant la stratégie appliquée. Avec m = 25 machines et n = 5 prols de fonctionnement, les heuristiques gloutonnes (HLRF et HHTF) dénissent des ordonnancements en moins de 20 ms1, alors que la programmation dynamique (HDP) a besoin de 4 min en moyenne. Avec l'étape de réparation, les temps de calcul de HLRF-R et HHTF-R passent respectivement à 40 ms et 80 ms. Les temps de calcul requis par HDP-R atteignent 7 min en moyenne.

Lors du processus de réparation, les machines ajoutées à la place des machines récupérées dans l'ordonnancement initial sont utilisées avec leur prol de fonctionnement le plus sous- nominal possible. Cela permet de maximiser leur durée d'utilisation résiduelle avant maintenance et donc le nombre de fois pour lequel elles peuvent être échangées et/ou utilisées pour des périodes additionnelles. Dans les ordonnancements obtenus avec toutes les heuristiques avec réparation, même avec HHTF-R, les machines sont donc la plupart du temps utilisées avec un prol de fonctionnement sous-nominal. Ces ordonnancements ayant des horizons de production plus longs que ceux obtenus en ne considérant que les prols nominaux, cela montre l'intérêt d'utiliser les machines avec diérents prols de fonctionnement.

1. Les simulations ont été eectuées en Java sur le Mésocentre de calcul de Franche-Comté (Paramètres : Processeur Intelr_Xeonr_{CPU X5550 @ 2.67GHz×4, 24 à 96 Go, 64 bits)}

90 Chapitre 4. Ordonnancement avec prols discrets

4.5 Synthèse

Plusieurs méthodes de résolution ont été proposées dans ce chapitre pour le problème de maximisation de la durée de vie d'un ensemble de machines lorsque chacune d'entre elles peut fournir un nombre discret de niveaux de performances. Il a été démontré que le problème d'opti- misation est NP-complet au sens fort dans le cas général. Une formulation optimale utilisant un programme linéaire en nombres entiers permet toutefois de trouver des solutions optimales en temps raisonnable pour des problèmes de petite taille, mettant en jeu un petit nombre de ma- chines avec peu de prols de fonctionnement et sur des horizons de production limités. Pour des problèmes de taille plus importante et donc plus réalistes, plusieurs heuristiques ont été proposées pour dénir des ordonnancements dénissant quelles machines utiliser à chaque instant et avec quel prol de fonctionnement. Plusieurs de ces heuristiques sont très performantes puisqu'elles permettent de dénir des ordonnancements dont les horizons de production se rapprochent de la valeur optimale. Les horizons de production des solutions fournies par ces heuristiques sont en eet proches de la borne supérieure que nous avons dénie.

Les temps de résolution associés aux heuristiques sont de plus cohérents avec l'ordonnance- ment hors-ligne considéré, et ce, même pour les plus performantes d'entre elles et pour un grand nombre de machines. L'heuristique HHTF-R étant à la fois ecace du point de vue de l'ob- jectif de maximisation de l'horizon de production et rapide pour fournir une solution (quelques millisecondes), son utilisation pourrait aussi être envisagée pour un ordonnancement en ligne.

An d'optimiser encore l'utilisation du potentiel des machines, il s'agit de répondre à la demande tout en maximisant le potentiel restant à chaque instant. Pour cela, une plus grande - nesse dans l'adaptation des débits fournis par chaque machine pourrait être utile pour ne fournir que le strict minimum permettant d'atteindre la demande. L'idée sous-jacente est alors d'aug- menter le nombre de prols de fonctionnement avec lequel les machines peuvent être utilisées. En poussant ce concept au maximum, on obtient un nombre inni de niveaux de performance, entre le débit minimum correspondant au prol de fonctionnement le plus sous-nominal, Nn−1,j,

et le débit maximum qui correspond au prol nominal N0,j. Ce cas de gure correspond au

modèle de prols de fonctionnement avec variation continue des performances proposé dans le chapitre précédent. Plusieurs méthodes de résolution du problème d'optimisation considéré dans ce chapitre sont proposées dans les chapitres suivants pour des machines fonctionnant suivant ce modèle continu.

