La formule est surtout utile pour formaliser les résultats et pour en faire une analyse rigou- reuse. L’esprit de la méthode pour calculer les coefficients s’exprime graphiquement sur les diagrammes. D’autre part, la formule est longue et difficile à lire, c’est pourquoi on illustrera chacun des termes séparément. On présentera donc les deux fonctions B(Λ, r, s) puis C(Λ, r, s) et finalement on expliquera la fonction ǫ(Λ, r, s) qui génère le signe du coefficient.
4.5.1 La fonction B(Λ, r, s)
La fonction B(Λ, r, s) se base sur les éléments de l’ensemble SΛ,s. Du point de vue de la
structure récursive des diagrammes, la fonction B(Λ, r, s) dépend donc de l’ajout de colonnes. L’idée est simple : on identifie les colonnes ajoutées à un certain niveau (˜r, ˜s) et on attribue des facteurs en conséquence. Pour ce faire, on identifie un ensemble de boîtes appartenant à une colonne «ajoutée» au niveau (˜r, ˜s) et on évalue la fonction f(˜r, ˜s). À ce résultat vient se multiplier le produit de la fonction h↓↑Λ(t) évaluée pour chaque boîte de la colonne. On répète ces étapes pour chacune de ces colonnes et on multiplie le tout ensemble. Il faut comprendre ici que «colonne» signifie l’ensemble des boîtes provenant du processus d’ajout d’une colonne et non toute la colonne du diagramme.
De façon plus précise, la démarche est la suivante : pour chaque boîte t(i, j) telle que ˜si− 1
est égal au nombre de boîtes en-dessous de t (i.e. pour t ∈ SΛ,s), il y a une contribution au
facteur de f(˜rj, ˜si) multiplié avec la fonction k(Λ, t). Cette dernière est donnée par le produit
de h↓(t′)/h↑(t′) pour t′= t ainsi que toutes les boîtes en dessous de t :
t′={(i′, j)| i ≤ i′ ≤ i + lΛ∗(t)} . (4.48)
Si l’ensemble SΛ,sest vide, il est entendu que B(Λ, r, s) = 1. Passons maintenant à un exemple
illustré sur un diagramme pour clarifier la procédure.
Exemple du calcul de B(Λ, r, s) sur le diagramme Λ = (7, 1; 6, 6, 5, 5, 5, 2, 2, 2, 1)
7,12 7,10 5,10 5,8 5,6 3,6 3,4 3,2
Considérons la superpartition Λ = (7, 1; 6, 6, 5, 5, 5, 2, 2, 2, 1) dont le diagramme est illustré dans la figure4.4. On vérifie facilement que cette partition est élément de A7,12. Pour générer
le coefficient, on commence par identifier les boîtes par leurs indices (˜rj, ˜si). Une identification
partielle est présente sur la figure. Les boîtes dont les indices sont soulignés font partie de l’ensemble SΛ,12. Cet ensemble est ici SΛ,12={(2, 1), (4, 2)}. Il y a donc deux facteurs f(˜rj, ˜si)
qui contribuent, soit f(7, 10) et f(5, 6) :
f (7, 10) = 21 5 (7α + 9)(7α + 5)(7α + 3)(7α + 1)α (5α + 9)(5α + 7)(5α + 3)(5α + 1)(3α + 5) f (5, 6) = 10 3 α(5α + 1)(5α + 3) (3α + 5)(3α + 1)(2α + 3)
À ceci vient se multiplier le rapport h↓(i, j)/h↑(i, j) pour chacune des boîtes dont les indices
sont soulignés et celles qui se trouvent en dessous de celles-ci. Ces boîtes sont hachurées sur la figure :
k(Λ, 2, 1) = (9+6 α)(6 α+8)(7+5 α)(6+5 α)(5+5 α)(2 α+4)(2 α+3)(2 α+2)(α+1)α(10+5 α)(9+5 α)(4 α+8)(7+4 α)(6+4 α)(α+5)(α+4)(α+3)(α+2) k(Λ, 4, 2) = (6+4 α)(4 α+5)(4 α+4)(α+3)(α+2)(α+1)6(6+3 α)(3 α+5)(3 α+4)
En multipliant tous ces facteurs, on obtient B(Λ, 7, 12) :
B((7, 1; 6, 6, 5, 5, 5, 2, 2, 2, 1), 7, 12) = f (7, 10)k(Λ, 2, 1)× f(5, 6)k(Λ, 4, 2) = 7 (7 α + 9) (α + 2) 2(4 α + 7) (α + 5) (α + 4) 5 (3 α + 1) (3 α + 5) (5 α + 7)2 × 15 (7 α + 5) (7 α + 3) (7 α + 1) α 2 (2 α + 3)3(5 α + 6) (α + 1)5(4 α + 5). (4.49) 4.5.2 La fonction C(Λ, r, s)
La fonction C(Λ, r, s) se base sur le processus d’ajout de rangées sur le diagramme ainsi que sur la disposition des cercles. Cette partie du coefficient a été obtenue pratiquement par essais et erreurs. Il n’y a donc pas de logique sous-jacente permettant d’en faire une expliquation simple et naturelle. La méthode deviendra probablement plus évidente avec l’énoncé des règles graphiques et l’exemple qui les suivra.
