h(q, p) = max u∈HqH 1(q, p, u) = max u∈Hq(pξqu − 1 2gq(u, u)). Th´eor`eme 1.5. G´eod´esiques normales.
Soit (q0, p0) ∈ T∗M . Il existe une unique courbe maximale (q, p) : I 3 0 → T∗M de classe
Hloc1 , telle que
( ˙q(t), ˙p(t)) = ∇ωh(q(t), p(t)) p.p. t ∈ [0, 1].
Alors q est la trajectoire du syst`eme horizontal (q, u(q, p)), et est une g´eod´esique : elle mini- mise localement la longueur `a extr´emit´es fixes. De plus,
t 7→ gq(t)(u(q(t), p(t)), u(q(t), p(t))) = k ˙q(t)k2q(t) est constante.
On dit que (q, p) satisfait l’´equation hamiltonnienne des g´eod´esiques.
La preuve est assez longue, et on ne la d´etaillera pas car nous allons prouver une version plus g´en´erale en dimension infinie. Pour des preuves en dimension finie, voir le chapitre 1 de [Mon02] pour le cas o`u ξ est injective, et le chapitre 17 de [AS04] pour le cas g´en´eral.
Chapitre 2
G´eom´etrie sous-riemannienne en
dimension infinie
Dans ce chapitre, nous d´ecrivons nos travaux les plus r´ecents. Comme le papier correspon- dant est encore en cours de r´edaction, nous fournissons les preuves compl`etes des r´esultats nouveaux ´enonc´es.
Le but principal est d’´etendre la g´eom´etrie sous-riemannienne `a la dimension infinie. Pour des applications `a venir, nous voulions consid´erer un cas tr`es g´en´eral. Par exemple, il ´etait important d’avoir la possibilit´e d’´etudier une distribution ∆ de sous-espaces tangents qui ne soit pas ferm´ee dans le fibr´e tangent.
Pour cela, nous commen¸cons par d´efinir les structures sous-riemanniennes par le biais de fibr´es tangents relatifs, comme dans la section 1.2. Puis, apr`es avoir mentionn´e une g´en´eralisation d´ej`a connue du th´eor`eme de Chow-Rashevski, nous donnerons des exemples simples qui montrerons quelques-unes des difficult´es qui peuvent apparaˆıtre en dimension infinie.
On s’attaquera ensuite `a la recherche des g´eod´esiques. Les structure sous-riemanniennes faibles posent particuli`erement probl`eme, car l’´equation ∂uH1 = 0 n’a pas toujours de so- lution, et le hamiltonien normal n’est donc pas d´efini sur tout l’espace cotangent de notre vari´et´e. Il nous faudra introduire des sous-fibr´es vectorielles dense dans celui-ci, appel´es fibr´es cotangents relatifs, sur lesquels ∂uH1= 0 a toujours des solutions. On devra se restreindre `a de tels fibr´es pour r´esoudre l’´equation hamiltonienne des g´eod´esiques.
On prouvera ensuite notre r´esultat principal : les courbes satisfaisant cette ´equation hamil- tonienne sont des g´eod´esiques locales. On appliquera ces r´esultats `a un exemple de g´eom´etrie sous-riemannienne faible sur le groupe des diff´eomorphismes de Rdde classe de Sobolev Hs,
s > 1 + d/2.
Quelques exemples de structures sous-riemanniennes fortes sont trait´es plus en d´etails dans les prochaines parties et dans les preprints [ATTY13, AT].
2.1
D´efinitions
En dimension infinie, alors que la g´eom´etrie riemannienne est tr`es ´etudi´ee [EM70, KM97, Cla09], avec par exemple des applications en m´ecanique des fluides [EM70, MP10], le cas sous-riemannien est un domaine tr`es peu explor´e. On a tout de mˆeme quelques r´esultats de contrˆolabilit´e dans le groupe des diff´eomorphismes par Agrachev et Caponigro [AC09]. Une pr´e-publication de Grong, Markina et Vasil’ev, disponible sur arxiv [GMV12], calcule certaines g´eod´esiques dans le cas particulier d’une distribution r´eguli`ere ∆ de sous-spaces tangents ferm´es, admettant un fibr´e suppl´ementaire lisse et ferm´e, et dont la m´etrique est la restriction d’une m´etrique riemannienne faible admettant un flot g´eod´esique.
2.1.1 Structure sous-riemannienne sur une vari´et´e de Banach
Soit donc M une vari´et´e de Banach. On d´efinit une structure sous-riemannienne sur M de fa¸con analogue `a la dimension finie (d´efinition 1.5).
D´efinition 2.1. Une structure sous-riemannienne sur une vari´et´e de Banach M est un triplet (H, ξ, g), o`u H est un fibr´e vectoriel lisse de Banach sur M , ξ est un morphisme lisse de fibr´es vectoriels de H sur M (donc (H, ξ) est un espace tangent relatif sur M ), et g est une m´etrique riemannienne lisse sur H, c’est-`a-dire que g d´efinit sur chaque fibre Hq une
forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie positive.
Une premi`ere diff´erence avec la dimension finie est la dichotomie entre le cas des structures dites fortes, et celui des structures faibles.
D´efinition 2.2. Une structure sous-riemannienne (H, ξ, g) sur une vari´et´e de Banach M est dite forte si la topologie intrins`eque des fibres Hq co¨ıncide avec la topologie d´efinie par
gq pour tout q ∈ M . Dans ce cas, (hq, gq) est un espace de Hilbert. Elle est dite faible dans
le cas contraire.
