Dans cette section on discutera de la structure des diagrammes admissibles. Ceci nous permet- tra d’introduire certaines quantités à partir desquelles la formule est construite. Les quantités et les ensembles définis ici ne nécessitent pas toute la discussion qui suit. Ces explications permettront toutefois de mettre en contexte ce qui a mené à la formule et de donner une interprétation claire des paramètres utilisés. Pour commencer cette discussion, introduisons l’idée selon laquelle les diagrammes admissibles sont construits par deux opérations simples.
Dénotons le coeur de Ar,s par A∗r,s défini comme l’ensemble des diagrammes Λ∗ = Λ ∈ Ar,s,
c’est-à-dire tous les diagrammes admissibles sans cercle. Puisque les superpartitions admis- sibles doivent être (r, s)-autocomplémentaires, on peut voir n’importe quel diagramme du coeur comme étant construit à partir de l’addition d’une rangée ou d’une colonne à un dia- gramme de niveau inférieur. Par exemple, les diagrammes appartenant à A∗
r,s peuvent être
plus larges que ceux appartenant à A∗
r−2,s en vertu de la règle d’autocomplémentarité. Par
contre, cette même règle contraint l’extension horizontale à se faire de façon très précise : tous les diagrammes de A∗
r−2,s ne peuvent être transformés en diagrammes de A∗r,s qu’en ajoutant
une colonne de longueur s. Toutefois, ce ne sont pas tous les diagrammes de A∗
r,s qui seront
générés de la sorte. Un autre processus contribue à y générer des diagrammes, soit l’extension verticale des diagrammes appartenant à A∗
r,s−2. L’autocomplémentarité, dans ce cas, limite
l’extension verticale à l’ajout d’une rangée de longueur r au-dessus du diagramme. Ces deux opérations ne donnent toujours pas l’ensemble des diagrammes admissibles dans Ar,s puis-
qu’elles ne permettent pas l’ajout de cercles.
En résumé de ce qui a été dit jusqu’à maintenant, tous les diagrammes A∗
r,s peuvent être
obtenus par l’addition d’une colonne de longueur s aux diagrammes A∗
r−2,set l’addition d’une
rangée de longueur r aux diagrammes de A∗
r,s−2. L’ensemble complet des diagrammes Ar,s
peut être obtenu en ajoutant des paires de cercles aux diagrammes de A∗
r,sde toutes les façons
permises (incluant aucune addition de cercle).
Illustrons ce processus récursif pour en avoir une vision plus claire :
(1,4)→(3,4)
−−−−−−−→ −−−−−−−→(3,2)→(3,4) −−−−−−−→(3,2)→(3,4)
(4.33) Dans cet exemple, on obtient A∗
3,4 en ajoutant une colonne de longueur s = 4 à l’unique
élément de A∗
1,4, illustré à gauche de (4.33), et en ajoutant une rangée de longueur r = 3
au-dessus des deux éléments de A∗
3,2. Il en résulte tout le coeur A∗3,4. On obtient ensuite A3,4
en ajoutant des paires de cercles de toutes les façons admissibles. On obtient ainsi
A3,4 : {(3, 3), (2, 2, 1, 1), (3, 2, 1), (3, 0; 3), (2, 1; 2, 1), (1, 0; 3, 2), (2, 0; 3, 1),
(3, 0; 2, 1), (2, 1; 3), (3, 1; 2), (3, 2; 1), (3, 2, 1, 0; )} . (4.34) La complétude de la structure récursive des diagrammes du coeur de Ar,s se base sur une
observation simple, soit le fait qu’un diagramme (r, s)-autocomplémentaire comporte néces- sairement une colonne de longueur s ou une rangée de longueur r, mais jamais les deux. Ceci implique que n’importe quel diagramme autocomplémentaire peut être réduit, par un proces- sus de déconstruction unique, à un diagramme autocomplémentaire trivial de degré minimal. En l’occurrence, ce diagramme ne sera constitué que d’une seule rangée (r, s) = (2k + 1, 2) pour un certain k ≥ 0. Ce processus de déconstruction s’effectue en retirant une rangée de longueur r ou une colonne de longueur s et en itérant ce processus jusqu’à ce que le diagramme ne soit plus qu’une rangée. Noter qu’à chaque étape, il faut ajuster les indices (r, s).
