Stratégie de remplacement d'un groupe TA 128 

Nous considérons que les composants du groupe sont remplacés selon une stratégie périodique basée sur l’âge que l'on notera SR0.

Un échantillon de groupes est observé sur une longue période de temps et seules les défaillances majeures sont enregistrées. Ces défaillances nécessitent le remplacement du groupe c.à.d. le remplacement de tous ses composants. Toutes les autres défaillances et actions de maintenance sans remplacement sont négligées.

Nous définissons la stratégie de remplacement périodique d'un groupe de l'échantillon de la façon suivante : un groupe est remplacé préventivement à chaque , 1,2,3 …unité de temps ou bien à la suite d'une défaillance majeure d'un de ses composants.

Les défaillances majeures d’un composant du groupe sont décrites par une loi de probabilité connue ayant une fonction de répartition · . Un coût est encouru à chaque remplacement préventif du composant et un coût est encouru à sa défaillance.

5.1.1 Expression du coût de maintenance moyen

En supposant qu'un groupe va être remplacé indéfiniment, de façon préventive à chaque unité de temps ou bien à la défaillance, la théorie du renouvellement permet d'évaluer le coût total moyen par unité de temps de maintenance d'un composant sur un horizon considéré comme infini. La durée moyenne d'un cycle de remplacement de durée d'un composant du groupe est donnée par la relation :

. (5.1) Le coût moyen sur un cycle est donné par :

. (5.2)

Le coût moyen par unité de temps sur un horizon infini est : .

Dans un problème de planification sans contraintes de la maintenance avec la stratégie SR0, le coût minimal de remplacement d'un composant est atteint pour une valeur optimale solution de l’équation :

0  .

(5.4) où · est le taux de défaillance. (Illustration dans la figure 5.1).

Définition 5.1

Avec une stratégie de remplacement, le coût moyen de maintenance par unité de temps d'un groupe sur un horizon infini est donné par :

  . 

(5.5) Pour trouver la périodicité optimale de remplacement d'un groupe, pourvu qu'elle existe, nous

recherchons dans 0, ∞ solution de :

. (5.6)

Dans le cas d'un groupe à plusieurs composants, la figure 5.1 illustre les courbes des coûts moyens par unité de temps en fonction de la périodicité pour chacun des composants et la résultante pour le groupe.

Quand l'horizon considéré est fini, comme dans le cas où les composants d'un groupe d'une certaine technologie deviennent obsolètes au delà d'une période de temps prédéterminée notamment grâce à l'amélioration des matériaux, il serait utile de planifier les remplacements sur un horizon fini. L'expression du coût de maintenance dans ce cas est plus difficile à évaluer. La recherche d'une périodicité optimale est plus laborieuse car la périodicité de remplacement optimale dépendra de la longueur de l'horizon. Quand cet horizon est trop petit, aucun remplacement préventif n'est prévu et le coût moyen encouru pour un composant sur l'horizon est

, avec l’espérance du nombre de défaillance jusqu’à l’instant . Quand l'horizon augmente jusqu'à une première limite , un remplacement préventif serait nécessaire à la période . Ensuite, à une deuxième limite , deux remplacements préventifs seraient nécessaires à la période et ainsi de suite. Le coût moyen sur un horizon est une fonction en morceaux définie sur les intervalles , . Soit , le coût moyen encouru sur l'horizon quand remplacements prennent place à chaque unités de temps. Quand seulement un remplacement a lieu, nous avons :

,        

    . (5.7)

Pour remplacements qui prennent place sur l'horizon :

,   ,       

,   ,   . (5.8)

On démontre dans (Barlow et al., 1996) que la suite de fonctions , converge vers la fonction , et que cette dernière est continue en dans l'intervalle ⁄ 1, ⁄ , 1,2, … excepté au point ⁄ (Illustration dans la figure 5.2).

Figure 5.2 : Coût et périodicités optimales en fonction de l'horizon

Quand est continue, une périodicité optimale existe et est obtenue en résolvant le problème :

, ,   ,   (5.9)

L'équation (5.9) est une équation intégrale avec convolution. Il n'y a pas de solution connue de cette équation et la résolution numérique est longue et onéreuse. Une approximation de la périodicité optimale sur un horizon fini est obtenue en corrigeant la périodicité optimale sur un horizon infini par la fonction suivante (Legat et al., 1996) :

  1 , 0 1. (5.10)

Avec les crochets représentant la partie entière et un coefficient dépendant de la distribution, et la périodicité optimale pour une stratégie avec un horizon infini.

Pour la distribution de Weibull, les auteurs dans (Legat et al., 1996) recommandent une valeur de 0.67. Pour d'autres distributions, la valeur du paramètre est obtenue par simulation. Pour diverses valeurs de , la périodicité obtenue par (5.4) est injectée dans (5.10) pour un horizon donné pour lequel la périodicité optimale est connue. Le coefficient est alors choisi de façon à minimiser l'erreur relative sur le coût moyen.

5.1.2 Expression du coût de maintenance actualisé

Faisons abstraction des indices pour un composant donné. En supposant qu'un groupe est remplacé de façon préventive à chaque unité de temps ou bien à la défaillance, le coût total moyen actualisé de maintenance d'un composant sur le premier cycle de remplacement de durée commençant à l'instant est donné par :

. (5.11)

C'est avec une probabilité et un coût actualisé qu'une défaillance aura lieu dans l'intervalle , , 0 . Se rajouteront ensuite les coûts futurs actualisés . S'il n'y a pas de défaillance dans 0, , un remplacement prend place à un coût actualisé plus les coûts futurs actualisés . Le coût total moyen actualisé est la somme des coûts moyens sur chacun des cycles. La relation de récurrence suivante permet de déterminer le coût total actualisé :

. (5.12) Alors :        1          1   1        1        . Finalement :        .  (5.13) Notons que lim tend vers le coût total moyen par unités de temps de l'équation (5.5),

c'est à dire sans actualisation de la valeur de l'argent. Pour de petites valeurs de , il est alors plus simple d'utiliser (5.5).

Définition 5.2

Avec une stratégie de remplacement, le coût total moyen actualisé d'un groupe sur un horizon infini est donné par :

    .

(5.14) De la même façon, en résolvant le problème :

, (5.15)

la périodicité optimale de remplacement du groupe, pourvu qu'elle existe, dans 0, ∞ pourra être déterminée.