Remark 2.1. C’est une dichotomie bien connu dans les vari´et´es riemanniennes de dimension infinie [KM97, Cla09]. Comme nous le verrons plus tard, un des principaux obstacles pour obtenir des g´eod´esiques est que, pour une m´etrique faible, l’´equation
gq(u, ·) = ξ∗qp (2.1)
n’a pas toujours de solution, puisque l’op´erateur u 7→ gq(u, ·) n’est pas forc´ement surjectif de Hq sur H∗q.
Dans toute la suite, on fixe M une vari´et´e de Banach lisse ´equip´ee d’une structure sous- riemannienne (H, ξ, g). On notera ´egalement ∆ = ξ(H) ⊂ T M.
2.1.2 Courbes horizontales, action et longueur
Pour faire plus simple, on va se restreindre aux courbes horizontales de classe de Sobolev
H1. Une courbe q ∈ H1(I; M ), I intervalle, est horizontale s’il existe (q, u) ∈ H1× L2(I; H)
au-dessus de q tel
˙
q(t) = ξq(t)u(t), p.p. t ∈ I.
Remark 2.2. Lorsqu’on note (q, u) ∈ H1×L2(I; H), cela signifie que u est de carr´e int´egrable
pour la topologie de Banach intrins`eque sur H, et non au sens de la m´etrique g.
On appelle un tel couple t ∈ I 7→ (q(t), u(t)) ∈ H un syst`eme horizontal, q sa trajectoire et u son contrˆole. On d´efinit ´egalement la longueur
L(q, u) = Z I q gq(t)(u(t), u(t))dt, et l’action A(q, u) = 1 2 Z I gq(t)(u(t), u(t))dt d’un tel syst`eme, ainsi que l’action
AM(q) = inf
u, (q,u) horizontalA(q, u), et la longueur
LM(q) = inf
u, (q,u) horizontalL(q, u) de toute courbe horizontale, comme en section 1.2.
2.1. D ´EFINITIONS 31 Remark 2.3. Il n’existe pas forc´ement de contrˆole u tel que AM(q) = A(q, u), contrairement `
a ce qu’il se passe en dimension finie. Toutefois, si un tel u existe, il est unique, d´etermin´e pour presque tout t par
∀v ∈ ker ξq(t), gq(t)(u(t), v) = 0.
Pour ˆetre assur´e de l’existence d’un tel u, il faut que ker ξ admette un fibr´e suppl´ementaire orthogonal (ker ξ)⊥. C’est par exemple vrai pour une structure forte, ou si ξ est injective.
2.1.3 Distance sous-riemannienne
On peut de mˆeme d´efinir la distance sous-riemannienne d(q0, q1) comme l’infimum des
longueurs des syst`emes horizontaux dont la trajectoire relie q0 et q1. Toutefois, d n’est `a priori qu’une semi-distance lorsque la structure est faible : on peut ´eventuellement avoir
d(q0, q1) = 0 et q06= q1.
Proposition 2.1. Pour une structure forte, la topologie induite par d est plus fine que la
topologie intrins`eque de M . En cons´equence, c’est une vraie distance :
∀q0 6= q1∈ M, d(q0, q1) > 0.
Preuve. Soient q0 ∈ M et U un syst`eme de coordonn´ees au voisinage de q0, identifi´e `a un ouvert d’un espace de Banach (B, k · kB) dans lequel q0 est identifi´e `a 0. Il faut montrer qu’il
existe C > 0 tel que pour tout ε > 0 assez petit, et pour tout q1 ∈ U tel que kq1kB = ε,
d(0, q1) ≥ Cε.
On trivialise H|U ' U × H au-dessus de U . Comme ξ est continue, il existe alors ε0, C > 0
tels que
∀(q, u) ∈ U × H, kqk ≤ ε0 ⇒ CkξqukB≤
q
gq(u, u) (2.2) Soit q1tel que kq1kB= ε < ε0. On va montrer que tout syst`eme horizontal dont la trajectoire
relie q0 et q1 a une longueure sup´erieure `a Cε.
Soit I = [a, b] un intervalle de R, et (q, u) : I → H un syst`eme horizontal tel que q(a) = q0
et q(b) = q1. Comme q est continue, il existe au moins un t ∈ [a, b] tel que kq(t)kB= ε. Soit tε le premier d’entre eux. Pour tout t ∈ [a, tε], on obtient kq(tε)kB ≤ ε. On peut donc appliquer (2.2) et obtenir Cε = Ckq(tε)kB≤ Z tε a Ckξq(t)u(t)dtkBdt ≤ Z tε a q gq(t)(u(t)u(t))dtkBdt ≤ L(q|[a,tε], u|[a,tε]) ≤ L(q, u).
2.1.4 G´eod´esiques locales
On d´efinit un nouveau type de g´eod´esiques n’ayant d’int´erˆet qu’en dimension infinie et pour des structures faibles.
D´efinition 2.3. Une g´eod´esique locale est une courbe horizontale q : I → M telle que,
pour t0 < t1 assez proches, il existe un voisinage U de q([t0, t1]) tel que q|[t0,t1] minimise la
longueur parmi toutes les courbes horizontales `a valeurs dans U reliant q0 et q1.
Dans le cas d’une structure faible, une g´eod´esique locale n’est pas forc´ement une g´eod´esique au sens habituel, mˆeme dans le cas riemannien [Cla09]. En revanche, si la structure est forte, on voit facilement que les deux notions co¨ıncident en utilisant la mˆeme m´ethode que dans la preuve de la proposition 2.1.