Les figures 4.1 et 4.2 illustrent ce processus de déconstruction. La première de ces figures montre la transformation de la partition régulière (33, 23) appartenant à (r, s) = (5, 6) jusqu’à
la partition (13) de (r, s) = (1, 6) en éliminant deux fois une colonne de longueur 6. Noter
qu’à chaque étape, le diagramme est encore autocomplémentaire. On voit facilement que ceci est une conséquence du mécanisme de déconstruction. En effet, la figure illustre le rectangle r× s en lignes pontillées. Dans le processus d’élimination d’une colonne du diagramme, deux colonnes sont enlevées du rectangle, une à chaque extrémité (celles à l’extérieur des coupures représentées par les lignes grises). Les deux coupures qui sont faites symétriquement montrent clairement que la partition à l’intérieur est coupée de la même façon que son complément, assurant la conservation de l’autocomplémentarité dans le nouveau rectangle. Le fait que dans ce processus deux colonnes soient retirées au rectangle montre clairement que la valeur de r est réduite de 2 à chaque fois qu’on ampute le diagramme d’une colonne. Noter d’autre part que le dernier diagramme peut être réduit davantage en l’amputant deux fois d’une rangée de longueur 1, produisant finalement la partition (1) appartenant à A1,2. La figure4.2montre le
processus similaire qu’est l’amputation des rangées de longueur r. Noter encore que le dernier diagramme de cette figure peut être réduit jusqu’à une boîte unique en faisant deux fois une amputation d’une colonne de longueur s. Dans le processus de déconstruction, chaque étape, soit le fait de retirer une rangée ou une colonne, est parfaitement déterminée par la partition et n’est pas ambiguë. Dans le cas d’un tableau en escalier par exemple, ces opérations sont alternées.
La structure récursive des diagrammes permet d’identifer chaque boîte comme ayant été ajou- tée à un certain niveau (r, s). L’argument tout juste présenté sur la structure des diagrammes montre que l’ajout d’une colonne résulte en un incrément de deux sur la valeur de r tandis que l’ajout d’une rangée résulte en un incrément de deux de la valeur de s. Ainsi, à l’intérieur du
r = 5 s = 6 r = 3 s = 6 ; r = 3 s = 6 r = 1 s = 6
Figure4.1: Illustration de l’amputation d’une colonne d’un diagramme autocomplémentaire. On voit ici deux amputations successives d’une colonne de longueur 6. À chaque étape, le diagramme résultant est autocomplémentaire.
r = 5 s = 2 ; r = 5 s = 4 r = 5 s = 4 r = 5 s = 6
Figure 4.2: Illustration de l’amputation d’une rangée d’un diagramme autocomplémentaire. Cette figure utilise la même idée que la figure4.1, mais dans le cas des rangées.
diagramme de type (r, s), on note les coordonnées (˜rj, ˜si) dans la boîte de coordonnées (i, j)
où
˜
rj ≡ r − 2(j − 1) , (4.35)
˜
si≡ s − 2(i − 1) . (4.36)
Ces données nous permettent d’introduire les deux ensembles suivants :
SΛ,s ={(i, j) ∈ Λ | lΛ∗(i, j) + 1 = ˜si} ,
RΛ,r ={(i, j) ∈ Λ | aΛ∗(i, j) + 1 = ˜rj} . (4.37)
En d’autres mots, l’ensemble S dénote toutes les boîtes où la coordonnée ˜s correspond au nombre de boîtes en dessous de celle-ci plus 1. L’ensemble R dénote pour sa part les boîtes où la coordonnée ˜r correspond au nombre de boîtes à la droite de celle-ci plus 1.
Ces ensembles permettent donc d’identifier le niveau auquel une rangée ou une colonne d’un diagramme est associée. C’est ce qui permet d’écrire la formule générale. En effet, cette formule a pu être trouvée en remarquant des similitudes entre les coefficients d’un vecteur singulier et ceux du vecteur singulier du niveau suivant. Ces similitudes et la structure des diagrammes laissaient supposer que l’ajout d’une colonne ou d’une rangée avait un effet bien déterminé sur la modification de la valeur des coefficients. Pour éviter de donner une formule récursive
permettant de calculer un vecteur singulier à partir de celui du niveau précédent, il faut pouvoir trouver une façon d’exprimer «l’origine» d’un diagramme. C’est précisément le rôle qu’ont les ensembles R et S.
Il sera aussi utile de définir l’ensemble OΛ qui est l’ensemble des indices (i, j) associés aux
cercles du diagramme Λ, ou de façon équivalente, les boîtes de Λ⊛ qui ne font pas partie de
Λ∗ :
OΛ={(i, j) ∈ Λ⊛/Λ∗}. (4.38)
5,6 5,4 3,4
3,2 1,2
Figure 4.3: Illustration des ensembles SΛ,s, RΛ,r et OΛ
La figure4.3illustre ces définitions. Il s’agit d’un diagramme où on a identifé des boîtes avec leurs coordonnées (˜rj, ˜si). Pour les boîtes appartenant à RΛ,r, la coordonnée ˜r est écrite en
caractère gras, tandis que pour les boîtes appartenant à SΛ,s, la coordonnée ˜s est en caractère
gras. On voit donc que pour ce diagramme particulier R(5,4,2,0;3,1),5 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)},
S(5,4,2,0;3,1),6 ={(2, 1), (3, 2)}. On voit finalement que les coordonnées des cercles qui définissent
l’ensemble O(5,4,2,0;3,1)sont {(1, 6), (2, 5), (4, 3), (6, 1)}.