et mª
sont les matrices d´efinies par l’´equation (III.60). Le mod`ele matriciel r´eduit moyen de
la roue aubag´ee ainsi construit est appropri´e pour mod´eliser les incertitudes de d´esaccordage par l’ap-proche probabiliste non param´etrique. Il est particuli`erement adapt´e aux mod`eles ´el´ements finis de roues aubag´ees poss´edant un grand nombre de degr´es de libert´e, car le vecteur des coordonn´ees r´eduites ne comporte aucun DDLs physiques de la roue aubag´ee. Ce mod`ele sera utilis´e au chapitre IX, traitant un mod`ele ´el´ement fini industriel de roue aubag´ee.
6. Mod`eles matriciels r´eduits moyen de la roue aubag´ee
lorsque les forces de couplage gyroscopiques sont n´eglig´ees
Dans cette recherche, nous ne prendrons pas en compte les effets du couplage gyroscopique. Il est `a noter que cette approximation n’est plus valable lorsque l’on ´etudie la dynamique d’ensemble des rotors [61, 62].
Les matrices de rigidit´e dynamique de chaque sous-structure sont donc sym´etriques et l’on a
* D (')ª È7 * D (')ª < * D (')ª Á7Ò* D (')ª < (III.90) * (')ª È7 * × (')ª < * (')ª s7Ò* ×(')ª < (III.91)
6.1 Mod`ele matriciel r´eduit moyen de la roue aubag´ee obtenu par la
m´ethode de Craig et Bampton
L’´equation matricielle r´eduite de la dynamique s’´ecrit
ëìí * DD (')ª * D (')ª mw¹ * D (')ª * A (')ª |R* (')ª q* ×F(')ª mw¥ * × (')ª ± (')ª ÷ùø ú ëìí u D (') u (') q (') ÷ùø ú 7 ëìí F D (') F (')É| ¯ (') ¯ (') ÷ùø ú < (III.92)
et la relation permettant d’exprimer les DDLs physiques de la roue aubag´ee en fonction des coordonn´ees r´eduites du mod`ele matriciel r´eduit moyen s’´ecrit
ëìí u D (') u (') u D (') ÷ùø ú 7 ëìí } 3 f ´ c c c } 3 « c c mª ÷ùø ú ëìí u D (') u (') q (') ÷ùø ú = (III.93)
6.2 Mod`ele matriciel r´eduit moyen de la roue aubag´ee obtenu par la
m´ethode de Benfield et Hruda
L’´equation matricielle r´eduite de la dynamique s’´ecrit
x ± ')ª * ×(')ª * ×(')ª ± (')ª y x q (') q (') y 7 x ¯ (');| ¯ (') ¯ (') y < (III.94)
et la relation permettant d’exprimer les DDLs physiques de la roue aubag´ee en fonction des coordonn´ees r´eduites du mod`ele matriciel r´eduit moyen s’´ecrit
ëìí u D (') u (') u D (') ÷ùø ú 7 ëìí mª " × D mw¹ mª " × mw¹ ¿mª " × Òmª ÷ùø ú x q (') q (') y = (III.95)
Chapitre IV
Mod´elisation non param´etrique des incertitudes
al´eatoires pour le d´esaccordage des roues aubag´ees
1. Introduction
Dans ce chapitre, nous consid´erons une structure de roue aubag´ee en pr´esence d’incertitudes al´eatoires de d´esaccordage. L’approche probabiliste non param´etrique est utilis´ee pour mod´eliser le d´esaccordage de la roue aubag´ee. A la diff´erence des approches probabilistes param´etriques, la mod´elisation probabi-liste non param´etrique tient compte des incertitudes de donn´ees et des incertitudes de mod´elisation. Elle consiste `a introduire directement l’al´ea `a partir des matrices g´en´eralis´ees d’un mod`ele matriciel r´eduit moyen. Cette approche s’appuie sur l’utilisation d’un mod`ele probabiliste pour un ensemble de matrices al´eatoires sym´etriques d´efinies positives dont la distribution de probabilit´e est construite `a partir du prin-cipe du maximum d’entropie [88, 56, 57] et de la seule information utilisable.
