Le code SPH que j’ai utilisé pour mes simulations hydrodynamiques a été développé depuis 2001 au sein de l’équipe dirigée par Jean-François Gonzalez à l’Observatoire de Lyon. Au cours de sa thèse, Laure Fouchet a adapté le code de Murray (1996) initialement développé pour l’étude des disques d’accrétion dans les variables cataclysmiques au cas des disques protoplananétaires. La nouveauté majeure a été l’ajout d’un deuxième fluide qui simule la poussière (Barrière-Fouchet, 2005). Cette approche est particulièrement in-téressante car elle est auto-cohérente dans le sens où on traite simultanément l’évolution du gaz et de la poussière. En particulier, les effets de la poussière sur le gaz sont inclus dans ce schéma numérique. Dans un deuxième temps, Guillaume Laibe a implémenté la croissance des grains dans le disque (Laibe, 2009). Ce code a été amélioré dans un troi-sième temps par Elisabeth Crespe et Serena Arena qui ont raffiné l’initialisation du disque et le rendement du code. Plus récemment, Jean-François Gonzalez a ajouté la fragmenta-tion des grains, définie comme une variafragmenta-tion négative de la taille, afin d’étudier différents régimes de croissance dans le disque.
2.4.1 Initialisation et fonctions de lissage utilisées
La phase d’initialisation se divise en deux parties : on construit d’abord le profil de densité voulu pour le disque en fonction des paramètres du fichier d’entrée grâce à la mé-thode d’échantillonnage aléatoire et on tabule les fonctions de lissage utilisées. Ensuite, on effectue un premier calcul des forces de pression et de la viscosité pour le gaz. Il est important de noter que dans les simulations la poussière est injectée une fois que le disque de gaz a atteint un état stationnaire et que les forces de friction sont calculées à ce mo-ment là. Une fois ces deux étapes achevées on calcule alors la densité volumique pour les deux fluides en utilisant l’Eq. (2.2) et on commence le calcul de l’évolution de deux fluides. Le code utilise la fonction de lissage cubique de la Sect. 2.2 pour l’interpolation des champs physiques et la fonction de lissage à double bosse pour le calcul des forces de friction. Ce choix est motivé par Laibe & Price (2012a) qui montrent que de cette façon l’interpolation des forces de friction est améliorée d’un facteur de plusieurs centaines comparé à celle obtenue avec une fonction de lissage cubique. De plus, ce gain spectaculaire en précision ne nécessite aucun coût supplémentaire en termes de temps de calcul.
2.4.2 Intégrateur numérique et pas de temps
Il existe dans le disque deux échelles de temps différentes qui ne sont pas du même ordre de grandeur : d’une part, il y a l’échelle de temps dynamique, notée tdyn, due à la gravité ; et d’autre part, l’échelle de temps qui correspond aux forces de pression et à la viscosité du fluide, notée tpr, qui est nettement plus coûteuse en temps de calcul. Ainsi, il convient de faire le calcul de tpr que lorsque cela est vraiment nécessaire en applicant la technique
2.4. Structure du code SPH 65 de séparation des variables. Lors du développement du code, Laure Fouchet a implementé un schéma numérique symétrique symplectique développé par James Murray (Barrière-Fouchet, 2005). Il s’agit de résoudre le système d’équations différentielles suivant :
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ d r dt = v d v dt = agrav+ apr (2.60)
où agrav est l’accélération gravitationnelle et apr est l’accélération due aux forces de pres-sion et de viscosité. Étant donné un pas de temps Δt, ce schéma numérique intègre une première fois l’équation du mouvement sur un demi pas de temps Δt/2 en ne tenant compte que des forces de pression et de viscosité de la façon suivante :
vi(t + Δt/2)− vi(t)
Δt/2 = apr( ri(t), vi(t)) . (2.61) À l’issue de cette étape appelée poussée (ou kick en anglais), seule les vitesses ont été mises à jour. L’étape suivante, appelée dérive (ou drift en anglais) consiste à intégrer l’équation du mouvement sur un pas de temps complet en tenant compte des forces de gravité seulement : ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ri(t + Δt)− ri(t) Δt = vi(t + Δt/2) , vi∗(t + Δt)− vi(t + Δt/2) Δt/2 = agrav( ri(t), vi(t + Δt/2)) . (2.62)
À ce stade, la vitesse a été modifiée avec un demi pas de temps pour la pression et avec un pas de temps entier pour la gravité, et les positions ont été mises à jour en tenant compte des forces de gravité. Enfin, il y a une dernière étape de poussée sur un demi pas de temps : vi(t + Δt)− v∗ i(t + Δt) Δt/2 = apr( ri(t + Δt), v ∗ i(t + Δt)) . (2.63)
L’implementation de ce schéma numérique rend le code environ 10 plus rapide et, à condi-tion de prendre le plus petit pas de temps déterminé par la condicondi-tion de Courant6, il donne des résultats numériques stables.
