Statistiques d’accélération des particules

Nous commençons par observer les statistiques d’accélération des particules iner-tielles. On montre sur la figure 4.1 les distributions de la composante longitudinale d’accélération pour les différentes simulations. Comme nous pouvions nous y attendre, les distributions avec la simple LES pour les deux nombres de Stokes ne sont pas bonnes du tout. On peut cependant remarquer que l’ajout du modèle STRIP permet d’améliorer la distribution de l’accélération pour les particules de Stokes St = 0.3 qui est mainte-nant en bonne concordance avec la DNS. La réduction avec l’inertie de la probabilité d’apparition de fortes valeurs pour l’accélération n’est cependant pas reproduite, comme on peut le voir pour la distribution des particules de Stokes St = 3.0. Les contributions log-normales du modèle dans l’expression (4.3) deviennent en effet dominantes par rap-port à la turbulence résolue par le maillage qui est beaucoup trop dissipée par le modèle de Smagorinsky. Concernant les distributions pour les simulations avec le modèle dyna-mique, on peut constater une bonne reproduction des résultats de DNS de la part de la LESD et la LESD-STRIP pour les deux nombres de Stokes. Les performances de ces deux simulations sont ici très similaires et présentent le petit défaut de surestimer légère-ment la distribution pour les fortes valeurs d’accélération des particules de faible Stokes. Le fait que l’échelle de cisaillement soit résolue implique à priori des résultats corrects pour une LES utilisant le modèle dynamique seul. Ce résultat n’est donc pas suffisant pour émettre un jugement sur les performances de la LESD-STRIP mais il nous permet de conclure que le modèle STRIP ne détériore pas les résultats et permet de conserver la bonne prédiction de la distribution de l’accélération lorsque l’échelle de cisaillement est résolue. On regarde ensuite les distributions pour les angles θ et ϕ du vecteur d’accélé-ration projeté dans les plans (x₁, x2) et (x₁, x3) sur les figures 4.2 et 4.3, respectivement. Nous avons déjà pu observer les distributions de l’angle θ pour les approches de Smago-rinsky et SmagoSmago-rinsky dynamique seules à la section 3.2.2. On remarque alors que tout comme pour les distributions de l’accélération des particules, l’utilisation du modèle STRIP permet d’améliorer les résultats de l’approche de Smagorinsky jusqu’à une cer-taine mesure. L’orientation coaxiale de l’accélération avec la direction longitudinale due à la présence du terme source dans les équations de Navier-Stokes est en effet toujours assez marquée sur les distributions. On peut établir un constat identique pour la distri-bution de l’angle ϕ sur la figure 4.3. Le modèle STRIP n’apporte pas de modifications notables avec l’approche de Smagorinsky dynamique car l’orientation de l’accélération provient des grandes structures de l’écoulement et le modèle ne prédit que les évènements des petites échelles. Cela ne retire toutefois pas la bonne concordance des résultats avec

Figure 4.1 – Figure a (à gauche) : Comparaison de la PDF de l’accélération des par-ticules inertielles avec St = 0.3 (en vert) et St = 3.0 (en bleu) dans le cisaillement homogène entre la DNS (—), la LES (- - -) et la LES-STRIP (•). Figure b (à droite) : Même figure entre la DNS (—), la LESD (- - -) et la LESD-STRIP (•).

Figure 4.2 – Figure a (à gauche) : Comparaison des distributions de l’angle d’orientation

θ du vecteur d’accélération des particules inertielles de Stokes St = 0.3 (en vert) et St = 3.0 (en bleu) dans le cisaillement homogène entre la DNS (—) et la LES () et

la LES-STRIP (•). Les courbes sont décalées vers le bas avec le nombre de Stokes pour plus de lisibilité. Figure b (à droite) : Même figure entre la DNS (—), la LESD (- - -) et la LESD-STRIP (•).

Figure 4.3 – Figure a (à gauche) : Comparaison des distributions de l’angle d’orientation

ϕ du vecteur d’accélération des particules inertielles de Stokes St = 0.3 (en vert) et St = 3.0 (en bleu) dans le cisaillement homogène entre la DNS (—) et la LES () et

la LES-STRIP (•). Les courbes sont décalées vers le bas avec le nombre de Stokes pour plus de lisibilité. Figure b (à droite) : Même figure entre la DNS (—), la LESD (- - -) et la LESD-STRIP (•).

Figure 4.4 – Figure a (à gauche) : Comparaison des fonctions d’autocorrélation de la norme d’accélération (en bleu) et de la composante longitudinale (en rouge) des parti-cules inertielles de Stokes St = 0.3 dans le cisaillement homogène entre la DNS (—) et la LES () et la LES-STRIP (•). Figure b (à droite) : Même figure entre la DNS (—), la LESD (- - -) et la LESD-STRIP (•).

la DNS. Les conclusions établies pour les distributions de l’accélération s’appliquent donc également ici : le modèle STRIP améliore les résultats de la LES classique et ne détériore pas ceux de la LES de Smagorinsky dynamique.

