Strat´egie de r´esolution du probl`eme g´en´eralis´e aux valeurs propres pour la struc-

: , on obtient ƒ (')ª $u(')t7 $ F(') < (II.91)

avec$F(') le vecteur des composantes complexes harmoniques des forces, et ƒ (')ª la matrice de rigidit´e dynamique exprim´ee dans la base des composantes complexes harmoniques tel que

$ F 7q^
: F < (II.92) ƒ (')ª 7a…À' !

1 @|]#'e¦€ œ|RA Æ„|^€ 8= (II.93)

Dans l’´equation (II.92), les matrices 1 , A , € et€ sont les matrices diagonales blocs, dont les blocs

diagonaux sont donn´ees par les ´equations (II.89) et (II.90).

Le probl`eme d’´elastodynamique d´efini par l’´equation (II.70) et de dimension6  M¥Ít6  M(, est remplac´e

par- sous-probl`emes de dimension 6Í 6§ , not´es „

3 , avec6 dansH$cœ<===<ô-°…

Ÿ

I , et s’´ecrivant :

pour' fix´e dans _ , trouver$u3 dansA

3 tel que ƒ (')ª 33 $ u3 (')„7 $ F3 (') = (II.94)

La solution physique du probl`eme d’´elastodynamique est reconstruite par l’´equation (II.81).

Il est `a noter que les probl`eme„

3 correspondent `a la discr´etisation ´el´ement fini des probl`emes9

3 d´efinis

par l’´equation (II.50).

5.4 Strat´egie de r´esolution du probl`eme g´en´eralis´e aux valeurs propres

pour la structure `a sym´etrie cyclique

Ce paragraphe correspond `a la discr´etisation ´el´ement fini du probl`eme g´en´eralis´e aux valeurs propres

d´efini dans le paragrapheÜÅ=O/ .

En n´egligeant les forces de couplage gyroscopiques ñ'Ùml u(') , le probl`eme g´en´eralis´e aux valeurs

propres associ´e au syst`eme m´ecanique conservatif et homog`ene s’´ecrit :

trouver: < …  avec … dans4

3 ffg

tel que

Âo ¶…†: k $Ƈ… 7uc = (II.95)

Il est `a noter que les matrices k et o ´etant sym´etriques d´efinies positives, on a

Les valeurs propres positives : @ <¢éT7

Ÿ

<L/@<===, sont ordonn´ees par valeurs croissantes indic´ees ené . Les vecteurs propres associ´es v´erifient les propri´et´es d’orthogonalit´e

… —@ k 4… B 7^ @ B < … —@ o 4… B 7ˆ: @  @ B = (II.97)

Le probl`eme aux valeurs propres d´efini par l’´equation (II.95) et de dimension 6  M¹Í¡6  M est remplac´e

par- sous-probl`emes de dimension 6Í 6§ not´es ‰

3 avec6 dansH$cœ<===±<ô-C… Ÿ I , et s’´ecrivant : trouver: 3 < $ … 3  avec $ … 3  dansA 3 , tel que ÂF€ 3±3 …J: 3 1 33 Æ $ … 3 7Tc = (II.98)

Pour6 fix´e, les valeurs propres :

3#" @<¥é7

Ÿ

<L/@<=== associ´ees aux vecteurs propres $

3&"

@ sont ordonn´ees

par valeurs croissantes indic´ees en é . Les vecteurs propres $

3#"

@ associ´es aux valeurs propres :

3&"

@

v´erifient les propri´et´es

$ … ~ 3#" @Á1¶ 33 $ … 3&" B 7» @ B < $ … ~ 3&" @Á€; 3±3 $ … 3#" B 7Š: 3#" @À @ B < (II.99)

Il est `a noter que les probl`emes ‰

3 correspondent `a la discr´etisation ´el´ement fini des probl`emes D

3

d´efinis par l’´equation (II.60). La r´esolution des probl`emes ‰

3 et la restitution des modes s’effectue de

mani`ere similaire `a la strat´egie propos´ee dans les paragraphesÜÅ=O/@=O/ etÜÅ=O/@=O0 .

En particulier la r´esolution num´erique du probl`eme aux valeurs propres n´ecessite de r´esoudre

– les probl`emes‰

3 , avec6 dansESF , qui font intervenir des matrices1

33

et€

3±3

r´eelles de dimension

6Í 6 . Ces probl`emes sont calcul´es directement.

