E
E
E
E
x x y yH
z(i,j) (i+1,j)
(i+1,j+1)
(i,j+1)
∆y
∆x
x
y
z
Figure 3.6 Discrétisation spatiale dans la méthode FDTD pour le cas d'une onde TE.
3.3 Méthode de FDTD
Nous cherchons à présent à caractériser numériquement les modes résonants de la cavité. Pour cela, j'utilise une méthode de FDTD ( Finite Dierence Time Domaine ) comme outil de simulation. L'avantage de cette méthode par rapport à celle des ondes planes étendues utilisée jusqu'à présent (MPB) est la possibilité de traiter des situations non périodiques dans le temps (temps de vie du mode con né) et dans l'espace (défaut). En particulier, dans le cas d'une cavité incluse dans un cristal photonique de dimensions nies, les modes résonants sont systématiquement couplés à des modes de fuite, et la FDTD nous permet d'avoir accès au spectre et au facteur de qualité du mode, relié à son temps de vie dans la cavité. Le logiciel de FDTD utilisé est le logiciel libre MEEP ( MIT Electromagnetic Equation Propagation ) développé au MIT. La description du principe et de l'utilisation de ce logiciel sont rassemblées sur le site http ://ab-initio.mit.edu/meep/.
Nous décrivons brièvement dans cette section les outils utilisés par MEEP pour le calcul de l'évolution temporelle d'un champ et du ux à travers une surface (spectre).
3.3.1 Calcul de l'évolution temporelle d'un champ
Le problème à résoudre est le calcul du champ total à chaque instant t lorsqu'une onde dépendante du temps se propage dans un cristal photonique de taille nie. Cette onde est décrite par les équations de Maxwell qui s'écrivent pour un milieu non dispersif :
Chapitre 3 : Fabrication et simulations numériques d'une cavité de cristal photonique planaire ∇ × E = −µ0∂H ∂t (3.1) ∇ × H = 0r∂E ∂t (3.2)
La bande interdite formée par nos cristaux photoniques est une bande interdite pour les ondes transverses électriques (TE). A n d'expliquer le principe de la FDTD, nous nous plaçons dans cette polarisation, pour laquelle Hx = Hy = 0et Ez = 0. Pour une telle onde, la projection sur les axes x, y et z des équations (3.1) et (3.2) donne :
0r∂Ex ∂t = ∂Hz ∂y , (3.3) 0r∂Ey ∂t = − ∂Hz ∂x , (3.4) −µ0∂Hz ∂t = ∂Ey ∂x − ∂Ex ∂y , (3.5)
La FDTD consiste à discrétiser les équations de Maxwell dans l'espace et le temps par la méthode des cellules de Yee [108] et dont une cellule unitaire à deux dimensions est présentée sur la gure 3.6. La cellule ici est un carré de dimensions ∆x∆y, avec ∆x et ∆y la résolution spatiale suivant les axes x et y1, dans lequel les composantes du champ électrique et magnétique de l'onde TE sont calculées à des points bien précis, sur les arêtes et au centre respectivement. Ainsi, pour un point de coordonnées (i,j) (coin en bas à gauche du carré), la composante Ex est calculée au point (i + 1/2, j) et la composante Ey au point (i, j + 1). La composante Hz est calculée au point (i + 1/2, j + 1/2). Les diérentes composantes de l'onde TE sont donc calculées à des points séparés d'un demi pas de la résolution spatiale, c'est-à-dire ∆x/2.
De la même façon, Ex et Ey sont calculés à diérents instants de Hz, ces instants étant séparés par un demi pas de temps ∆t/2 (discrétisation dans le temps). Si les composantes du champ électrique sont calculées à l'instant t = n∆t, Hz est calculé à l'instant t = (n + 1/2)∆t. On remplace alors dans les équations de Maxwell les dérivées spatiales et temporelles par des diérences nies centrées de la forme :
df
du(u0) =
f (u0+ ∆u) − (f (u0) − ∆u) 2∆u
ce qui permet de réecrire par exemple l'équation (3.5) de la façon suivante :
µ0Hz|n+1/2i+1/2,j+1/2− Hz|n−1/2i+1/2,j+1/2 ∆t = − Ey|n i+1,j+1/2− Ey|n i,j+1/2 ∆x + Ex|n i+1/2,j+1− Ex|n i+1/2,j ∆y 1. ici ∆x = ∆y
3.3 Méthode de FDTD puis : Hz|n+1/2i+1/2,j+1/2=Hz|n−1/2i+1/2,j+1/2 − 1 µ0 ∆t ∆x[Ey|n i+1,j+1/2− Ey|n i,j+1/2] + 1 µ0 ∆t ∆x[Ex|n i+1/2,j+1− Ex|n i+1/2,j] (3.6)
Les diérenciations des équations (3.3) et (3.4) se construisent de la même façon. Ainsi, le champ Hz à l'instant (n + 1/2)∆t est calculé avec les champs Ex et Ey eux-mêmes calculés à l'instant n∆t, puis les champs Ex et Ey à l'instant (n + 1)∆t sont déduits du champ Hz calculé à l'instant (n + 1/2)∆t, et ainsi de suite. En quadrillant l'espace de simulation par des cellules de Yee, les composantes de l'onde TE sont donc calculées dans le temps de façon itérative en tout point de la grille.
Une densité de courant (terme de source) séparable en temps et en position J(x, t) = A(x)·f (t)est ajoutée à ces équations pour simuler le champ incident. La source J est équivalente à un dipôle et A(x) est pris uniforme. Nous utilisons comme source une impulsion gaussienne en temps de la forme f(t) = exp(−iωt − (t − t0)2/(2w2)) où w détermine la largeur. La forme de la source peut être dé nie comme ponctuelle, linéique ou planaire.
3.3.2 Calcul du ux à travers une surface
Le logiciel MEEP permet de calculer le ux du champ électromagnétique à travers une surface dont nous dé nissons la position et les dimensions. Typiquement, placer une structure photonique entre la source et la surface dé nie permet, en calculant la puissance transmise à travers cette surface, de simuler le spectre de transmission de la structure. Ce calcul est eectué en deux étapes :
1. en chaque point de la surface dé nie, MEEP calcule les transformées de Fourier E(ω) et H(ω) par rapport au temps. Par exemple, pour un point (x,y) de la surface donné, la transformée de Fourier du champ électrique E(x, y, ω) s'écrit :
E(x, y, ω) = √1 2π
Z
eiωtE(x, y, t)dt (3.7)
2. le ux P (ω) à travers la surface et à une fréquence ω donnée est alors déduit en calculant l'intégrale du vecteur de Poynting (dans la direction ˆn à la surface) de ces transformées de Fourier : P (ω) = Re ˆ n Z E(x, y, ω)∗× H(x, y, ω)d2x (3.8) L'équation (3.8) appliquée sur une gamme de fréquence permet d'obtenir un spectre.
Chapitre 3 : Fabrication et simulations numériques d'une cavité de cristal photonique planaire
3.3.3 Conditions aux limites
En n, pour simuler l'interaction d'une onde électromagnétique avec une structure de di-mension nie mais dans un espace ouvert, MEEP permet l'inclusion d'une PML ( Perfectly Matched Layer ), couche absorbante modélisée de façon à ce que le champ ne soit pas ré échi à son contact. Sa description mathématique est donnée dans les références [109,110]. Entourer la structure simulée d'une telle couche permet de tronquer l'espace de simulation et donc de ré-duire les temps de calcul, sans introré-duire d'interférences entre des ondes incidentes et ré échies qu'induisent l'utilisation d'une couche absorbante ordinaire.