Les superpolynômes symétriques sont des polynômes incluant les variables grassmanniennes en plus des variables ordinaires zi. La nouvelle symétrie qu’ils doivent satisfaire est celle de
l’invariance sous l’échange (zi, θi)←→ (zj, θj)∀ i, j. Comme les variables fermioniques ont la
propriété spéciale d’anticommutation, il faut trouver une façon naturelle d’encoder la distri- bution des puissances et des indices pour contraindre les polynômes de manière à ce qu’ils ne soient pas systématiquement nuls.
Cette façon d’encoder s’appelle les superpartitions. Celles-ci consistent en l’union d’une parti- tion standard et d’une partition strictement décroissante pouvant contenir au plus un 0. Plus formellement [6],
Λ = (Λa; Λs) = (Λ1,· · · , Λm; Λm+1,· · · Λℓ), (3.28)
où
Λ1 >· · · > Λm ≥ 0 et Λm+1≥ Λm+2 ≥ · · · ≥ Λℓ > 0. (3.29)
On appelle Λa la partition fermionique ou antisymétrique et Λs la partition bosonique ou
symétrique. Le nombre m est appelé degré fermionique de Λ et ℓ est la longueur de la partition. Le degré bosonique est |Λ| = PiΛi.
Pour représenter graphiquement ces superpartitions, on utilise des diagrammes de Young mo- difiés. On dénote une partie fermionique (∈ Λa) avec un cercle au bout de la partie. Par
exemple, la partition (3, 0; 2, 2) est représentée par
❧
❧
. (3.30)
Cette façon de représenter les superpartitions implique une représentation naturelle du conju- gué de la partition, ❧ ❧ ′ = ❧ ❧ . (3.31)
Le conjugué préserve donc la définition selon laquelle on ne fait qu’intervertir les lignes et les colonnes. Une autre façon de représenter les superpartitions se fait par le couple (Λ⊛, Λ∗),
où la première définit la superpartition où tous les cercles ont été transformés en boîtes et la seconde où tous les cercles ont été retirés. En voici un exemple,
Λ = ❧ ❧ ❧ ⇐⇒ Λ⊛ = Λ∗= . (3.32)
Cette représentation est particulièrement utile lorsqu’on veut parler du bras (aλ(t)) et de la
jambe (lλ(t)) d’une boîte d’un diagramme. Ces quantités ne sont bien définies que sur une
partition standard, c’est pourquoi lorsque l’on voudra les calculer on précisera sur laquelle des partitions l’opération sera faite en notant par exemple lΛ⊛(t) ou lΛ∗(t).
Finalement, on définit l’ordre de dominance entre les superpartitions. Ω≤ Λ ssi Ω∗ ≤ Λ∗ et Ω⊛
≤ Λ⊛
, (3.33)
où les deux symboles ≤ de droite dénote l’ordre de dominance standard définit en (1.9). En d’autres mots, on dira que Ω < Λ si Ω peut être obtenu de Λ en déplacent successivement une boîte ou un cercle vers le bas. Par exemple,
❧ > ❧ >
❧
. (3.34)
Maintenant que les éléments nécessaires ont été présentés, on peut s’attaquer à la formulation des superpolynômes symétriques.
3.3.1 Les bases polynomiales supersymétriques
La généralisation de la base monomiale est assez directe. Comme dans le cas standard, on écrit un monôme à N variables auxquelles on assigne une puissance en fonction de la partition, on symétrise ensuite l’expression en sommant toutes les permutations distinctes. La différence dans le cas supersymétrique, c’est qu’on ajoute N variables θ au polynôme. Plus formellement, pour une superpartition Λ [6], [8],
mΛ(z; θ) =
X
P ∈SN
P∗θ1· · · θmz1Λ1· · · zNΛN, (3.35)
où P∗génère les permutations (distinctes) des indices. Noter que Λ
ℓ+1 = Λℓ+2=· · · = ΛN = 0,
où ℓ est la longueur de la partition. On présente généralement les polynômes de façon telle que les indices sont en ordre croissant, ce qui peut induire des signes négatifs. Voici quelques exemples de supermonômes pour m = 2, |Λ| = 3 :
m(2,1;0)= θ1θ2(z21z2− z1z22) + θ1θ3(z12z3− z1z32) + θ1θ4(z21z4− z1z24) + θ2θ3(z22z3− z2z23) + θ2θ4(z22z4− z2z42) + θ3θ4(z32z4− z3z24) (3.36) m(2,0;1)= θ1θ2(z21− z22)(z3+ z4) + θ1θ3(z12− z32)(z2+ z5) + θ1θ4(z12− z24)(z2+ z3) + θ2θ3(z22− z32)(z1+ z4) + θ2θ4(z22− z24)(z1+ z3) + θ3θ4(z32− z42)(z1+ z2) (3.37) m(1,0;2)= θ1θ2(z1− z2)(z23+ z42) + θ1θ3(z1− z3)(z22+ z24) + θ1θ4(z1− z4)(z22+ z32) + θ2θ3(z2− z3)(z12+ z42) + θ2θ4(z2− z4)(z12+ z23) + θ3θ4(z3− z4)(z21+ z22) (3.38) m(1,0;1,1)= θ1θ2(z1− z2)z3z4+ θ1θ3(z1− z3)z2z4+ θ1θ4(z1− z4)z2z3 + θ2θ3(z2− z3)z1z4+ θ2θ4(z2− z4)z1z3+ θ3θ4(z3− z4)z1z2. (3.39) 20
Les superpolynômes de Jack seront développés sur cette base, mais leur produit scalaire sera défini sur la base des sommes de puissances.