– Les probl`emes ‰

3 , avec 6 dansEJH , qui font intervenir des matrices 1

3±3

et €

3±3

complexes de

dimension6]Í 6 . Pour le calcul num´erique, ces probl`emes sont d´edoubl´es en d´ecomposant l’inconnue

complexe en partie r´eelle et en partie imaginaire.

Soit6 dansEJF . On note …

: 3&" @ 78…  " : 3&" @ <===< … ß
: " : 3#"

@  le vecteur propre physique associ´e `a la valeur

propre:

3&"

@ de multiplicit´e

Ÿ

. On a alors d’apr`es l’´equation (II.65)

… V " : 3&" @ 7 ! 3#" V $ … 3&" @ = (II.100)

Soit 6 dansEIH . On note …

: 3#" @ 7 …  " : 3#" @ <===< … ß
: " : 3&" @  et … !3#" @ 7 …  " ! 3#" @ <===< … ß
: " ! 3&" @  les

vec-teurs propres physiques associ´es `a la valeur propre:

3&"

@ de multiplicit´e/ . On a alors, d’apr`es les

´equa-tions (II.66) et (II.67)

… V " : 3&" @ 7 W /\XH ! 3&" V $ … 3#" @¹I < (II.101) … V " ! 3&" @ 7‹W /Œ[hH 3&" V $ … 3#" @ I = (II.102)

Chapitre III

Construction du mod`ele matriciel r´eduit moyen de

la roue aubag´ee par deux m´ethodes utilisant la

sous-structuration dynamique

1. Introduction

Dans cette recherche, nous nous int´eressons au d´esaccordage dynamique des roues aubag´ees. La

struc-ture ´etudi´ee est une roue aubag´ee constitu´ee de -Œ|

Ÿ

sous-domaines (

Ÿ

disque et - aubes). Nous

rappelons que cette recherche concerne la mod´elisation probabiliste non param´etrique du d´esaccordage des roues aubag´ees. Nous supposons que le disque est une sous-structure `a sym´etrie cyclique et nous consid´erons les aubes comme des sous-structures en pr´esence d’incertitudes al´eatoires. Les incertitudes sont suppos´ees statistiquement ind´ependantes d’une aube `a l’autre. Comme le mod`ele probabiliste non param´etrique est impl´ement´e `a partir de matrices g´en´eralis´ees, la construction d’un mod`ele matriciel r´eduit moyen pour chaque aube est donc requise afin de mod´eliser les incertitudes par l’approche pro-babiliste non param´etrique. Ce mod`ele matriciel r´eduit moyen est construit par des techniques de sous-structuration dynamique.

Les techniques de sous-structuration dynamique ont ´et´e initialement introduites afin d’effectuer l’ana-lyse dynamique de structures complexes. La structure complexe est subdivis´ee en un ensemble de sous-structures dont le comportement dynamique est projet´e sur des vecteurs de base. Le choix des vecteurs de base et les proc´edures d’assemblage des sous-structures d´efinissent les nombreuses techniques de sous-structuration, (voir par exemple [52, 27, 6, 66, 48, 83, 53, 24, 58, 25, 38, 59, 26, 75, 76, 102]). Ces techniques ont ´et´e plus particuli`erement utilis´ees pour mod´eliser le comportement dynamique des structures `a sym´etrie cyclique [54, 102]. Dans le cas de roue aubag´ees d´esaccord´ees, la sym´etrie de la structure n’est plus exploitable et la structure compl`ete est mod´elis´ee. Des mod`eles r´eduits adapt´es `a ce type de probl´ematique ont ´et´e construits par sous-structuration [19, 110, 7, 8, 85, 86] afin d’effectuer une analyse probabiliste param´etrique du d´esaccordage.

Ce chapitre propose deux m´ethodes permettant d’obtenir un mod`ele matriciel r´eduit moyen de la roue aubag´ee compatible avec la mod´elisation probabiliste non param´etrique des incertitudes.

