CHAPITRE 3 MÉTHODES DE RECONSTRUCTION D'IMAGES TIRANT
3.1. REVUE DE LA LITTÉRATURE SUR L'UTILISATION DES SYMÉTRIES EN RECONSTRUCTION
3.1.3. Revue des méthodes de reconstruction par décomposition en valeur singulière
Le principal intérêt de résoudre un problème de reconstruction d’images à partir de méthodes directes provient de la vitesse avec laquelle l’image peut être obtenue. De plus, les méthodes directes sont habituellement plus prévisibles que les méthodes itératives en ce sens qu’il est plus facile d’établir un lien direct entre la mesure et l’image reconstruite [KAK et coll., 1988] [GOTTLIEB et coll., 2000] [WILSON et coll., 1993].
Une façon de résoudre le problème directement consiste à inverser la matrice système afin de multiplier cette dernière avec le vecteur de projection pour obtenir l’image reconstruite. Cette solution correspond à l’équation 1.9 reportée ici :
f y
A−1 = ˆ (3.1)
3.1 L’inversion de la matrice est toutefois une opération relativement complexe, d’une part à cause de la taille de la matrice (N ×B), mais aussi parce que la matrice A est très mal conditionnée de par la nature même de la mesure TEP. Ceci rend l’opération d’inversion très sensible au bruit [BERTERO et coll. 1988].
Une première méthode viable pour inverser la matrice consiste à utiliser diverses techniques de pseudo-inversion. Une méthode de reconstruction d’images basée sur cette approche est présentée dans [LLACER, 1982]. L’idée consiste à multiplier les deux côtés de l’équation 3.1 par la transposée de la matrice :
f A A y AT = T ˆ (3.2) 3.2 Pour obtenir l’image, il suffit alors d’inverser la matrice ATA et de l’appliquer sur le
vecteur de projection :
( )
A A A yfˆ = T −1 T (3.3)
La matrice à inverser est la matrice ATA et l’opération de pseudo-inversion est alors
facilitée par le fait que cette matrice est symétrique et semi-définie positive [LLACER, 1982] [MOON et coll., 1999]. Une matrice système de la forme ATA peut être vue comme une
matrice de flou en 2D (en anglais « blurring matrix ») modélisant la résolution spatiale de l’appareil en différents points. La matrice ATA s'obtient par le produit d’une projection (A) et
d’une rétroprojection (AT) de la matrice système originale.
La résolution du problème selon l’équation 3.3 est très sensible au bruit de la mesure dû au fait que la matrice ATA obtenue pour un problème de reconstruction d’images en
tomographie a un nombre de conditionnement (NC) élevé, soit la valeur propre la plus élevée divisée par la valeur propre la plus basse de la matrice. Un NC élevé rend le calcul des plus petites valeurs propres de la matrice très imprécis. Un autre inconvénient de cette approche est la lourde charge de calcul associée à l’opération de pseudo-inversion. De plus, la mesure (y) doit d’abord être rétroprojetée avec la matrice AT avant d’être multipliée avec la matrice pseudo-inverse ATA. Cette étape ajoute toutefois peu de calculs comparativement à l’opération
de multiplication avec la matrice ATA.