Pour calculer la partie du coefficient associée à C(Λ, r, s), on identifie les boîtes t = (i, j) pour lesquelles l’indice ˜rj correspond au bras de la boîte plus 1 (i.e. t ∈ RΛ,r) . Pour chacune des ces
boîtes, on ajoute deux triangles (un supérieur et un inférieur) qui sont ornés de deux indices : △r˜j,˜si placé en position (i, j + ˜rj) et ▽r˜j,˜si placé en position (i−1+ ˜si, j). La fonction C(Λ, r, s)
est contruite à partir de différentes distances-α calculées entre ces triangles et les cercles du diagramme Λ. Nous détaillerons cette procédure bientôt. D’abord, une petite remarque sur la
structure des triangles sur le diagramme.
Noter que par construction, il y a un triangle (peu importe le type) à la fin de chaque rangée (mais pas nécessairement à la fin de chaque colonne) et qu’un triangle se trouve dans chacun des cercles. Supposons d’abord qu’il y ait un triangle à la fin de chacune des rangées d’un diagramme sans cercle. Puisque chaque diagramme de Ar,s est obtenu en ajoutant des paires
de cercles aux éléments de A∗
r,s, s’il y a un triangle au bout de chaque rangée, les cercles se
superposent nécessairement à un triangle. Le fait que chaque rangée possède un triangle se base sur la nature récursive des diagrammes autocomplémentaires. Chaque diagramme peut être construit en se basant sur un diagramme d’une rangée de 2k+1 boîtes correspondant à (r, s) = (2k+1, 2). Suivant la règle de disposition des triangles, on ajoute un triangle en position (1, 2k+ 2) et un triangle renversé en position (2, 1). L’ajout successif de rangées a pour effet d’ajouter un triangle au bout de chacune de ces nouvelles rangées et d’empiler des triangles renversés aux positions (4, 1), (6, 1), · · · (s′, 1). Voir par exemple (4.50) ci-dessous. Cette illustration montre
les premières étapes de construction de Λ∗ = (7, 6, 6, 5, 5, 5, 2, 2, 2, 1, 1)∈ A∗
7,12. L’ajout d’une
colonne de longueur s′ a pour effet de déplacer tous ces triangles renversés vers la droite au
bout de rangées de longueur 1, comme on peut le voir dans la dernière étape de l’exemple suivant : △ ▽ → △ △ ▽ ▽ → △ △ △ ▽ ▽ ▽ → △ △ △ ▽ ▽ ▽ → · · · (4.50)
Ajouter plus de colonnes de longueur s′ n’a pour effet que de déplacer les triangles vers la
droite. Comme l’ajout de colonnes et de rangées sont les deux seules opérations de base pour la construction des diagrammes autocomplémentaires sans cercle, ceci montre que chaque ran- gée possédera un triangle pointant soit vers le haut, soit vers le bas.
