Stratégies de calcul de la matrice système

Le calcul de matrices systèmes modélisant avec précision la prise de mesure en TEP peut être une opération très lourde en calcul, particulièrement pour la modélisation en 3D. Pour contrer ce problème, un objectif ou ligne directrice qui a guidé le développement des méthodes de calcul de matrices systèmes proposées dans cette thèse consiste à éviter de réaliser plus d'une fois un même calcul lors de la génération de la matrice. Ainsi, l'architecture de calcul proposée se distingue en ce qu'elle permet de sauvegarder des sous-ensembles de résultats sous forme de bases de données servant à générer plusieurs éléments d'une même matrice et même diverses versions de la matrice ayant des caractéristiques différentes telles que la dimension de l'image ou la taille des pixels. L'originalité de l'approche repose également sur l'utilisation judicieuse des symétries présentes entre les détecteurs et les TDR d'une caméra afin de permettre la réutilisation de parties pré-calculées entre les détecteurs et TDR symétriques d'une caméra. Ces objectifs s'obtiennent en séparant la méthode de calcul de la matrice en trois grandes étapes distinctes :

Étape 1 : Calcul de la probabilité de détection simple (PDS)

Étape 2 : Calcul de la probabilité de détection en coïncidence (PDC) Étape 3 : Calcul des coefficients de la matrice

Une brève description de ces étapes est présentée ci-dessous alors que les détails inhérents au calcul de la PDS, de la PDC et des coefficients de la matrice suivant différentes techniques sont présentés dans les sections qui suivent.

Probabilité de détection simple (PDS) : C'est la probabilité qu'un photon d'une énergie donnée frappant un détecteur à une position et à un angle d'incidence donné résulte en un événement détecté par le système d'imagerie. La PDS se calcule pour un détecteur et elle comprend habituellement l'ensemble des probabilités de détection simple pour toutes les positions et tous les angles d'incidence possibles.

Probabilité de détection en coïncidence (PDC) : C'est la probabilité qu'une paire de photons d'annihilation émis en une position donnée d'un TDR soit interceptée et détectée comme un événement valide par les deux détecteurs en coïncidence du TDR. La PDC est

habituellement calculée en différents points du TDR afin de caractériser la probabilité de détection pour tout le volume du TDR.

Coefficients de la matrice système : Le calcul des coefficients ai,j de la matrice système

(équation 2.2) consiste à déterminer la probabilité qu’une désintégration survenue dans le pixel j soit détectée par la paire de détecteurs du TDR i et ce, pour toutes les combinaisons possibles de pixel et de TDR. Le nombre de pixels ayant une contribution non nulle à un TDR se limite habituellement au volume intercepté entre les deux détecteurs en coïncidence (Figure 1.3), ce qui limite le nombre possible de combinaisons pixel/TDR à calculer. Les coefficients de la matrice peuvent être calculés à partir de l'information d'une fonction de PDC ou encore à partir d'un modèle plus simple approximant la fonction de réponse d'une caméra.

Afin de calculer la fonction de PDS et de PDC, des méthodes dites analytiques ainsi que des méthodes basées sur des simulations Monte Carlo ont été développées. La flexibilité et la versatilité de la librairie de calcul de matrices systèmes qui a été développée a permis d'étudier différentes approches pour calculer une matrice système. Ces méthodes plus évoluées ont par ailleurs été comparées à des méthodes plus simples utilisant, par exemple, le modèle de la ligne infiniment mince ou encore une fonction gaussienne 2D ou 3D pour modéliser la fonction des TDR. Les méthodes de calculs de matrices systèmes développées et étudiées dans cette thèse se résument donc aux modèles suivants :

1) Modèle linéaire 2) Modèle gaussien 3) Modèle analytique

4) Modèle Monte Carlo direct 5) Modèle Monte Carlo indirect 6) Modèle hybride

Modèle linéaire : Le modèle linéaire (ou de la ligne infiniment mince) suppose que la probabilité de détecter un événement par une paire de détecteurs peut être vue comme une ligne infiniment mince reliant les détecteurs en coïncidence [LLACER et coll., 1985]

[SIDON, 1985]. L'implantation de cette approche fait appel uniquement à l'étape de calcul des coefficients de la matrice à partir du modèle linéaire.

Modèle gaussien : Le modèle gaussien est une amélioration au modèle linéaire en ce qu'il modélise un peu mieux la nature limitée de la résolution spatiale d'une caméra TEP. L'approche consiste à utiliser une fonction gaussienne 2D répétée le long de l'axe radial d'un TDR afin de représenter la probabilité de détection à l'intérieur de son volume. Ce modèle est dit spatial invariant puisque la même fonction Gaussienne est utilisée pour représenter tous les TDR de la caméra. Le calcul de la matrice avec le modèle gaussien fait appel à la méthode analytique décrite à la section 2.2.3 pour le calcul des coefficients de la matrice à partir de la fonction gaussienne 2D définie.