Le développement des supersommes de puissances est tout aussi direct que dans le cas des monômes. Nous avions déjà que la n-ième somme de puissances était la somme de toutes les varibles individuellement élevées à la puissance n. On doit introduire ici la somme de puissances fermionique, ˜ pn(z; θ) = X i θizin. (3.40)
On définit donc un élément de la base des supersommes de puissances comme [8]
pΛ= ˜pΛ1· · · ˜pΛmpΛm+1· · · pΛl, (3.41)
où les pnsont les sommes de puissances standards. On associe à cette base un produit scalaire
à un paramètre qui sera aussi au centre de la définition des superpolynômes de Jack.
hpΛ|pΩiα= (−1)(
m
2)αℓ(Λ)zΛsδΛ,Ω, (3.42)
où la partition Λs est telle que définie auparavant, soit la partie symétrique (bosonique) de la
partition et zΛs a été défini en (1.27).1
3.3.2 Les superpolynômes de Jack
Tous les éléments introduits pour les superpolynômes nous permettent maintenant de présen- ter les fonctions propres de l’hamiltonien de l’extension supersymétrique du modèle CS. On a vu que ces polynômes sont caractérisés par le fait qu’ils sont simultanément fonctions propres de toutes les charges conservées du modèle sCS. On donne ici une définition équivalente qui nous permet de définir leur produit scalaire et leur forme sur la base des supermonômes. Ils doivent répondre à deux conditions particulières soit la triangularité dans la base des super- monômes et l’orthogonalité par rapport au produit scalaire (3.42).
La triangularité se présente ainsi [10],
PΛ(α) = mΛ+
X
Ω<Λ
cΛ,Ω(α)mΩ, (3.43)
où le < réfère à l’ordre de dominance. La condition d’orthogonalité sur le produit scalaire est définie en utilisant la décomposition des sJack sur la base des supersommes de puissances et le produit scalaire qui leur est associé.
hPΛ(α)|P (α)
Ω iα= 0 si Λ6= Ω. (3.44)
1. Il ne faut pas confondre le nombre miportant un indice, qui dénote la multiplicité d’une partie, avec le
Ces deux conditions permettent de définir uniquement les superpolynômes de Jack. La norme des sJacks est la suivante [10],
hPΛ(α)|P (α)
Λ iα = (−1)(
m
2)jΛ, (3.45)
où la superpartition Λ est de degré fermionique m. On explicite jΛ comme,
jΛ(α) = αm
Y
t∈Λ
h↑Λ(t)
h↓Λ(t). (3.46)
Les deux quantités h↑Λ, h↓Λ sont appelées respectivement les supercrochets supérieurs et infé- rieurs. Ils sont définis comme suit,
h↑Λ(t) = lΛ⊛(t) + α(aΛ∗(t) + 1) (3.47)
h↓Λ(t) = lΛ∗(t) + 1 + αaΛ⊛(t). (3.48)
La coordonnée t fait quant à elle référence au couple (i, j) dénotant la ligne et la colonne d’intérêt sur le diagramme. Voici quelques exemples de superpolynômes de Jack, pour un degré |Λ| = 3 : P(2,1;)(α) = m(2,1;)+ 1 1 + αm(2,0;1)− α 2(1 + α)2m(1,0;2)+ 1 (1 + α)2m(1,0;1,1) (3.49) P(2,0;1)(α) = m(2,0;1)+ 1 1 + αm(1,0;2)+ 2 1 + αm(1,0;1,1) (3.50) P(1,0;2)(α) = m(1,0;2)+ 2 2 + αm(1,0;1,1) (3.51) P(0;2,1)(α) = m(0;2,1)+ 6 2 + αm(0;1,1,1)+ 2 2 + αm(1;1,1) (3.52) P(;2,1)(α) = m(;2,1)+ 6 2 + αm(;1,1,1) (3.53)
Avec ces nouveaux polynômes en main, on peut inspecter la relation entre les sJack et les vecteurs singuliers de l’algèbre superconforme. On pourra voir si l’affinité se manifeste aussi dans le cas supersymétrique. Pour cela, il faudra définir l’algèbre superconforme et déterminer la correspondance entre les opérateurs appartenant à celle-ci et les superpolynômes ici décrits.