Pour en revenir au calcul de C(Λ, r, s), le numérateur de chacun des produits est la distance-α décalée supérieurement entre chaque triangle et chaque cercle. Le décalage supérieur signifie que la distance n’est pas calculée directement avec le cercle, mais plutôt avec la boîte qui se trouve tout juste au-dessus (le cas où il n’y a pas de boîte au-dessus du cercle sera traité plus loin). Le premier numérateur apparaissant dans la formule exprime la contribution de la distance entre △r˜j,˜si et les cercles. L’exposant (1 − δ˜l(t)+1,˜si) indique que si ▽r˜j,˜si est encerclé,
tout le numérateur se réduit à 1. Si ce n’est pas le cas, la contrainte 0 < (j + ˜rj)− j′+≤ ˜rj sur
le produit signifie que seuls les cercles au sud-est de △˜rj,˜si et qui sont à une distance horizon-
tale inférieure ou égale à ˜rj de △˜rj,˜si contribuent. Le second facteur au numérateur calcule les
une fois, si △˜rj,˜si est encerclé, ce facteur se réduit à 1 (cette condition prend en compte le cas
où il n’y a pas de boîte au-dessus du cercle, c’est-à-dire les cas où le cercle se trouve sur la première rangée). La condition 0 ≤ j′− j < ˜r
j s’assure que seuls les cercles au-dessus ou au
nord-est de ▽r˜j,˜si peuvent contribuer dans la mesure où leur distance horizontale est stricte-
ment inférieure à ˜rj. Les facteurs au dénominateur sont semblables excepté que la distance-α
n’est pas décalée et que si △ ou ▽ sont encerclés, le facteur correspondant se réduit à 1 (c’est- à-dire que les distances-α provenant d’un △ encerclé ou d’un ▽ encerclé ne contribuent pas). Bien que cette explication soit plus intelligible que la formule, la représentation sur le dia- gramme sera beaucoup plus claire.
Faisons un petit résumé des règles que nous utiliserons au point de vue graphique. La représen- tation utilisera deux sortes de lignes différentes, continues et pointillées. Ces lignes représentent la distance-α entre l’origine de la flèche et sa destination.
Toutes les lignes :
1. Commencent sur un triangle
2. Ont une extension horizontale maximale de ˜r pour un △ et de ˜r − 1 pour un ▽ 3. Ne peuvent pas avancer dans le même sens que la pointe (nord ou sud) du triangle Les lignes continues :
1. Correspondent au numérateur
2. Se terminent sur une boîte au-dessus d’un cercle 3. Peuvent commencer sur un cercle
4. Sont annulées par un cercle sur l’autre triangle de même indice Les lignes pointillées :
1. Correspondent au dénominateur 2. Se terminent sur un cercle
3. Ne peuvent pas commencer sur un cercle
Exemple du calcul de C(Λ, r, s) sur le diagramme Λ = (7, 1; 6, 6, 5, 5, 5, 2, 2, 2, 1)
On illustre ces règles en considérant la même superpartition que précédemment, soit Λ = (7, 1; 6, 6, 5, 5, 5, 2, 2, 2, 1), dont le diagramme orné des triangles △, ▽ est présenté à la figure
4.5. Sur cette figure, les lignes continues relient les paires (△, boîte sur un cercle) ou (▽, boîte sur un cercle) qui contribuent au numérateur. Pour leur part, les lignes pointillées relient les paires (△, cercle) ou (▽, cercle) qui contribuent au dénominateur.
7,12 7,10 5,10 5,8 5,6 3,6 3,4 3,2 a 7,12 ` 7,12 a 5,10 ` 5,10 a 5,8 ` 5,8 a 3,6 ` 3,6 a 3,4 ` 3,4 a 3,2 ` 3,2
Figure4.5: Illustration du coefficient C(Λ, r, s) pour le diagramme4.4sur lequel on présente la disposition des triangles △, ▽. On y illustre les différentes contributions au nominateur (lignes continues) et au dénominateur (lignes pointillées), leur multiplication constitue le coefficient C(Λ, r, s).
Considérons d’abord △7,12 : il y a une ligne continue qui le lie à la boîte au-dessus du cercle
(10, 2) ; sa contribution est 6α + 8. Il n’y a pas de ligne pointillée venant de △7,12puisqu’il est
encerclé. De △5,10, on a une ligne de chaque type produisant le facteur (5α + 7)/(5α + 8). Le
triangle △5,8n’a qu’une seule ligne pointillée le liant au cercle (10, 2) d’où le facteur 1/(5α+7).
