Propriétés particulières

Deux caractéristiques bien particulières découlent de la modélisation développée précédem- ment. La première concerne la partie supérieure du modèle, dans laquelle il existe une asymétrie dans la disponibilité des débits forts. Une équivalence des temps incluant une proportionnalité entre les débits est ensuite dénie dans la partie inférieure du modèle. Cette équivalence est va- lable pour les débits ρj dans l'intervalle [ρminj, ρoptj, pour lesquels l'atteinte de la limite xée

par le RUL associé correspond à la n d'utilisation de la machine Mj.

3.3.2.1 Caractère asymétrique pour ρoptj 6 ρj 6 ρmaxj

Un comportement asymétrique peut tout d'abord être observé pour les débits de la partie supérieure du modèle proposé : ρoptj 6 ρj 6 ρmaxj. Dans un ordonnancement dénissant

l'évolution de la contribution d'une machine au cours du temps, les périodes associées à des niveaux de performance diérents ne peuvent pas toujours être permutées. La disponibilité des débits dans l'intervalle considéré dépend en eet de l'utilisation passée de la machine. Comme illustré sur la gure 3.5, la durée d'utilisation disponible d'une machine change en fonction de l'ordre dans lequel les débits avec lesquels elle est utilisée sont choisis.

44 Chapitre 3. Problème d'optimisation et modèles

Soient les deux scénarios suivants :

1. si une machine Mj est d'abord utilisée avec un débit ρ1 pendant un temps t1, puis avec

un débit plus faible ρ2 pendant un temps t2, le temps d'utilisation de la machine est noté

H(ρ1, ρ2);

2. si l'ordre d'utilisation des débits est inversé, ρ2 peut toujours être utilisé pendant le temps

t2, mais après ce temps, la durée d'utilisation résiduelle associée à ρ1 n'est plus susante

pour autoriser son utilisation pendant la durée t1 (voir gure 3.5).

La durée d'utilisation de la machine est ainsi plus faible dans le deuxième cas de gure : H(ρ1, ρ2) < H(ρ2, ρ1). temps 0 ρj(t) ρminj ρmaxj(0) ρopt_j RULoptj ρ1 t1 ρ2 t2 H(ρ1, ρ2) temps 0 ρj(t) ρ1 ρ2

(a) Premier scénario : ρ1 pendant t1,

puis ρ2pendant t2 temps 0 ρj(t) ρminj ρmaxj(0) ρopt_j RULoptj ρ2 t2 ρ1 t0₁< t1 H(ρ1, ρ2) H(ρ2, ρ1) < H(ρ1, ρ2) temps 0 ρj(t) ρ1 ρ2

(b) Second scénario : ρ2 pendant t2,

puis ρ1 pendant t01

Figure 3.5  Illustration du caractère asymétrique du modèle pour ρoptj6 ρj6 ρmaxj

3.3.2.2 Équivalence des temps pour ρminj 6 ρj 6 ρoptj

Pour les débits dans la partie basse du modèle (ρminj 6 ρj 6 ρoptj), atteindre la limite

représentée par les lignes rouges sur la gure 3.4 équivaut à une n d'utilisation avant mainte- nance de la machine. Une équivalence des temps est dénie pour exprimer le fait qu'utiliser un débit ρ1 pendant un temps t1n'induit pas la même usure que lorsqu'un autre débit ρ2 est utilisé

pendant le même temps t1.

La comparaison de l'état de santé d'une machine Mj après l'utilisation de n'importe quel

débit inclus dans la partie inférieure du modèle (ρj 6 ρoptj) peut être faite sur la base d'une

quantité U dénie de la manière suivante : considérant une valeur initiale U = 0 (correspondant à une usure de la machine de 0%), si la machine est utilisée avec un débit ρ1 durant un temps

t1, l'usure associée est U = t1RULj(ρ1). Après une première utilisation de la machine avec ρ1,

si la même machine doit être utilisée avec un autre débit ρ2, la quantité U permet de déterminer

le temps associé à l'usure qui aurait été atteinte si la machine avait été utilisée avec ρ2 pendant

3.4 Synthèse 45

tous les débits de l'intervalle considéré peuvent être déterminés en suivant la droite d'équation ρj(t) = α0_jt + β_j0, avec α0_j = αjU (voir gure 3.6).

t1,2= U ×RULj(ρ2) = t1RULj (ρ2) RULj(ρ1) (3.1) temps 0 ρj(t) ρminj ρmaxj(0) ρopt_j RULoptj ρ1 t1 RULj(ρ1) ρ2 t2 RULj(ρ2) t1,2 ρj(t) = α0jt + βj0 = RULj(ρ1) t1 αjt + β 0 j

Figure 3.6  Illustration de l'équivalence des temps pour ρminj 6 ρj 6 ρoptj

3.4 Synthèse

Compte tenu des notations et modèles détaillés dans ce chapitre, le problème d'optimisation qui se pose consiste à dénir un ordonnancement d'un ensemble de machines pour répondre à une certaine demande, avec pour objectif la maximisation de l'horizon de production. An de répondre à ce problème, il est proposé d'utiliser les machines suivant une approche originale. Les machines sont en eet supposées pouvoir fournir un certain nombre de niveaux de performance diérents, chacun induisant une vitesse d'usure spécique. Chaque prol de fonctionnement des machines est ainsi associé à une certaine durée de vie. La relation entre les débits disponibles et leurs durées de vie est modélisée par deux représentations, chacune d'entre elles s'appliquant à un type de machines bien distinct. Le premier modèle proposé dénit une variation discrète des débits disponibles, tandis que les performances évoluent de façon continue entre deux extrêmes pour le second.

