Bifurcations des orbites p´eriodiques

r=r(µ−r²)

˙ ϕ= 1

(2.29)

Dans ce syst`eme les ´equations pour r et ϕ ne sont pas coupl´ees. La premi`ere

´equation, pour laquelle on ne doit consid´erer que les r ≥ 0, poss`ede le point fixe r= 0 pour n’importe quelle valeur deµ. Ce point fixe est stable pourµ <0 etµ= 0 et devient instable pour µ >0. Pourµ= 0 les solutions convergent plus lentement vers le point fixe que pourµ < 0. De plus, un autre point fixer0(µ) = √

µexiste pour µ >0. La seconde ´equation du syst`eme d´ecrit un mouvement de rotation `a vitesse constante. Du fait de cette rotation le second point fixer0est une orbite ferm´ee dans le plan (x1, x2) qui est stable et unique. En combinant les deux ´equations, on obtient les diagrammes de bifurcation dans le plan (x1, x2) de la figure 2.4. On peut aussi visualiser le diagramme de bifurcation en trois dimensions en ajoutant le param`etre de bifurcationµ. C’est ce que montre la figure 2.5.

2.3.3 Bifurcations des orbites p´ eriodiques

Les orbites p´eriodiques op`erent des bifurcations selon diff´erents sc´enarios. Si on suppose qu’avant la bifurcation l’orbite p´eriodique est stable alors, lorsque le param`etre de bifurcation varie celle-ci perd sa stabilit´e pour une valeur critique du param`etre. Apr`es la bifurcation le nombre d’orbites p´eriodiques ainsi que leur

µ x1

x2

Figure 2.5 – Bifurcation de Hopf : diagrammes de bifurcation de Hopf en trois dimensions.

stabilit´e d´epend de la fa¸con dont les multiplicateurs de Floquet de la matrice de monodromie quittent le cercle unit´e du plan complexe. On distingue trois possibilit´es pour les multiplicateurs de Floquet de quitter le cercle unit´e :

1. un des multiplicateurs de Floquet quitte le cercle unit´e en passant par la valeur r´eelle +1 ;

2. un des multiplicateurs de Floquet quitte le cercle unit´e en passant par la valeur r´eelle −1 ;

3. deux multiplicateurs de Floquet complexes conjugu´es quittent le cercle unit´e en dehors de l’axes des r´eels ;

Ces trois possibilit´es sont recens´ees sur la figure 2.6.

Dans le cas o`u un multiplicateur de Floquet s’´echappe en passant par +1, trois types de bifurcations peuvent alors se produire : une bifurcation transcritique, une bifurcation de brisure de sym´etrie et une bifurcation neud-col. Lorsque le multipli-cateur de Floquet s’´echappe en passant par −1, la bifurcation qui en r´esulte est une bifurcation de doublement de p´eriode. Enfin lorsque qu’une paire de conjugu´es complexes s’´echappe en dehors de l’axe r´eel la bifurcation sera dite de type Hopf secondaire ou bifurcation de Neimark.

Re a) Im

Re b) Im

Re c) Im

Figure 2.6 – Diff´erentes possibilit´es pour les multiplicateurs de Floquet de quitter le cercle unit´e : a) un multiplicateur de Floquet s’´echappe en passant par +1 ; b) un multiplicateur de Floquet s’´echappe en passant par −1 ; c) une paire de complexes conjugu´es s’´echappe en dehors de l’axe r´eel.

Bifurcation de brisure de sym´etrie

Cette bifurcation arrive lorsqu’un multiplicateur de Floquet franchit le cercle unit´e par la valeur +1. Avant la bifurcation la solution p´eriodique stable poss`ede une sym´etrie qui est bris´ee au franchissement de la valeur critique du param`etre de bifurcation. Cette brisure de sym´etrie donne naissance `a deux autres solutions p´eriodiques et change la stabilit´e de la solution avant bifurcation. La bifurcation de brisure de sym´etrie se pr´esente sous deux types, une bifurcation de brisure de sym´etrie super-critique et une sous-critique. Dans le cas super-critique les deux nouvelles solutions sont stables et la solution avant bifurcation devient instable.

Dans le cas sous-critique deux solutions instables coexistent avec la solution stable.

Ces deux bifurcations sont illustr´ees sur la figure 2.7 o`u est report´e l’amplitude de la solution p´eriodique A en fonction du param`etre de bifurcation µ. Sur cette figure les courbes pleines d´esignent les solutions stables et les courbes en pointill´e les solutions instables. Ces diagrammes de bifurcation sont similaires `a ceux de la bifurcation fourche pour les points fixes.

µ A

a)

µ A

b)

Figure 2.7 – Bifurcation de brisure de sym´etrie : a) bifurcation super-critique ; b) bifurcation sous-critique.