Chapitre 5

Décision avec prols continus - Ap-

proche discrète

Sommaire

5.1 Résolution . . . 92 5.1.1 Approche optimale par morceaux . . . 93 5.1.1.1 Programme mathématique . . . 93 5.1.1.2 Programme linéaire . . . 95 5.1.2 Algorithme global de résolution . . . 95 5.2 Résultats de simulation . . . 96 5.2.1 Génération des problèmes . . . 96 5.2.1.1 Paramétrage des plates-formes de machines . . . 97 5.2.1.2 Paramétrage de la demande . . . 98 5.2.2 Résultats préliminaires . . . 98 5.2.2.1 Paramétrage de la fonction objectif du programme linéaire . . 98 5.2.2.2 Continuité d'utilisation des machines . . . 99 5.2.3 Validation de l'approche pour une demande constante . . . 100 5.2.4 Limite du modèle . . . 102 5.2.5 Temps de résolution . . . 104 5.2.6 Robustesse de l'approche pour une demande variable . . . 104 5.2.7 Synthèse des résultats . . . 107 5.3 Synthèse . . . 107

92 Chapitre 5. Prols continus - approche discrète

Ce chapitre présente une première approche de résolution du problème d'ordonnancement considérant des machines dont les performances évoluent de façon continue entre une borne inférieure et une borne supérieure, suivant le modèle introduit en partie 3.3.

Une première idée serait de reprendre la formulation optimale basée sur un programme linéaire proposée dans le chapitre précédent pour des machines présentant un nombre discret de prols de fonctionnement. Il s'agirait de relaxer la contrainte discrète sur les débits en supprimant la dimension i associée aux prols de fonctionnement pour obtenir une variable binaire de décision xj,k. Le nombre de variables du programme linéaire serait divisé par n, avec n le nombre de prols

de fonctionnement précédemment considéré. Une variable réelle ρj,k représentant les valeurs de

débit pour chaque machine Mj à chaque période k devrait cependant être ajoutée, transformant

le programme linéaire en nombres entiers en un programme linéaire mixte. Ce dernier faisant intervenir un nombre de variables plus faible, il permettrait la résolution de problèmes de plus grande taille, sans lever tout à fait la limitation liée au nombre de variables. Le passage en continu sur la dimension des débits n'est toutefois pas trivial. Chaque valeur de RUL étant exprimée de façon continue en fonction du débit, les RUL des machines ne sont plus des données du problème, mais deviennent des inconnues. L'expression des contraintes liées au respect du RUL devient alors fortement non linéaire, même si la relation liant les débits aux RUL est linéaire. Un programme mixte basé sur la formulation proposée dans le chapitre précédent et intégrant à la fois une variation continue des débits et la discrétisation du temps n'est alors pas adapté pour le problème considéré ici.

La méthode de résolution proposée dans ce chapitre utilise tout de même la programmation linéaire, mais limite le nombre de variables de chaque programme utilisé à un nombre raisonnable en découpant l'horizon de production en plusieurs morceaux. Chaque programme linéaire ne prend pas en compte la dimension temporelle autrement que par la limite d'utilisation xée par le RUL associé à chaque débit. L'ordonnancement est ainsi eectué par phases successives et l'évolution de l'état de santé des machines en fonction de leur utilisation est traitée en dehors de la programmation linéaire par un processus heuristique.

5.1 Résolution

La méthode de résolution proposée fonctionne par groupes de périodes. La résolution du problème d'optimisation est en eet faite par le biais de la résolution de sous-problèmes pour lesquels le débit fourni par chaque machine reste constant tout au long de son utilisation. Les ordonnancements obtenus sont alors constitués d'une succession de phases au sein desquelles les machines utilisées gardent la même conguration.

Une méthode optimale est utilisée pour dénir la conguration des machines au sein de chaque phase d'ordonnancement. Cette méthode, basée sur une programmation linéaire, est tout d'abord présentée pour la résolution de chaque sous-problème. Le principe général de l'algorithme de résolution dénissant une utilisation des machines sur tout l'horizon de production atteignable est détaillé dans un second temps.

5.1 Résolution 93