ϕ · (x1, . . . , xn) = (ϕ(x1), . . . , ϕ(xn)), et
ϕ · (x1, . . . , xn; w1, . . . , wn) = (ϕ(x1), . . . , ϕ(xn); dϕ(x1)w1, . . . , dϕ(xn)wn),
pour (x1, . . . , xn) ∈ Mnet wi∈ TxiM pour tout i = 1, . . . , n. L’application π est ´equivariante : on a bien
ϕ · (x1, . . . , xn) = π(ϕ · (x1, . . . , xn; w1, . . . , wn)).
5.2
Structure sous-riemannienne relev´ee
La structure sous-riemannienne relev´ee induite sur ˆS par (V, h·, ·i) et π est une structure pour laquelle les courbes horizontales sur ˆS sont exactement les rel`evements minimaux de courbes horizontales sur S. Elle est d´efinie par ( ˆS × V, ζ, h·, ·i), avec
ζqˆ= Πqˆξqˆ,
o`u
Πqˆ= ξqˆξπ−1qˆdπˆq
est la projection orthogonale sur (ker dπqˆ∩ ∆qˆ)⊥comme introduit dans le lemme 5.1. L’action
et la longueur des courbes co¨ıncident avec celles de la structure sous-riemannienne non relev´ee. Remark 5.1. L’application q 7→ ζq n’a aucune raison d’ˆetre r´eguli`ere. Mˆeme en dimension finie, il suffit que le rang de ξπ(ˆq) varie pour que ζ ne soit pas continue en q.
Proposition 5.2. Le rel`evement minimal d’une g´eod´esique minimisante est une g´eod´esique minimisante pour la structure sous-riemannienne relev´ee (voir section 5).
Comme Πq est difficile `a calculer directement, on utilise g´en´eralement un point de vue dual pour trouver des rel`evements minimaux.
Lemme 5.2. Soient ˆq ∈ ˆS, q = π(ˆq), et u ∈ Tq∗S. Alors
ζqˆKVξ∗qu = ξqˆKVξq∗u.
En particulier, un rel`evement minimal `a ˆS d’une courbe t 7→ q(t) sur S telle que ˙q(t) =
Kq(t)u(t) presque partout satisfait ˙ˆ
q(t) = ξq(t)ˆ KVξq(t)∗ u(t), p.p. t.
Cette courbe est donc horizontale pour la structure relev´ee.
Voir section 9.3.4 pour la preuve.
Exemple 5.2. On suppose que M = Rd. Soient S = Lmkn(Rd), ˆS = T S, et π : T S → S. Soit
ˆ
q0 = (q0, w0) = (x1,0, . . . , xn,0; w1,0, . . . , wn,0) ∈ T S.
En utilisant un point de vue dual pour une courbe horizontales t 7→ q(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) partant de q0 sur S, on obtient pour tout temps t des vitesses de la forme
˙ xi(t) = n X j=1 K(xi(t), xj(t))uj(t), i ∈ {1, . . . , n}
et u(t) = (u1(t), . . . , un(t)) ∈ Tq(t)∗ S = Tx∗1M × · · · × T ∗ xnM. De plus, KVξq(t)∗ u(t)(x) = n X j=1 K(x, xj(t))uj(t).
Donc, l’unique rel`evement minimal t 7→ ˆq(t) = (q(t), w(t)) `a ˆS de la courbe q partant de ˆq0
est donn´e par la solution de l’´equation diff´erentielle ˙ xi(t) = n X j=1 K(xi(t), xj(t))uj(t) ˙ wi(t) = n X j=1 ∂1(K(xi(t), xj(t))uj(t))wi.
5.3
Equation hamiltonienne des g´´
eod´esiques
5.3.1 Hamiltonien et hamiltonien r´eduit
On va se restreindre `a la recherche de g´eod´esiques normales. Consid´erons le hamiltonien
Hπ1 : T∗S × V → R d´efini parˆ Hπ1(ˆq, ˆp, X) = ˆpζqˆX − 1 2hX, Xi . Alors 0 = ∂XHπ(ˆq, ˆp, X) = ζqˆ∗p − hX, ·iˆ ´ equivaut `a X = KVζq∗ˆp = Kˆ Vξ∗ˆqΠ∗qˆp.ˆ Le hamiltonien r´eduit est donn´e par
hπ(ˆq, ˆp) = 1 2pζˆ qˆK Vζ∗ ˆ qp.ˆ `
A premi`ere vue, ce hamiltonien (et ses d´eriv´ees ´eventuelles) est extrˆemement difficile `a cal- culer. Dans [AT], on lui a donn´e une forme un peu plus simple sous certaines conditions, qui nous a permis de prouver la version suivante de l’´equation hamiltonienne des g´eod´esiques. Elle s’appuie sur le lemme 5.2.
Proposition 5.3. Supposons que ζ soit lisse, et que l’´equation lin´eaire en u ∈ Tπ(ˆ∗q)S sui-
vante :
Kπ(ˆq)u = ξπ(ˆq)KVξ∗qˆp,ˆ
ait au moins une solution u pour tout (ˆq, ˆp) ∈ T∗S. Alors, pour un tel u,ˆ hπ(ˆq, ˆp) = 1 2uKπ(ˆq)u. Soit maintenant (ˆq, ˆp, u) ∈ H1× H1× L2(0, 1; T∗S ⊕ˆ ˆ S π∗T∗S)
5.3. ´EQUATION HAMILTONIENNE DES G ´EOD ´ESIQUES 73
tel que, pour presque tout t,
Kπ(ˆq(t))u(t) = ξπ(ˆq(t))KVξq(t)∗ˆ p(t)ˆ ˙ˆ q(t) = ξqˆ(t)KVξπ(ˆ∗ q(t))u(t), ˙ˆ p(t) = −(ˆp(t) − 1 2dπ ∗ ˆ q(t)u(t))(∂qˆKq(t)ˆ dπq(t)∗ˆ )u(t) − (ˆp(t) − dπ∗pq(t)ˆ u(t))Kq(t)ˆ (∂qˆdπˆq(t))∗u(t).