Modèle analytique : Le modèle analytique fait appel exclusivement à des méthodes dites analytiques pour le calcul successif de la fonction de PDS, de la fonction de PDC et des coefficients de la matrice. Ces étapes sont décrites à la section 2.2.3. Le modèle analytique se base sur la probabilité d'atténuation (ou d'absorption) des photons d’annihilation dans les détecteurs et autres matériaux composant l'anneau de détection. Pour ce faire, une modélisation précise de la géométrie 3D des anneaux de détection et de la densité des divers matériaux est requise. L’approche s'inspire de méthodes développées antérieurement par un groupe de recherche de l’Université de Sherbrooke dirigé par le professeur Roger Lecomte [KARUTA, 1988] [KARUTA et coll., 1992] [MARTEL, 1989] [SCHMITT et coll., 1988] [SCHMITT, 1989] [SELIVANOV et coll., 2001a] [SELIVANOV, 2002]. La méthode développée dans les présents travaux se distingue de l’art antérieur puisqu'elle repose sur une modélisation 3D précise du processus d'acquisition TEP et non sur une modélisation 2D plus approximative. De plus, l'étape de calcul de la fonction de probabilité en coïncidence a été repensée complètement afin de suivre plus fidèlement la physique relative à la mesure TEP.

Modèle Monte Carlo direct : Les méthodes de calculs de matrices systèmes basées sur des simulations Monte Carlo (MC) se démarquent des méthodes analytiques en ce qu'elles permettent non seulement de modéliser le processus d'atténuation et d'absorption des photons dans les détecteurs mais aussi la probabilité que ceux-ci interagisse plutôt par diffusion Compton. Les interactions Compton multiples dans plus d'un détecteur peuvent provoquer un

élargissement de la fonction des TDR d'une caméra TEP [MARTEL, 1989] [SELIVANOV et coll., 2000] [ZERRATKAR et coll., 2010]. La méthode MC directe consiste à calculer les coefficients de la matrice directement à partir de l'information acquise par la simulation MC. La méthode développée ici se distingue de l'art antérieur en ce qu'elle propose une stratégie permettant de tirer profit des symétries présentes entre les TDR d'un appareil afin d'augmenter la statistique MC utilisée pour le calcul des coefficients de la matrice. Ces méthodes sont décrites plus en détail à la section 2.2.4.

Modèle Monte Carlo indirect : L'approche indirecte est très similaire à l'approche MC directe. Elle a pour principale différence qu'elle propose de calculer d'abord la fonction de PDC à partir de l'information tirée des simulations MC plutôt que de calculer directement les coefficients de la matrice. Cette stratégie permet notamment d'introduire un filtrage au niveau de la fonction de PDC, ce qui permet de réduire l'impact du bruit statistique des événements MC et ainsi de réduire le temps de simulations MC requis pour obtenir une matrice de précision suffisante. Le calcul de la PDC à partir de simulation MC est présenté à la section 2.2.4. Les coefficients de la matrice sont ensuite calculés à partir de cette PDC en utilisant l'approche analytique présentée à la section 2.2.3.

Modèle hybride : Le modèle hybride est une nouvelle approche qui vise à tirer profit à la fois des capacités de modélisation accrues de l'approche Monte Carlo et de l'immunisation au bruit statistique de l'approche analytique. Cette méthode utilise la simulation MC pour modéliser la PDS plutôt que la PDC. Ceci permet notamment de conserver tous les événements en détection simple au lieu de ne conserver que les événements en coïncidence. En considérant que pour la plupart des caméras TEP, moins de 10% des événements générés résultent en une détection en coïncidence, l'utilisation des événements simples permet un gain notable au niveau de la statistique acquise. De plus, puisqu'il existe davantage de symétries entre les détecteurs qu'entre les TDR d'une caméra, l'utilisation de symétries permet d'augmenter encore plus significativement la statistique acquise pour le calcul de la PDS ou de réduire le temps de calcul. Ces deux avantages combinés permettent de réduire de plusieurs ordres de grandeur le temps de simulation MC requis par rapport à l'approche MC directe ou indirecte. La stratégie utilisée pour générer la PDS à partir de simulations MC est présentée à

la section 2.2.4. La méthode hybride fait par la suite appel aux méthodes de calcul analytiques pour générer successivement la PDC et les coefficients de la matrice (section 2.2.3).