1 2 3
0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.38 0.42 0.46 0.5r0/a
a/λ
(c)
Figure 3.4 (a) Diagramme de bandes de polarisation TE d'un cristal photonique sur verre, constitué de trous organisés en un réseau triangulaire de période a percés dans une couche d'indice 2,1. Les régions situées au-dessous du cône de lumière du substrat, entre le cône de lumière du substrat et celui de l'air, et au-dessus du cône de lumière de l'air, sont numérotées 1, 2 et 3 respectivement. (b) Schéma des pro ls verticaux des modes se propageant dans les régions 1, 2 et 3 du diagramme (a). (c) Evolution des limites en fréquence réduite a/λ de la bande interdite d'un cristal photonique sur substrat en fonction du rapport r0/a.
ayant fait l'objet de premières études théoriques lors de la thèse de Céline Vion [66].
La suite de ce chapitre est consacrée à l'étude théorique des propriétés optiques de ces cavités.
3.2 Substrat de verre et modes résonants
Les structures photoniques étudiées dans cette thèse sont déposées sur un substrat de verre. Dans le premier chapitre, nous avons vu que le diagramme de bandes d'un cristal photonique membranaire présente un cône de lumière, constitué de l'ensemble des modes non con nés par la couche guidante. Le milieu entourant la membrane étant l'air, la limite inférieure de ce cône de lumière, la ligne de lumière, est dé nie par la relation de dispersion de la lumière dans l'air : ω = c kk|k.
L'ajout d'un substrat à une structure membranaire modi e une des interfaces de la mem-brane, et le diagramme de bandes de la structure s'accompagne alors d'un second cône de
3.2 Substrat de verre et modes résonants
lumière, dont la limite inférieure est dé nie par la relation ω = c kkk /n, où n est l'indice du substrat. Les états situés au-dessus de cette limite sont couplés aux modes radiatifs du substrat. Le diagramme de bandes de polarisation transverse électrique (TE) d'un cristal photonique de paramètre r0/a = 0, 38 sur substrat de verre est présenté sur la gure 3.4(a), sur laquelle la partie en gris clair correspond au cône de lumière de l'air (ligne de lumière en rouge) et la partie en gris foncé à celui du verre (ligne de lumière en noir).
On distingue alors trois régions. Dans chacune de ces région, les modes se propagent dié-remment, leur pro l vertical étant schématisé sur la gure 3.4(b). Ces régions sont :
La région située sous le cône de lumière associé au substrat de verre (numérotée 1 sur le diagramme 3.4). Les modes situés dans cette région sont parfaitement guidés par la couche con nante, sans perte, de la même façon que dans une structure membranaire (voir chapitre 1).
La région située entre le cône de lumière associé au substrat et celui associé à l'air (numé-rotée 2 sur le diagramme 3.4). Les modes se propagent dans le cristal mais sont à présent couplés aux modes radiatifs du substrat.
La région située au-dessus du cône de lumière associé à l'air (numérotée 3 sur le diagramme 3.4). Les modes subissent des pertes à la fois dans le substrat et l'air.
La gure 3.4(c) représente l'évolution calculée avec MPB de la bande interdite d'un cristal photonique sur substrat de verre, dé nie par la largeur entre la fréquence réduite de la bande de plus basse énergie au point K de la zone de Brillouin et celle de la seconde bande de plus basse énergie au point M. Ainsi pour une valeur de a xée, l'augmentation du rayon des trous du cristal photonique r0 a deux eets :
la bande interdite se décale vers les hautes énergies. En eet, à mesure que r0 augmente, la proportion d'air dans la structure augmente. La conséquence est une diminution de l'indice eectif de la structure photonique, et donc une augmentation de l'énergie des modes conformément au théorème variationnel (voir 1.3.4).
la bande interdite s'élargit, puis se referme. Dans le chapitre 1 (1.4.3), nous avons vu que l'énergie d'un mode est liée à la distribution spatiale de son champ électrique dans le cristal photonique. Pout le mode TE de la bande de plus basse énergie, le champ électrique est distribué essentiellement dans le matériau de plus fort indice, ce qui abaisse son énergie. A l'opposé et pour respecter la condition d'orthogonalité entre les modes de même vecteur k dans la zone de Brillouin, le champ électrique du mode de la seconde bande de plus basse énergie est principalement distribué dans les trous d'indice faible, ce qui augmente son énergie. Dans un réseau de trous triangulaire, la diérence d'énergie entre ces deux modes détermine la largeur de la bande interdite TE. Ainsi, lorsque les trous sont trop petits (ou trop grands), l'énergie des deux modes est en grande partie concentrée dans le matériau de fort indice (ou d'indice faible), et l'énergie entre les deux modes n'est pas su samment contrastée pour ouvrir une bande interdite.
D'après les paramètres de nos cavités mesurés par AFM (a = 345 nm et 120 ≤ r0 ≤ 145nm), les bandes interdites pour la polarisation transverse électrique de nos échantillons sont situées dans la zone rouge sur la gure 3.4(c). La bande interdite pour r0/a = 0, 35 est centrée à 785 nm (a/λ = 0, 44) et comprise entre 730 et 855 nm ; celle formée pour r0/a = 0, 42 est centrée à 720 nm (a/λ = 0, 48) et comprise entre 680 et 760 nm. Nos échantillons présentent
Chapitre 3 : Fabrication et simulations numériques d'une cavité de cristal photonique planaire
(a) (b)
Mode de cavité
membranaire
Mode de cavité
sur substrat
x
y
z
x
y
z
Ey
1
-1
Figure 3.5 Coupes horizontales et transverses de la distribution de Ey d'un mode résonant (a) de cavité membranaire et (b) sur substrat respectivement. Le mode de cavité sur substrat s'étend d'avantage dans le substrat que le mode de cavité membranaire. Les deux cavités ont pour paramètre r0/a = 0, 3.
donc théoriquement des bandes interdites dans le domaine visible.
On remarque que le cône de lumière du substrat de verre est situé dans la bande interdite du cristal photonique. Les modes résonants de cavité étant également situés dans la bande interdite, ils seront toujours couplés de façon importante aux modes radiatifs du substrat (ie pertes dans le substrat).
Nous illustrons cela sur la gure 3.5(a) et (b), qui représentent la distribution du champ électrique Ey = E · ˆycalculée par FDTD (principe expliqué dans la section suivante) respective-ment d'un mode de cavité membranaire et de cavité sur substrat. Les coupes horizontales de ces distributions sont semblables, le con nement par le réseau entourant la cavité étant équivalent. En revanche, leur coupe transverse met en évidence la diérence dans la qualité du con nement entre les deux structures : le mode est bien con né verticalement dans la cavité membranaire, mais s'étend d'avantage dans le substrat dans la cavité sur substrat.
Le facteur de qualité d'un mode résonant est dé ni par le rapport de la puissance emmaga-sinée dans la cavité sur celle qui s'en échappe. Ainsi, la conséquence principale du con nement moins e cace induit par le substrat est une diminution du facteur de qualité du mode.
Dans la section suivante, nous décrivons le principe de la méthode de FDTD qui sera utilisé pour modéliser les cavités.