(1) La premi`ere m´ethode consiste `a construire le mod`ele matriciel r´eduit moyen de chaque aube par la m´ethode de Craig et Bampton [27, 76]. Cette m´ethode consiste `a construire une base de projection en utilisant un nombre fini de vecteurs propres de l’aube `a interface de couplage fixe compl´et´es des rel`evements statiques li´es `a cette interface de couplage. Les mod`eles matriciels r´eduits moyen de chaque aube sont ensuite assembl´es avec le mod`ele matriciel ´el´ement fini moyen du disque. On obtient ainsi un mod`ele matriciel r´eduit moyen de la roue aubag´ee dont les inconnues sont les coordonn´ees g´en´eralis´ees

des aubes, les DDLs internes du disque et les DDLs de l’interface de couplage disque-aubes.

(2) La seconde m´ethode consiste `a construire le mod`ele matriciel r´eduit moyen de la roue aubag´ee par la m´ethode de Benfield et Hruda [6]. Cette m´ethode constitue une r´eduction suppl´ementaire du mod`ele matriciel r´eduit moyen de la roue aubag´ee obtenu avec la premi`ere m´ethode. Consid´erant le mod`ele matriciel r´eduit moyen de la roue aubag´ee dont les inconnues sont les coordonn´ees g´en´eralis´ees des aubes, les DDLs internes du disque et les DDLs de l’interface de couplage disque-aubes, on ex-trait alors le sous-syst`eme relatif aux DDLs internes du disque et aux DDLs de l’interface de couplage disque-aubes. Le probl`eme g´en´eralis´e aux valeurs propres de ce sous-syst`eme est ensuite r´esolu. Comme le sous-syst`eme est `a sym´etrie cyclique, le probl`eme g´en´eralis´e aux valeurs propres est r´esolu par la

m´ethodologie pr´esent´ee au paragraphe ÜÅ=O/ du chapitre II. Les DDLs internes du disque et les DDLs

de l’interface de couplage disque-aubes sont alors projet´es sur la base modale tronqu´ee pr´ec´edemment calcul´ee. On obtient un mod`ele matriciel r´eduit moyen de la roue aubag´ee dont les inconnues sont les coordonn´ees g´en´eralis´ees des aubes et les coordonn´ees r´eduites du disque.

La premi`ere m´ethode permet d’impl´ementer le mod`ele probabiliste non param´etrique pour mod´eliser le d´esaccordage des roues aubag´ees. Cette m´ethode est adapt´ee aux mod`eles ´el´ements finis poss´edant un faible nombre de degr´es de libert´e. Elle sera utilis´ee dans les chapitres VII et VIII, qui concernent un exemple num´erique simple. Toutefois, le mod`ele matriciel r´eduit moyen de la roue aubag´ee a pour inconnues les DDLs physiques du disque. Cette m´ethode n’est donc pas appropri´ee pour les mod`eles ´el´ements finis comportant un grand nombre de degr´es de libert´e, car elle s’av`ere trop coˆuteuse en terme de calcul num´erique.

La seconde m´ethode est une m´ethode permettant de mod´eliser le d´esaccordage par la mod´elisation pro-babiliste non param´etrique des gros mod`eles ´el´ements finis de roue aubag´ee. Il est `a noter qu’une telle m´ethode est reconnue comme efficace [85] vis `a vis de la convergence des param`etres de r´eduction du mod`ele. Cette m´ethode sera utilis´ee pour construire le mod`ele matriciel r´eduit moyen du mod`ele indus-triel de roue aubag´ee consid´er´e au chapitre IX.

On introduit au paragraphe/ la structure de roue aubag´ee qui est d´ecompos´ee en- sous-structures aubes

et en une sous-structure disque. Le paragraphe0 d´ecrit le mod`ele matriciel ´el´ement fini moyen de chaque

sous-structure. Dans le paragrapheÜ , on pr´esente la m´ethode de Craig et Bampton pour chaque aube

per-mettant de construire le mod`ele matriciel r´eduit moyen de la roue aubag´ee par la premi`ere m´ethode.

Dans le paragrapheÝ , on expose la seconde m´ethode de construction de mod`ele r´eduit moyen de la roue

aubag´ee, bas´ee sur la technique de Benfield et Hruda. Enfin, le paragraphe  synth´etise les r´esultats des

CHAPITRE III. CONSTRUCTION DU MOD `ELE MATRICIEL R ´EDUIT MOYEN