Une méthode pour accélérer l’étape de pseudo-inversion de la matrice ATA consiste à
définir l’opération de projection (A) et de rétroprojection (AT) dans le domaine continu, soit
comme étant une intégration de fonctions sous forme de bandes (en 2D) ou de tubes (en 3D) reliant les détecteurs en coïncidence :
( )
AA y Afˆ = T T −1 (3.4)
3.4 Les coefficients de la matrice AAT peuvent alors être vus comme étant une
décomposition en pixel naturel de l'image. Buonocore a été le premier à utiliser le terme pixel
naturel afin de définir ces pixels qui apparaissent naturellement des intersections entre les
bandes des trajectoires mesurées par l'appareil [BUONOCORE et coll., 1982]. Un avantage de cette représentation du problème est que les symétries entre les TDR d'une caméra sont préservées, ce qui mène à une structure bloc circulante de la matrice AAT et facilite son inversion. Baker et Barber ont démontré que la matrice bloc circulante AAT peut être inversée
appliquées sur une version de la matrice bloc circulante transformée dans le domaine de Fourier [BAKER et coll., 1982] [BARBER, 1982]. L'image finale peut alors être obtenue en appliquant une opération de rétroprojection sur le résultat de la multiplication entre la matrice pseudo-inverse et le vecteur de mesure. Bien que l'utilisation de pixels naturels se veut une façon élégante de réduire l'erreur de modélisation due à l'étape de pixélisation normalement utilisée pour résoudre un problème de reconstruction d'images en tomographie, l'utilisation de bandes (en 2D) ou de tubes (en 3D) ayant une probabilité de détection uniforme à l'intérieur de leur volume peut s'avérer une approximation acceptable pour résoudre certains problèmes (ex. : tomodensitométrie), mais cette modélisation des TDR est plutôt imprécise en TEP.
Il a été démontré par Shim [SHIM et coll., 1981] que l’opération de pseudo-inversion d’une matrice à partir de la décomposition en valeurs singulières (DVS) peut être appliquée directement sur la matrice système A reliant les projections à l’image (i.e. matrice Asystème
conformément à l’équation 2.4). Un avantage de réaliser la DVS directement sur la matrice système A est que cette dernière est beaucoup mieux conditionnée (i.e. NC plus petit) que la matrice de flou ATA. La matrice A étant mieux conditionnée, l’opération de DVS est alors
moins affectée par la limite de précision de calcul d’un ordinateur, menant ainsi à un meilleur estimé des valeurs singulières de faibles valeurs et des vecteurs singuliers qui y sont associés. Un autre avantage de cette approche est que l’image est obtenue directement à partir de l’opération de multiplication entre la matrice inverse et la mesure de projection (y), éliminant ainsi le besoin de recourir à une étape préliminaire de rétroprojection comme dans (3.3) et (3.4). En d’autres termes, la qualité de l’image reconstruite ne sera pas influencée par la modélisation du système incluse dans une matrice de rétroprojection. Ceci est une amélioration significative puisqu’il est beaucoup plus facile et précis d’inclure les phénomènes affectant la prise de mesure TEP directement dans la matrice système A que dans la matrice de flou ATA. Vandenberghe a démontré qu’il est possible d’inclure un modèle plus
réaliste du système pour une matrice AAT, obtenue par une décomposition de l’image avec des
pixels naturels, en recourant à des simulations Monte Carlo pour obtenir AAT [VANDENBERGHE et coll., 2006]. Toutefois, Vandenberghe n’a pas réussi à intégrer un tel modèle directement dans la matrice de rétroprojection AT, appliquée sur l'image après la matrice AAT. D'ailleurs, l'aspect visuel des images reconstruites n'est pas très convaincant.
Bien que l’application de la DVS directement sur la matrice système apporte certains avantages, un inconvénient réside dans la quantité de mémoire requise et le temps de calcul prohibitif associé à la décomposition d’une telle matrice pour un problème de reconstruction d'images. Afin de rendre cette méthode plus viable, Selivanov a proposé de réaliser la DVS de la matrice système une seule fois et de sauvegarder le résultat en mémoire pour une utilisation ultérieure par l’algorithme reconstruction d’images [SELIVANOV et coll., 2001]. La méthode de reconstruction résultante est alors très rapide puisque l’image s’obtient par une simple multiplication entre la matrice inverse et le vecteur de projections. Bien que l’opération de DVS soit réalisée une seule fois, la taille importante des matrices systèmes résultant d’une modélisation 3D de caméras TEP modernes rend l’opération de DVS très périlleuse et difficile à réaliser, vu la puissance de calcul et la quantité de mémoire disponible sur les ordinateurs actuels. La méthode de reconstruction d’images par DVS présentée dans [SELIVANOV et coll., 2001] est donc viable uniquement lorsqu'elle est appliquée à des problèmes de reconstruction d’images relativement simples.