Stabilit´e des points fixes

Dans ce paragraphe, il sera question de la stabilit´e des points fixes. Il sera montr´e comment la lin´earisation du syst`eme d’´equations diff´erentielles permet dans certains cas de conclure sur la stabilit´e des points fixes. Les vari´et´es stables, instables et centrales seront discut´ees.

Les points fixes d’un champ de vecteurs ˙x =f(x) sont les points pour lesquels f(x) = 0. Afin d’´etudier la stabilit´e de ces points fixes que l’on va noter x0, on va leur additionner une petite d´eviation et s’int´eresser `a la quantit´e :

x(t) = x0+y(t). (2.3)

En d´erivant cette derni`ere expression par rapport au temps et en tenant compte du fait que ˙x0 = 0 on obtient :

˙

y=f(x0+y). (2.4)

En supposant que f est au moins de classe C² on peut faire un d´eveloppement de Taylor def autour de x0. En ne retenant que les termes lin´eaires en y on obtient :

˙

y'Dxf(x0)y+O(ky²k)'Ay, (2.5) o`u la matrice A est la matrice Jacobienne de f.

Cette ´equation s’int`egre directement et une solution de conditions initiales y0

s’´ecrit :

y(t) = exp(At)y0, (2.6)

o`u l’exponentielle s’´ecrit comme le d´eveloppement : exp(At) =

∞

X

i=0

t i!Aⁱ.

A ce stade deux cas peuvent se pr´esenter :(i)la matriceA est diagonalisable et(ii) A n’est pas diagonalisable.

(i) Dans le cas diagonalisable on peut trouver un changement de coordonn´ees tel qu’on puisse ´ecrire :

y⁰(t) = exp(A⁰t)y₀⁰, (2.7)

avec exp(A⁰t) une matrice diagonale dont les ´el´ements non nuls sonte^λit. Les valeurs propres de la matrice A sont aussi appel´ees les exposants caract´eristiques associ´es au champ de vecteur f en x=x0.

(ii) Dans le cas non diagonalisable on peut toujours mettre la matriceA sous sa forme de Jordan. Dans cette base de Jordan la matriceAdevient une matrice J qui sera diagonale par bloc :

J = la matrice exp(At) s’´ecrit :

expJt=

o`u chaque bloc prend la forme :

expJit= exp(λit)

avec νi la taille du bloc de Jordan Ji. Cette forme de Jordan laisse k sous-espaces invariants Eλ_k sous l’action de exp(Jt). Ces sous-espaces se distinguent suivant le signe de la partie r´eelle des valeurs propres auxquelles ils sont rattach´es. On distingue trois types de sous-espaces :

1. sous-espace stable : Es =⊕Eλk tels que <λk <0 2. sous-espace instable : Eu =⊕Eλk tels que <λk >0 3. sous-espace central : Ec=⊕Eλ_k tels que <λk = 0, o`u <λ est la partie r´eelle de λ.

Classification et stabilit´e des points fixes [10]

Les points fixes et leur stabilit´e se regroupent suivant plusieurs cat´egories : i) Lorsque toutes les valeurs propres de A ont une partie imaginaire non nulle le

point fixe sera dit hyperbolique, sinon il sera dit non hyperbolique.

ii) Lorsque toutes les valeurs propres de A ont leur partie r´eelle n´egative toutes les composantes de la petite d´eviation ajout´ee au point fixe d´ecroit dans le temps et donc x s’approche de x0 quand t → ∞. Dans ce cas le point x0 est asymptotiquement stable. On dit aussi que le point fixe est un puits.

iii) Si une ou plusieurs valeurs propres deAont leur partie r´eelle positive, quelques unes des composantes de ygrandissent avec le temps et donc xs’´eloigne dex₀. Dans ce cas le point fixe est instable. Lorsque toutes les valeurs propres de A ont leur partie r´eelle positive on dit alors que le point fixe est une source.

iv) Si une partie des valeurs propres de A ont leur partie r´eelle positive et le reste des valeurs propres une partie r´eelle n´egative alors le point fixe est appel´epoint selle. Dans ce cas, certaines directions sont stables, tandis que les autres sont instables.

v) Dans le cas de point fixes non hyperboliques on peut avoir trois cas. Si une ou plusieurs valeurs propres de A ont leur partie r´eelle positive alors le point fixe est instable. Si quelques unes des valeurs propres ont une partie r´eelle n´egative et les autres nulles, le point fixe est neutre. Enfin si toutes les valeurs propres sont imaginaires pures et non nulles alors le point fixe sera appel´e un centre.

Pour un point fixe un th´eor`eme [11] nous assure que localement, dans un voisinage du point fixe, il existe trois vari´et´es locales invariantes. Ces trois vari´et´es sont les vari´et´es locales stable, instable et centrale. Ces vari´et´es sont tangentes aux sous-espaces invariants correspondants au point fixe. Ces vari´et´es se notent : W_loc^s (x0),

W_loc^u (x0) etW_loc^c (x0),o`ux0est le point fixe consid´er´e [11]. Les trajectoires situ´ees dans W<sub>loc</sub><sup>s</sup> (x0) et W<sub>loc</sub><sup>u</sup> (x0) poss`edent les mˆemes propri´et´es de stabilit´e que celles situ´ees dans Es et Eu. En ce qui concerne la vari´et´e centrale, une ´etude plus approfondie est n´ecessaire en s’appuyant notamment sur le th´eor`eme de la vari´et´e centrale [10].

Dans ce paragraphe nous avons discut´e de la stabilit´e des points fixes pour le syst`eme lin´earis´e (termes lin´eaires du d´eveloppement de Taylor). Cependant le th´eor`eme d’Hartman-Grobman [12] permet de faire un lien entre le syst`eme non lin´earis´e et lin´earis´e. Ce th´eor`eme dit que si le spectre de la matrice A, not´e σ(A) ne contient pas de valeurs propres dont la partie r´eelle est nulle (σc(A) = ∅ : les valeurs propres de A dont les vecteurs propres sous-tendent l’espace Ec), alors il existe un hom´eomorphisme (application bijective continue) d´efini dans un voisinage du point fixe qui transforme les trajectoires du syst`eme non lin´earis´e en trajectoires du syst`eme lin´earis´e. Dans le cas ou le spectre central est non vide, une ´etude plus approfondie de la vari´et´e centrale est n´ecessaire [11].