On s’intéresse alors aux fonctions d’autocorrélation de la norme d’accélération et de la composante longitudinale qui sont montrées pour les deux nombres de Stokes respectivement sur les figures 4.4 et 4.5. Une fois encore, on voit très nettement que les résultats de la LES de Smagorinsky sont très mauvais et ce, quelle que soit la valeur du nombre de Stokes. Les temps de corrélation de l’accélération sont en effet très longs car la dissipation excessive d’énergie par le modèle de sous-maille empêche la turbulence de se développer. De plus, la séparation d’échelle n’est pas reproduite. L’utilisation du modèle STRIP permet par contre d’obtenir des temps de corrélation de la norme et des composantes d’accélération beaucoup plus corrects. Pour les particules de plus faible inertie, la composante longitudinale présente alors un temps de corrélation de l’ordre du temps de Kolmogorov similaire à la DNS. On retrouve une tendance similaire pour les particules de Stokes St = 3.0. Concernant la norme de l’accélération, son comportement est largement surestimé par rapport à la DNS malgré la présence du modèle STRIP et on peut constater une invariance du temps de corrélation avec le nombre de Stokes. Les résultats sont toutefois beaucoup moins aberrants que ceux de la LES de Smagorinsky seule. Pour les simulations utilisant le modèle dynamique, on peut constater une légère amélioration du temps de corrélation de la norme d’accélération pour les particules de faible inertie lorsque le modèle STRIP est utilisé. Cette amélioration reste néanmoins assez négligeable devant les performances du modèle dynamique seul. Pour les particules de Stokes St = 3.0, on constate que les deux approches (avec et sans modèle STRIP) donnent les mêmes résultats en concordance avec la DNS. Concernant les temps de

Figure 4.5 – Figure a (à gauche) : Comparaison des fonctions d’autocorrélation de la norme d’accélération (en bleu) et de la composante longitudinale (en rouge) des parti-cules inertielles de Stokes St = 3.0 dans le cisaillement homogène entre la DNS (—) et la LES () et la LES-STRIP (•). Figure b (à droite) : Même figure entre la DNS (—), la LESD (- - -) et la LESD-STRIP (•).

corrélation de la composante longitudinale d’accélération, on retrouve également des résultats très proches de nos références et ce, indépendemment de l’utilisation du modèle STRIP. Ces observations nous permettent à nouveau de souligner le fait que le modèle STRIP ne détériore pas les résultats par rapport au modèle de Smagorinsky dynamique.

Sensibilité du modèle aux phases de croissance et d’effondrement

Nous étudions la capacité du modèle STRIP à reproduire la sensibilité de l’accéléra-tion des particules inertielles aux phases de croissance et d’effondrement. Étant donné que ces phases ne sont pas reproduites lorsque le champ de vitesse est simulé avec le mo-dèle standard de Smagorinsky, nous ne montrons que les résultats pour lesquels le champ de vitesse a été calculé avec le modèle de Smagorinsky dynamique. Les fonctions d’auto-corrélation de la norme et de la composante longitudinale d’accélération conditionnées aux phases de croissance et d’effondrement sont ainsi respectivement montrées sur les figures 4.6 et 4.7 pour chaque nombre de Stokes considéré dans nos simulations. On peut alors constater que pour la LESD, le temps de corrélation de la norme d’accélération est peu sensible aux phases de croissance et d’effondrement, contrairement aux résultats de DNS. On retrouve ici le même problème observé au chapitre 3 : la résolution des grandes échelles seule est une condition qui reproduit de façon limitée la sensibilité de la norme d’accélération des particules au développement et à l’effondrement des grandes structures. Le constat est en revanche opposé lorsque le modèle STRIP est appliqué. Ce dernier parvient en effet à tenir compte de manière très satisfaisante de la sensibilité de la norme d’accélération aux phases du cycle de régénération des structures, et en particulier lorsque l’inertie augmente. On peut également observer une diminution de la

Figure 4.6 – Figure a (à gauche) : Comparaison de la fonction d’autocorrélation de la norme d’accélération des particules de Stokes St = 0.3 dans le cisaillement homogène entre la DNS (en noir), la LESD (en bleu) et la LESD-STRIP (en vert) conditionnée à la phase de croissance (- - -) et à la phase d’effondrement (•). Figure b (à droite) : Même figure pour les particules de Stokes St = 3.0.

Figure 4.7 – Figure a (à gauche) : Comparaison de la fonction d’autocorrélation de la composante longitudinale d’accélération des particules de Stokes St = 0.3 dans le cisaillement homogène entre la DNS (en noir), la LESD (en bleu) et la LESD-STRIP (en vert) conditionnée à la phase de croissance (- - -) et à la phase d’effondrement (•). Figure b (à droite) : Même figure pour les particules de Stokes St = 3.0.

Figure 4.8 – Figure a (à gauche) : Comparaison de la PDF de la vitesse longitudinale des particules inertielles de Stokes St = 3.0 dans le cisaillement homogène entre la DNS (—), la LES (- - -) et la LES-STRIP (•). Figure b (à droite) : Même figure entre la DNS (—), la LESD (- - -) et la LESD-STRIP (•).

sensibilité du temps de corrélation de la composante longitudinale au cycle de régéné-ration des structures lorsque le modèle STRIP est utilisé, ce qui est en meilleur accord avec nos résultats de DNS.