Chapitre 4
Les vecteurs singuliers de l’algèbre
superconforme
Dans ce chapitre, on mettra de l’avant le lien qui existe entre les superpolynômes symétriques et l’algèbre superconforme. On commencera par faire une connection entre la formulation en champs libres de l’algèbre et les superpolynômes. Puis, on montrera que les premiers vecteurs singuliers peuvent effectivement s’écrire en termes de seulement quelques superpolynômes de Jack. Ensuite, on caractérisera les superpolynômes admissibles pour construire un vecteur singulier ce qui nous mènera à plusieurs considérations sur la structure des diagrammes. On pourra alors présenter la formule explicite des vecteurs singuliers en termes des superpoly- nômes de Jack, puis on expliquera cette formulation explicite. Finalement, la transformation de dualité, permettant de résoudre la moitié du secteur qui n’est pas traitée par la formule, sera expliquée.
Notons tout d’abord que la théorie des champs superconformes (TCSC) se divise en deux sec- teurs. Rappelons d’autre part qu’elle est une théorie en deux dimensions, ce faisant, on peut définir le système de coordonnées sur un cylindre. La coordonnée polaire désigne la coordonnée d’espace tandis que la hauteur sur le cylindre définit le temps. Sur la coordonnée d’espace, on peut exiger certaines conditions aux frontières, soit qu’elles sont périodiques, soit qu’elles sont anti-périodiques. C’est ce qui définit les deux secteurs, respectivement de Neveu-Schwarz et de Ramond. Le premier secteur ayant été traité complètement dans [11], nous nous concentre- rons ici sur l’objet de la publication [1], soit le secteur de Ramond. Le contenu de ce chapitre reprend et complète plusieurs éléments de cette publication.
Neveu et Schwarz [18,17]. Elles sont définies comme suit [12] : [Ln, Lm] = (n− m)Ln+m+ c 12n(n 2− 1)δ n+m,0 [Ln, Gk] = n 2 − k Gn+k {Gk, Gl} = 2Lk+l+ k2−1 4 c 3δk+l,0, (4.1)
où n et m sont des entiers. Le secteur de Ramond se distingue par le fait que les indices du générateur Gr prennent des valeurs entières, i.e. k, l ∈ Z.1Le fait que les indices prennent des
valeurs entières fait qu’il existe un générateur G0. L’existence de ce générateur fait qu’il y a
deux états de plus haut poids qui sont de chiralité différentes,
|hi+≡ |hi |hi− ≡ G0|hi . (4.2)
On se concentrera ici sur les états de chiralité positive, puisqu’on peut appliquer G0 sur un
vecteur singulier sans le dénaturer. Ceci sera démontré plus loin.
Les états de plus haut poids ont la propriété particulière suivante,
Ln|hi = 0 = Gn|hi ∀n > 0 et L0|hi = h |hi . (4.3)
On peut construire tout le module de Verma en appliquant de toutes les façons possibles les deux générateurs de l’algèbre. Un état arbitraire est donc dénoté par
G−Λ1· · · G−ΛmL−Λm+1· · · L−Λl|hi , (4.4)
avec les conditions
Λ1> . . . > Λm≥ 0, Λm+1 ≥ . . . ≥ Λℓ ≥ 0 avec m≥ 0, l≥ 0, (4.5)
c’est-à-dire que Λ est une superpartition. On voit ici que les Gk ont pour indices les parties
de la portion antisymétrique de la superpartition. La séquence de ces opérateurs correspond donc à une partition strictement décroissante, ainsi, deux parties ne peuvent être répétées. Ceci est une conséquence du fait que les relations de commutation entre les Gk produisent des
générateurs Ln. Si on veut écrire de façon unique chaque état, on doit s’assurer de les noter
tels que les Gk ne soient pas répétés.