Bifurcation transcritique

Cette bifurcation intervient lorsqu’un multiplicateur de Floquet franchit le cercle unit´e par la valeur +1. Lors de cette bifurcation, deux solutions p´eriodiques, une stable et l’autre instable ´echange leur stabilit´e. La situation est r´esum´ee sur la fi-gure 2.8. Sur cette fifi-gure est rep´er´ee l’amplitudeAde l’orbite p´eriodique en fonction du param`etre de bifurcationµ. Les diagrammes de bifurcation sont similaires `a ceux de la bifurcation transcritique pour les points fixes.

µ A

a)

µ A

b)

Figure 2.8 – Bifurcation transcritique : deux possibles sc´enarios a) et b).

Bifurcation noeud-col

Cette bifurcation se produit lorsqu’un multiplicateur de Floquet franchit le cercle unit´e par la valeur +1. Pour des valeurs inf´erieures `a la valeur critique du param`etre de bifurcation deux branches d’orbites p´eriodiques coexistent, une stable et l’autre instable. Apr`es la valeur critique aucune solution p´eriodique n’existe. La figure 2.9 montre ce qu’il se advient des orbites p´eriodiques lors d’une bifurcation noeud-col, o`u l’on rep`ere toujours l’amplitude de la solution p´eriodique en fonction du param`etre de bifurcation. Ici encore, le diagramme de bifurcation est similaire `a celui de la bifurcation noeud-col pour les points fixes.

µ A

Figure 2.9 – Bifurcation noeud-col.

Bifurcation de doublement de p´eriode

Cette bifurcation se manifeste lorsqu’un multiplicateur de Floquet quitte le cercle unit´e en passant par la valeur −1. Lors de cette bifurcation, la branche d’orbite p´eriodique stable qui existait avant bifurcation se poursuit et se retrouve instable.

Au point de bifurcation deux sc´enarios peuvent se produire. Dans le premier cas, on peut avoir cr´eation d’une nouvelle branche d’orbite p´eriodique stable ayant la p´eriode double de celle avant bifurcation, et on parlera alors de bifurcation de doublement de p´eriode super-critique. Dans le second cas, une famille d’orbites p´eriodiques instable est d´etruite et l’on parlera de bifurcation de doublement de p´eriode sous-critique.

On peut repr´esenter facilement la bifurcation de doublement de p´eriode grˆace `a une

section de Poincar´e. Avant la bifurcation, l’orbite p´eriodique n’intercepte la section de Poincar´e qu’une fois, alors qu’apr`es bifurcation celle-ci passe `a travers la section deux fois avant de revenir `a son point initial. Cette bifurcation est illustr´ee sur la figure 2.10.

a)

b

b)

b

b

Figure 2.10 – Bifurcation de doublement de p´eriode avec sa section de Poincar´e : a) orbite p´eriodique avant la bifurcation ; b) orbite p´eriodique apr`es la bifurcation.

Bifurcation de Hopf secondaire

Dans le paragraphe sur les bifurcations des points fixes, on a vu que la bifurca-tion de Hopf faisait ´emerger une solubifurca-tion p´eriodique. En substance, la bifurcabifurca-tion de Hopf introduit une nouvelle fr´equence en plus de la fr´equence de la solution p´eriodique avant la bifurcation. Lorsque cette bifurcation intervient sur une orbite p´eriodique plutˆot que sur un point fixe, on parlera de bifurcation de Hopf secon-daire. Cette bifurcation intervient lorsqu’une paire de multiplicateurs de Floquet complexes conjugu´es quitte le cercle unit´e en dehors de l’axe des r´eels.

Comme dans le cas des points fixes, il existe deux types de bifurcation de Hopf secondaire : une sous-critique et une super-critique. Dans les deux cas, la famille d’orbites p´eriodiques stable avant bifurcation continue en une famille instable. La bifurcation super-critique cr´ee une famille stable d’orbites p´eriodiques ou quasi-p´eriodiques en fonction du rapport qui existe entre les fr´equences de l’ancienne et de la nouvelle famille d’orbites. Dans le cas sous-critique, il y a destruction d’une

famille d’orbites instable `a la valeur critique du param`etre de bifurcation.

Vibrations mol´ eculaires

3.1 G´ en´ eralit´ es en spectroscopie mol´ eculaire

Le mot spectroscopie est la r´eunion de deux mots : spectre et scopie. Le spectre du latinspectrum signifie voir, regarder et scopie du grecscopein veut dire examiner.

La spectroscopie est donc la science qui veut examiner ce qui est vu, c’est-`a-dire la lumi`ere produite ou absorb´ee par certains objets. La lumi`ere ´emise ou absorb´ee par l’objet sera appel´ee le spectre et la spectroscopie se donne pour objectif d’en comprendre sa structure. Pour le cas de la spectroscopie mol´eculaire, l’objet en question sera une mol´ecule.