Le cercle en position (10, 2) est séparé des triangles △3,n pour n = 2, 4, 6 par une distance
horizontale de 4. Puisque cette distance est plus grande que ˜rj = 3, ces termes ne contribuent
pas. Une conclusion similaire s’applique pour les trois triangles ▽3,n. Une ligne continue part
de ▽5,8 et arrive sur la boîte juste au-dessus, fournissant une contribution de 1. Une ligne
de chaque type part de ▽5,10 fournissant un facteur de 2/1. Finalement, il n’y a pas de ligne
continue (ou de dénominateur) associée à ▽7,12 puisque △7,12est encerclé. La ligne pointillée
associée à ce triangle se rend jusqu’en (10, 2) seulement puisque le cercle (1, 8) est à une distance horizontale de ˜rj = 7. Ceci génère un facteur de 1/(α + 2). En multipliant tous ces
facteurs on obtient :
C((7, 1; 6, 6, 5, 5, 5, 2, 2, 2, 1), 7, 12) = 2(6α + 8)(5α + 7)
(5α + 8)(5α + 7)(α + 2). (4.51) Considérant les règles illustrées pour le coefficient C(Λ, r, s), il est clair que pour un coeur de diagramme donné (Λ∗), plus il y a de cercles dans Λ, moins il y a de facteurs qui contri-
buent. On illustre ceci dans la figure 4.6qui présente un diagramme à six rangées dont quatre sont fermioniques. Détaillons les contributions provenant de ce diagramme. Les deux triangles d’indice (5, 6) sont entourés et ne contribuent donc pas. Le fait que △3,4 soit encerclé annule
contribue pour un facteur de (2α + 1). Finalemment, il ne reste plus qu’à considérer les deux lignes pointillées s’arrêtant sur ▽1,2; celles-ci contribuent avec un facteur de 1/(α + 1)2. Le
facteur C correspondant à ce diagramme est donc
C((5, 4, 2, 0; 3, 1), 5, 6) = (2α + 1) (α + 1)2 . (4.52) 5,6 5,4 3,4 1,2 a 5,6 ` 5,6 a 3,4 ` 3,4 a 1,2 ` 1,2
Figure4.6: On trouve ici une autre illustration de l’insertion des triangles et du calcul repré- senté par les flèches pour un diagramme à 4 cercles.
4.5.3 La fonction ǫ
Comme mentionné précédemment, chaque cercle contient un triangle, soit △, soit ▽. Il s’avère que le signe associé à un certain diagramme est fixé par l’information fournie par les triangles dans les cercles. Associons un degré à chacun de ces triangles, soit le produit de ses indices divisé par deux. On désignera ce degré par |△| et |▽|. Introduisons les quantités suivantes :
n△= nombre de △ encerclés
p⋄ = nombre de paires (△, ▽) encerclées telles que |△r,˜˜s| < |▽˜r′,˜s′| (4.53)
On a que le signe d’un diagramme orné de m cercles sera
ǫ(Λ, r, s) = (−1)(m2)+(n△2)+ p⋄, (4.54)
où il doit être compris que 1
2 = 0. Pour l’exemple de la figure4.5, m = 2, n△= 1, et puisque
|▽5,8| < |△7,12|, p⋄= 0, on a ǫ = 1. Pour le diagramme de la figure4.6, on a m = 4, n△= 2 et
p⋄= 1, ce qui mène à ǫ = 1.
La formule de|χ1,si
Une application simple et directe de la formule de signe combinée à une inspection sommaire de la formule générale permet de produire la formule générale de |χ1,si. Puisque A1,s =
{(1s/2), (1, 0; 1s/2−1)}, l’ensemble SΛ,s = ∅, ainsi B(Λ, 1, s) = 1. De façon similaire, on voit
facilement que C(Λ, 1, s) = 1. On constate donc que la seule contribution non-triviale aux
diagrammes est celle de ǫ. En effet, pour (1, 0; 1s/2−1), on a que n△ = p
⋄ = 0, ce qui donne
ǫ =−1, d’où l’expression
|χ1,si ←→ P(1αs/2)− P(1,0;1α s/2−1), (4.55)
ce qui correspond effectivement à la formule donnée dans [11, Eq. (B.22)].
Ceci met donc fin à la présentation de la formule générale des vecteurs singuliers du secteur de Ramond en termes de polynômes supersymétriques. Toutefois, comme mentionné précédem- ment, on a traité seulement les cas où r est impair. Pour s’assurer de pouvoir couvrir tout le secteur de Ramond, on doit être en mesure de transformer Fr,s en Fs,r. C’est précisément ce
qui sera montré dans la section suivante.