On notera finalement que,
G20 = L0− c
24. (4.6)
1. Les indices prennent des valeurs demi-entières dans le secteur de Neveu-Schwarz.
Ceci signifie que l’état de plus haut poids |hi sera supersymétrique seulement si h = c/24. Ici, on prendra une paramétrisation de la charge centrale qui est beaucoup plus libre.
On se rappelera que, pour l’algèbre de Virasoro, lorsque la charge centrale et la dimension conforme sont paramétrisées d’une certaine façon, le module de Verma est réductible et il forme un module de Kac. Ce principe est aussi valable dans le cas supersymétrique. La para- métrisation dans le contexte de la TCSC pour le secteur de Ramond est la suivante [11] :
c = 15 2 − 3 t +1 t et hr,s= t 8(r 2− 1) + 1 8t(s 2− 1) −1 4(rs− 1) + 1 16, (4.7) où r et s sont des entiers positifs tels que r − s est impair et t est un nombre complexe. Cette paramétrisation est une condition nécessaire et suffisante à l’existence d’un vecteur singulier et la paramétrisation indique que le vecteur singulier se manifestera au niveau rs/2 [13]. Les vecteurs singuliers sont pour leur part définis de façon analogue au cas de la TCC, c’est-à-dire que |χi est un vecteur singulier si Gn|χi = 0 et Ln|χi = 0 pour tout n > 0. Ces contraintes
peuvent être plus simplement résumées par
G1|χi = 0 et L1|χi = 0. (4.8)
Comme dans le cas standard, on peut écrire un état arbitraire au niveau rs/2, imposer ces deux conditions et résoudre le système d’équations. Comme mentionné auparavant, le changement de chiralité d’un vecteur singulier produit encore un vecteur singulier. En effet, si on utilise l’algèbre (4.1) on a que
[L1, G0] =
1
2G1 (4.9)
[G1, G0] = 2L1. (4.10)
Il est donc clair qu’à un facteur près, l’action de G0sur un vecteur singulier ne fait qu’échanger
les deux conditions dans (4.8) et puisqu’elles sont respectées simultanément, le vecteur singulier reste un vecteur singulier après l’action de G0. Ainsi, pour trouver les vecteurs singuliers, on
peut se contenter de trouver seulement ceux associés à une seule chiralité. C’est la raison pour laquelle on ne traitera ici que des vecteurs de chiralité positive.
4.1
La correspondence entre la TCSC et les superpolynômes
La relation entre les vecteurs singuliers et les superpolynômes passe une fois de plus par la représentation en champs libres. Dans le secteur de Ramond, cette représentation est décrite en termes des modes an, bn avec n ∈ Z et de l’opérateur de la charge du vide π0 [1] :
On définit la famille des états du vide à un paramètre comme |ηi ≡ eηπ0|0i satisfaisant,
a0|ηi = η|ηi, an|ηi = 0 et bn|ηi = 0, ∀ n > 0. (4.12)
Ceci nous permet d’introduire l’espace de Fock F qui est généré en agissant avec les opérateurs de création de (4.11) sur l’état de plus haut poids, et ce, de toutes les façons possibles. Un état arbitraire prend donc la forme,
b−Λ1· · · b−Λma−Λm+1· · · a−Λℓ|ηi , (4.13) où les sous-indices doivent correspondre aux contraintes imposées par les superpartitions (cf. (3.29)). Dans cette représentation, l’algèbre superconforme dans le secteur de Ramond prend la forme suivante, Ln=−γ(n + 1)an+ 1 2 X k∈Z : akan−k : + 1 4 X k∈Z n− 2k +1 2 : bkbn−k : (4.14) Gn=−2γ n + 1 2bn+ X k∈Z akbn−k, (4.15)
où γ est relié à la charge centrale par la relation c = 3
2 − 12γ2 et :: dénote l’ordre normal,
c’est-à-dire qu’on place toujours l’opérateur ayant le plus grand indice à droite.
On peut maintenant déterminer la correspondance entre les modes de la représentation en champs libres et les opérateurs différentiels agissant dans l’espaces des superpolynômes symé- triques. Cet espace sera noté R. La correspondance est la suivante [1],
an←→ (−1)n−1 √ α p−n n < 0 η n = 0 (−1)n−1n√α∂n n > 0 bn←→ (−1)n √ 2 p˜−n n < 0 1 √ 2(˜p0+ ˜∂0) n = 0 (−1)n√2 ˜∂ n n > 0 , (4.16) où ∂n≡ ∂ ∂pn et ∂˜n≡ ∂ ∂ ˜pn . (4.17)
Deux choses sont à remarquer : les modes b ne dépendent aucunement de la constante α et ils comprennent le mode b0 représenté par la superposition linéaire d’un polynôme fermionique et
de sa dérivée. L’identification de l’état fondamental |ηi ↔ 1 et les définitions (4.16) fournissent la correspondance suivante entre F et R :
b−Λ1· · · b−Λma−Λm+1· · · aΛℓ|ηi ←→ ζΛpΛ, (4.18) où ζΛ= (−1)|Λ|−(ℓ−m) 2m/2α(ℓ−m)/2. (4.19) 26
Soulignons que le niveau dans l’espace de Fock correspond au degré bosonique de la partition, soit la somme de toutes les parties.