Il est `a noter que les champs d’application de cette approche sont tr`es larges puisque la th´eorie probabi-liste non param´etrique peut ˆetre appliqu´ee aux probl`emes de r´eponses forc´ees lin´eaires sur une bande d’analyse fr´equentielle du domaine basses fr´equences [93, 99] ou moyennes fr´equences [97] et aux probl`emes de r´eponses transitoires lin´eaires [94] et non lin´eaires [95, 32] de structures en pr´esence d’incertitudes. De plus, la robustesse d’une telle approche a ´et´e valid´ee th´eoriquement [96, 98], et exp´erimentalement dans le cas de structures complexes en pr´esence d’incertitudes non homog`enes [21, 33, 34, 22].
Concernant la probl´ematique du d´esaccordage des roues aubag´ees, les forces de couplage gyroscopique sont n´eglig´ees. Les incertitudes al´eatoires de d´esaccordage ne concernent que les aubes. Le niveau d’in-certitudes est homog`ene sur l’aubage, et les ind’in-certitudes sont statistiquement ind´ependantes d’une aube `a l’autre. Il faut donc impl´ementer l’approche non param´etrique sur chaque aube. Comme une telle ap-proche probabiliste n´ecessite de construire un mod`ele matriciel r´eduit moyen pour chaque sous-structure en pr´esence d’incertitudes, l’utilisation de la sous-structuration dynamique pour construire le mod`ele matriciel r´eduit moyen de chaque aube, d´ecrit par les ´equations (III.27) `a (III.29), est parfaitement jus-tifi´ee. Le mod`ele probabiliste est alors impl´ement´e directement `a partir des matrices issues de ce mod`ele matriciel r´eduit moyen. Il s’agit d’un mod`ele probabiliste pour les matrices sym´etriques d´efinies posi-tives, construit `a partir du principe du maximum de l’entropie avec l’information disponible concernant le mod`ele matriciel r´eduit moyen de la sous-structure. Il est `a noter que les mod`eles matriciels r´eduits moyens de la roue aubag´ee, propos´es au chapitre III, sont compatibles avec l’approche probabiliste non param´etrique. Selon les cas d’´etudes envisag´es, ils sont utilis´es pour impl´ementer le mod`ele probabiliste des matrices al´eatoires soit sur la totalit´e des matrices r´eduites de chaque aube, soit sur leur partie dy-namique. Dans un souci de clart´e de pr´esentation, on limitera la construction du mod`ele probabiliste au
cas d’incertitudes affectant la totalit´e des matrices du mod`ele matriciel r´eduit moyen de chaque aube. L’extension au cas d’incertitudes affectant la partie dynamique des matrices du mod`ele matriciel r´eduit moyen de chaque aube ne pose aucune difficult´e.
Le paragraphe/ concerne la construction du mod`ele probabiliste non param´etrique des incertitudes pour
chaque aube. Les ´equations al´eatoires pour chaque aube sont pr´esent´ees. La normalisation des matrices
al´eatoires est introduite et les propri´et´es des matrices al´eatoires sont d´ecrites. Dans le paragraphe 0 , les
principaux r´esultats concernant le mod`ele probabiliste pour les matrices al´eatoires r´eelles sym´etriques
d´efinies positives sont rappel´es [93, 94]. Enfin, le paragraphe Ü pr´esente plusieurs mod`eles matriciels
al´eatoires pour la roue aubag´ee d´esaccord´ee, obtenus par la mod´elisation probabiliste non param´etrique des incertitudes.
CHAPITRE IV. MOD ´ELISATION NON PARAM ´ETRIQUE DU D ´ESACCORDAGE DES AUBES