Diérentes méthodes de résolution sont proposées dans les chapitres suivants pour les deux types de machines considérés. Les développements proposés dans le chapitre 4 s'appliquent au premier modèle, tandis que les chapitres 5 et 6 proposent chacun un type de résolution diérent pour les machines se comportant suivant le second modèle.

Chapitre 4

Décision avec prols discrets

Sommaire

4.1 Propriétés et étude de complexité . . . 49 4.1.1 Borne supérieure pour maxK(σ, ρi,j,RULi,j) . . . 49

4.1.2 Complexité du cas avec machines homogènes en débit : maxK(σ, ρ, RULj) 50

4.1.2.1 Algorithme glouton optimal pour maxK(σ, ρ, RULj) . . . 51

4.1.2.2 Complexité du problème maxK(σ, ρ, RULj) . . . 52

4.1.3 NP-complétude du cas général . . . 56 4.1.4 Remarques sur le traitement du problème avec demande variable . . . . 57 4.2 Approche optimale . . . 57 4.2.1 Programmation Linéaire . . . 57 4.2.2 Résolution optimale . . . 59 4.3 Résolution sous-optimale . . . 60 4.3.1 Heuristiques . . . 62 4.3.1.1 HRAND : heuristique aléatoire . . . 62 4.3.1.2 HNAIVE : heuristique naïve . . . 64 4.3.1.3 HLRF : heuristique favorisant les RUL les plus longs . . . 65 4.3.1.4 HHTF : heuristique favorisant les débits les plus forts . . . . 67 4.3.1.5 HDP : heuristique basée sur la programmation dynamique . . 70 4.3.2 Amélioration des heuristiques . . . 73 4.3.2.1 Illustration du principe de réparation . . . 73 4.3.2.2 Stratégie de réparation . . . 73 4.4 Résultats de simulation . . . 78 4.4.1 Génération des problèmes . . . 78 4.4.1.1 Paramétrage des plates-formes de machines . . . 78 4.4.1.2 Paramétrage de la demande . . . 78 4.4.2 Résultats préliminaires . . . 79 4.4.3 Comparaison des heuristiques . . . 79 4.4.3.1 Heuristiques sans réparation . . . 79 4.4.3.2 Amélioration obtenue avec la réparation . . . 83 4.4.4 Comparaison à l'optimal . . . 84

48 Chapitre 4. Ordonnancement avec prols discrets

4.4.5 Comparaison à la borne supérieure . . . 84 4.4.5.1 Heuristiques sans réparation . . . 85 4.4.5.2 Amélioration obtenue avec la réparation . . . 85 4.4.6 Robustesse de l'approche pour une demande variable . . . 86 4.4.7 Synthèse des résultats . . . 88 4.5 Synthèse . . . 90

4.1 Propriétés et étude de complexité 49

Le problème d'optimisation détaillé dans le chapitre 3 est tout d'abord étudié pour le cas des machines présentant un nombre discret de prols de fonctionnement, suivant le modèle introduit en partie 3.2. Une étude des propriétés de ce problème et de sa complexité est menée dans la première partie de ce chapitre pour caractériser le problème d'optimisation et déterminer les congurations du problème pour lesquelles une solution optimale peut être trouvée en temps po- lynomial. Une approche de résolution optimale, basée sur la programmation linéaire en nombres entiers, est ensuite proposée. Cette première approche n'étant ecace que pour des problèmes de petite taille comportant un nombre limité de variables, une résolution sous-optimale du pro- blème est proposée sous la forme de plusieurs heuristiques pour les instances de grande taille. L'ecacité des diérentes méthodes de résolution est nalement validée sur plusieurs instances du problème d'optimisation, par le biais de simulations.

4.1 Propriétés et étude de complexité

Une borne supérieure pour le nombre de périodes pouvant être complété K est tout d'abord dénie pour le problème le plus général considérant une demande constante dans le temps, maxK(σ, ρi,j,RULi,j). Des résultats de complexités sont ensuite démontrés pour diérentes

congurations du problème d'optimisation à demande constante. Sous certaines conditions, il est montré qu'une solution optimale peut être trouvée en temps polynomial. La preuve de la NP-complétude du problème le plus général, prenant en compte des machines hétérogènes avec plusieurs prols de fonctionnement, est ensuite apportée.