La représentation en champs libres et la correspondance entre F et R nous donne une repré- sentation des générateurs de super-Virasoro dans le secteur de Ramond en termes d’opérateurs différentiels agissant dans R. Les deux générateurs qui nous intéresseront plus particulièrement sont, G1 = √ 2(3γ− η) ˜∂1+r α 2(˜p0+ ˜∂0)∂1+ r α 2 X n≥1 n˜pn∂n+1+r 2 α X n≥1 pn∂˜n+1 L1 =√α(η− 2γ)∂1−1 2(˜p0+ ˜∂0) ˜∂1− X n≥1 npn∂n+1−1 2 X n≥1 (2n + 1)˜pn∂˜n+1. (4.20)
Ce sont ces deux opérateurs différentiels qui nous permettent de créer les systèmes d’équations linéaires associés aux vecteurs singuliers. C’est d’ailleurs avec ces opérateurs qu’on obtient les expressions des vecteurs singuliers avec un programme de calcul symbolique. Cette approche est beaucoup plus simple que celle qui consiste à programmer l’algèbre.
De façon plus générale, l’ensemble des définitions permettent une représentation de tout le module de Verma M avec l’état de plus haut poids |hi dans l’espace des superpolynômes :
X Λ cΛG−ΛaL−Λs|hi ←→ X Λ cΛG−ΛaL−Λs(1) , (4.21) où h = 1 2η(η− 2γ) + 1 16. (4.22)
4.1.1 Les vecteurs singuliers en termes de superpolynômes
Comme mentionné précédemment, les définitions (4.20) permettent de calculer les vecteurs singuliers dans l’espace R. En posant une superposition linéaire de supersommes de puissances d’un niveau donné, en appliquant chacun des opérateurs et en posant chaque équation égale à 0, on obtient un système d’équations linéaires pouvant nous fournir les vecteurs singuliers. Il s’avère, comme ce qui était attendu, que les sJacks réduisent grandement le nombre de termes nécessaires à la représentation des vecteurs singuliers. Pour obtenir un module de Kac avec la correspondance (4.21), on doit utiliser la paramétrisation suivante,
t = α, γ = 1
2√α(α− 1) et η≡ ηr,s= 1
2√α((r + 1)α− (s + 1)) . (4.23)
On notera PΛ = PΛ(α) les sJack avec paramètre α indexés par la superpartition Λ. Le terme
d’écrire les vecteurs singuliers de chiralité positive |χr,si en termes de superpolynômes, Fr,s = X Λ m=0 mod 2 |Λ|=rs/2 vΛPΛ, (4.24) si et seulement si, G1(Fr,s) = 0 et L1(Fr,s) = 0 . (4.25)
C’est ici qu’on arrive en plein centre du projet. Il faut arriver à caractériser le plus précisément possible les superpartitions Λ telles que les coefficients vΛ 6= 0. Une fois cela fait, il faut trouver
s’il y a un patron qui se dessine dans la suite des coefficients et voir si on peut exprimer chaque coefficient comme une fonction de (r, s, Λ). C’est effectivement ce qui a été obtenu. La formule qui sera présentée ne s’applique qu’aux cas où r est impair. Puisque dans le secteur de Ramond r + s est impair, la formule permet de déterminer tous les vecteurs singuliers seulement si nous avons une relation qui permet de relier Fr,s ↔ Fs,r. Cette relation existe, elle est ici appelée
la transformation de dualité et fait l’objet de la section (4.6).
4.1.2 Les vecteurs singuliers superconformes en termes de sJack : cas simple
Les formules pour les cas simples avaient été determinées dans [11]. On avait,
|χ1,si ←→ P(1s/2)− P(1,0;1s/2−1) (4.26)
|χr,1i ←→ P(r/2)+
αr
2 P(r/2,0;) (4.27)
et un résultat beaucoup plus étoffé,
|χ2,si ←→ (α + 1) (s−1)/2 X l=0 2l+1 Y i=l+1 i α + i P(2(s−1)/2−l,12l+1)+ α 2l + 1P(1,0;2(s−1)/2−l,12l)