Ce choix de pas de temps est à faire parmi les deux qui sont impliqués dans la simu-lation et qui sont définis selon la force considérée : le pas de temps de pression (δtpr) et celui de gravité (δtgrav). Ces deux pas de temps sont données par les expressions suivantes (Monaghan & Kocharyan, 1995) :
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ δtpr = min a h ca+ 0.6αSPH¯cab , δtgrav = min a h | aa| , (2.64)
où les indices a et b font référence aux particules SPH et aa est l’accélération de la particule a. Dans les simulations, le pas de temps de friction aérodynamique est fixé en 6. la condition de Courant est définie comme la borne supérieure du nombre de CourantC = vΔt/Δx requis pour la résolution de l’équation différentielle en question.
en choisissant le nombre de cycles fait sur la routine qui calcule cette force. Le pas de temps de gravité est établi dans la méthode de la technique de séparation de variables en faisant un nombre d’itérations suffisant pour que la solution soit en dessous d’un certain seuil de précision fixé à la main. Tous les détails numériques ainsi que les limitations du code sont présentés en détail dans Barrière-Fouchet (2005).
2.4.3 Croissance des grains dans le code
On décrit ici de façon succincte l’implementation du modèle de croissance de Ste-pinski & Valageas (1997) dans le code faite par Guillaume Laibe pendant sa thèse et décrite en détail dans (Laibe, 2009). Ce modèle est basé sur l’évolution radiale des solides composés essentiellement de glace dans des disques géométriquement minces, turbulents, non auto-gravitants et verticalement isothermes. Les phases de gaz et de poussière sont considérées en interaction aérodynamique dans le régime d’Epstein (cf. Sect. ??). Physi-quement, les grains croissent par coagulation lors de collisions successives comme discuté dans la Sect. 1.4.1. Dans le modèle de Stepinski & Valageas (1997) la distribution de tailles à un rayon et à un temps donnés est piquée autour d’une valeur moyenne locale
s(r, t). En ce sens, la méthode SPH où les particules représentent les propriétés moyennes
du fluide traite de façon cohérente la croissance des grains suggérée par ce modèle. L’expression analytique pour l’evolution de la taille s d’une particule est donnée par :
ds dt = √ 22/3Ro αρˆd ρdcs √ Sc− 1 Sc , (2.65)
où Ro est le nombre de Rossby qui quantifie la turbulence du disque, α est le paramètre de viscosité de Shakura & Sunyaev (1973) et Sc est le nombre de Schmidt du fluide qui estime l’effet de la turbulence du gaz sur les grains. Les auteurs définissent Sc comme suit : Sc = (1 + ΩKts) 1 + ¯v 2 V2 t (2.66) où ¯v est la vitesse relative moyenne entre le gaz et la poussière et Vt une vitesse turbulente caractéristique. Au premier abord, il semblerait que le taux de croissance des grains de l’Eq. (2.65) ne dépende pas explicitement de la taille des grains. Cependant, il est im-portant de remarquer que le nombre de Schmidt défini par l’Eq. (2.66) dépend du temps d’arrêt ts = ρds/ρgcs, qui lui dépend explicitement de la taille.
Du point de vue du code, le calcul du taux de croissance pour une particule donnée se fait en évaluant les conditions locales du gaz à l’endroit où se trouve la particule et notamment la vitesse relative moyenne entre le gaz et la poussière. Ainsi à chaque pas de temps, la taille de la particule SPH augmente en fonction de la position de la particule. Plus récemment, suite aux expériences en laboratoire sur les vitesses de fragmentation lors des collisions entre les grains (cf. Sect. 1.4.1), Gonzalez et al. (2015) ont exploré les différents régimes de croissance en ajoutant la fragmentation des grains. Celle-ci a lieu lorsque les vitesses relatives entre la particule et le gaz dépasse une certaine valeur limite fixée qui dépend des propriétés chimiques des grains considérés.