Alors ˆq est une g´eod´esique pour la structure relev´ee par π sur ˆS.
Voir section 9.3.4 pour la preuve. Dans la section 9.3.5, on utilise cette forme de l’´equation hamiltonienne pour donner quelques exemples de g´eod´esiques dans des espaces de formes relev´es de dimension finie.
Remark 5.2. On peut ´egalement mod´eliser les structures relev´ees en rajoutant des contraintes de la forme CqˆX = 0 plutˆot qu’en d´efinissant une nouvelle structure sous-riemannienne. On va ´etudier ce type de probl`eme dans la section suivante, et on trouvera des ´equations tr`es similaires `a celles de la proposition 5.3.
Chapitre 6
Espaces de formes avec contraintes
Les r´esultats de ce chapitre sont tir´es des deux premi`eres parties de [ATTY13], reproduit dans les sections 10.1 et 10.2.La structure d’espace de formes peut ˆetre utilis´ee pour faire des ´etudes statistiques sur une famille d’objets d´eformables. Par exemple, en anatomie computationnelle, on les utilise pour comparer les cerveaux de diff´erents patients les uns avec les autres. L’avantage d’uti- liser les espaces de formes pour mod´eliser les d´eformations d’un objet physique est que les algorithmes de minimisation sont relativement simples `a impl´ementer. Beaucoup plus, par exemple, que des mod`eles se basant sur une analyse des lois qui r´egissent la dynamique de l’objet `a mod´eliser. En contrepartie, on perd en qualit´e de mod´elisation. Les d´eformations par diff´eomorphismes pr´eservent tout de mˆeme des aspects g´eom´etriques locaux et globaux des objets ´etudi´es (nombre d’intersections, r´egularit´e) qui rendent souvent ces pertes acceptables.
L’ajout de contraintes sur les d´eformations possibles permettrait d’am´eliorer la mod´elisation. Par exemple, si on veut ´etudier plusieurs objets ind´ependants, plong´es dans un milieu continu, de mani`ere simultan´ee, cela n’a pas de sens de les d´eformer tous `a l’aide d’un mˆeme diff´eomorphisme : il faut utiliser un diff´eomorphisme diff´erent pour chaque objet, et un pour le milieu. Toute- fois, si on veut conserver les propri´et´es du syst`eme, il faut ajouter des contraintes for¸cant les fronti`eres des objets `a co¨ıncider avec celles du milieu ambiant.
Pour r´esoudre un tel probl`eme, nous allons utiliser le language de la th´eorie du contrˆole optimal [AS04, Tr´e08] plutˆot que celui de la g´eom´etrie. De plus, on travaillera dans Rdplutˆot que dans une vari´et´e `a g´eom´etrie born´ee quelconque, et sur un espace de formes S qui est un ouvert d’un espace de Banach B. C’est dans ce contexte qu’est ´ecrit [ATTY13].
On va commencer par poser rigoureusement le probl`eme de contrˆole optimal contraint. On conserve les notations des deux chapitres pr´ec´edents. On cherche `a comparer deux ´etats q0, q1
d’un mˆeme espace de formes. Si S est de dimension infinie, il est tr`es rare d’avoir q1 ∈ Oq0.
Donc, plutˆot que de chercher une g´eod´esique horizontale reliant q0 `a q1, on va minimiser une fonctionnelle de la forme
J (X) = A(ϕX, X) + g(q(1)) =
Z 1
0
hX(t), X(t)i dt + g(ϕX(1) · q0).
Dans la formule ci-dessus, on a pris X ∈ L2(0, 1; V ) avec V un espace de champs de vecteurs `
a noyau reproduisant, ϕX le flot de X, et t 7→ q(t) = ϕX(t) · q0 la courbe horizontale correspondante sur S partant de q0. La fonction g : S → R est une fonction d’attache aux donn´ees mesurant la diff´erence entre ϕX(1) · q0 et un ´etat cible q1, voir [GTY, VG05] pour
des exemples de telles foncitons.
Pour ajouter des contraintes, on d´efinit ´egalement C : S → L(V, Y ), avec Y espace de Banach, et on minimisera J sur le sous-ensemble des X tels que, pour presque tout t ∈ [0, 1],
Cq(t)X(t) = 0. 75
Une fois le cadre correctement pos´e, on voit que sous des hypoth`eses tr`es faibles, ce probl`eme contraint admet bien une solution. On verra ´egalement que, dans la plupart des cas, les solutions du probl`eme de minimisation avec contraintes sur un espace de formes de dimension infini peuvent ˆetre approch´ees par une suite de solutions de probl`emes sur des espaces de formes de dimension finie.
On donne ensuite une variante en dimension infinie du principe du maximum de Pon- tryagin qui donne des conditions de minimisation au premier ordre sur les contrˆoles. Un des avantages de minimiser une fonctionnelle J (X) = A(X) + g(ϕX(1) · q0), plutˆot que de minimi-
ser l’action `a extr´emit´es fix´ees est que tous les minimiseurs satisfont un ´equivalent contraint de l’´equation hamiltonienne des g´eod´esiques. On n’aura pas `a s’inqui´eter des minimiseurs singuliers ou ´elusifs par exemple (voir section 2.5).